三角函数图像及性质
三角函数的图象与性质
基础梳理
1.“五点法”描图
(1)y =sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为_________、________、__________、_________、_________。
(2)y =cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为_________、________、__________、_________、_________。
2. 三角函数的图象与性质
3. 那么函数f (x ) 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期,把所有周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)
函数y =A sin(ωx+φ) 和y =A cos(ωx+φ) 的最小正周期为 ,y =tan(ωx+φ) 的最小正周期为 .
由于正余弦函数的值域都是[-1,1],因此对于∀x ∈R ,恒有-1≤sin x ≤1,-1≤cos x ≤1,所以1叫做y =sin x ,y =cos x 的上确界,-1叫做y =sin x ,y =cos x 的下确界.
(2)形式复杂的函数应化为y =A sin(ωx+φ) +k 的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响.
利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性,如:y =sin 2x -4sin x +5,令t =sin x (|t |≤1) ,则y =(t -2) 2+1≥1,解法错误.
5. 求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如y =A sin(ωx+φ) (ω>0)的形式,再根据基本三角函数的单调区间,求出x 所在的区间. 应特别注意,应在函数的定义域内考虑. 注意区分下列两题的单调增区间不同; 利用换元法求复合
ππ2x -;(2)y =sin ⎛-2x ⎫. 函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y =sin ⎛4⎝⎝4⎭
练习题:
πx +⎫,x ∈R ( ) . 1.函数y =cos ⎛⎝3⎭
A .是奇函数 B .既不是奇函数也不是偶函数 C .是偶函数 D .既是奇函数又是偶函数
π⎫2.函数y =tan ⎛⎝4x ⎭的定义域为( ) .
⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫ππππx ≠k π-,k ∈Z ⎬ B. ⎨x ⎪x ≠2k π-,k ∈Z ⎬ C. ⎨x ⎪x ≠k π+,k ∈Z ⎬ D. ⎨x ⎪x ≠2k π+,k ∈Z ⎬ A . ⎨x ⎪4444⎩⎪⎭⎩⎪⎭⎩⎪⎭⎩⎪⎭
π3.函数y =sin(2x +) 的图象的对称轴方程可能是( ) 3
ππππA .x =- B .x =- C .x = D .x = 612612
πx -⎫的图象的一个对称中心是( ) . 4.y =sin ⎛⎝4⎭
A .(-π,0) 3π3π-0⎫ C. 0⎫ B . ⎛⎝4⎭2⎭
π⎫D. ⎛⎝20⎭ 5.下列区间是函数y =2|cos x |的单调递减区间的是
A.(0,π) ( ) π-π,- D . ⎛2⎝π3π-0⎫ C. ⎛2π⎫ B. ⎛⎝2⎭⎝2⎭
ππ6.已知函数f (x ) =sin(2x +φ) ,其中φ为实数,若f (x )≤|f ()|对任意x ∈R 恒成立,且f (f (π),则f (x ) 的单调递增区62
间是( )
πππA .[k πk π+](k ∈Z ) B .[k π,k π+](k ∈Z ) 362
π2ππC .[k π+,k π+k ∈Z ) D .[k π-,k π](k ∈Z ) 632
x π7. 函数f (x ) =3cos ⎝24x ∈R 的最小正周期为___ _____.
πx +的最大值为________,此时x =_____ _________. 8.. y =2-3cos ⎛⎝4