初中数学几何基本图形
初中数学几何基本图形
1． 平行线的性质： ∵A B ∥CD （已知）
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等。） ∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等。）
°
∴∠1+∠4=180（两直线平行，同旁内角互补。）
2． 平行线的判定：
（1）∵∠1=∠2（已知）
∴A B ∥CD （同位角相等，两直线平行。） （2）∵∠1=∠3（已知）
∴A B ∥CD （内错角相等，两直线平行。）
o
（3）∵∠1+∠4=180（已知）
∴A B ∥CD （同旁内角互补，两直线平行。） 3． 平行线的传递性： A ∵A B ∥CD ，A B ∥EF （已知）
C
∴C D ∥EF （如果两条直线都与第三条直线平行，
E
那么这两条直线也互相平行。）
E 4． 两条平行线间距离： A
∵A B ∥CD ，EF ⊥CD ，GH ⊥CD （已知） ∴EF=GH（平行线间距离处处相等。） C
A
E
3F 2
B
C D
A
E 34F B
C D
B D F
G
B
F H
D
5． 三角形的性质： b
o o
（1）∠A+∠B+∠C=180（三角形内角之和为180。）
C a （2）a+b＞c ，∣a-b ∣＜c （三角形任意两边之和大于第三边， B
三角形任意两边之差小于第三边。） （3）∠ACD=∠A+∠B （三角形一个
D 外角等于与它不相邻的两个外角之和。）
B
6．三角形中重要线段： （1）∵AD 是△ABC 边BC 上的高（已知）
E 0F ∴AD ⊥BC 即∠ADC=90（三角形高的意义）
（2）∵BF 是△ABC 边AC 上的中线（已知） B C
D
∴AF=FC=1AC （AC=2AF=2FC）（三角形中线的意义）
2
（3）∵CE 是△ABC 的∠ACB 的角平分线（已知）
∴∠ACE=∠BCE=
1
∠ACB （∠ACB=2∠ACE=2∠BCE ）（三角形角平分线的意义） 2
6． 等腰三角形的性质和判定：
（1）∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C （等边对等角） （2）∵∠B=∠C （已知）∴AB=AC（等角对等边）
B
C
7． 等腰三角形三线合一：
（1）∵AB=AC，∠1=∠2（已知） ∴BH=HC，AH ⊥BC （等腰三角形顶角平分线垂直平分底边， 简称“等腰三角形三线合一”） （2）∵AB=AC，BH=HC（已知）
∴∠1=∠2，AH ⊥BC （等腰三角形三线合一） B
H
（3）∵AB=AC，AH ⊥BC （已知）
∴BH=HC，∠1=∠2（等腰三角形三线合一） 8． 等边三角形性质和判定： （1）∵△ABC 是等边三角形（已知）
∴AB=AC=BC（等边三角形意义）
00
∠A=∠B=∠C=60（等边三角形三个内角都相等且都等于60）
B
（2）∵∠A=∠B=∠C （已知）
∴△ABC 是等边三角形（有三个内角都相等的三角形是等边三角形）
（3）∵AB=AC，∠C=60（已知）
∴△ABC 是等边三角形（有一个内角为60的等腰三角形是等边三角形）
A
9． 全等三角形的性质： ∵△ABC ≌△DEF （已知）
∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形对应边相等）
C ∴∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠C=∠F （全等三角形对应角相等）
E
B 10．全等三角形的判定：
（1）∵在△ABC 和△DEF 中：
C
D
F
⎧AB =DE (已知）⎪ ⎨∠A =∠D (已知）⎪AC =DF (已知）⎩
∴△ABC ≌△DEF （S.A.S ） （2）∵在△ABC 和△DEF 中：
⎧∠B =∠E (已知）⎪ ⎨AB =DE (已知）⎪∠A =∠D (已知）⎩
D
B
C E
F
∴△ABC ≌△DEF(A.S.A) （3）∵在△ABC 和△DEF 中：
⎧∠B =∠E (已知）⎪ ⎨∠A =∠D (已知）⎪AC =DF (已知）⎩
∴△ABC ≌△DEF(A.A.S) (4) ∵在△ABC 和△DEF 中：
⎧AB =DE (已知）⎪ ⎨AC =DF (已知）⎪BC =EF (已知）⎩
∴△ABC ≌△DEF(S.S.S)
(5) ∵在Rt △ABC 和Rt △DEF 中：
AB =DE (已知） ⎧⎨
A
D
⎩AC =DF (已知）
B
E
F
∴Rt △ABC ≌Rt △DEF(H.L)
11. 线段的垂直平分线定理和逆定理： （1）∵AC=BC，PC ⊥AB （已知） P
∴PA=PB（线段垂直平分线上的任意一点到 这条线段的两个端点的距离相等。）
B A C （2）∵PA=PB（已知）
∴点P 在线段AB 的垂直平分线上（和一条线段的两个端点的距
离相等的点，在这条线段垂直平分线上。）
12．角平分线定理和逆定理：
（1）∵∠1=∠2，PE ⊥AB ，PD ⊥BC （已知）
E
∴PE=PD（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。） （2）∵PE=PD，PE ⊥AB ，PD ⊥BC （已知）
∴点P 在∠ABC 的平分线上（在一个角的内部（包括顶点）且到角B
的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。）
13．直角三角形性质定理和逆定理
O
（1）∵△ABC 是Rt △，∠ACB=90（已知）
O
∴∠A+∠B=90（直角三角形两个锐角互余） A
O
（2）∵∠ACB=90，AD=DB（已知）
∴AB=2CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
D O
（3）∵△ABC 是Rt △，∠ACB=90（已知）
222
∴AC +BC=AB（勾股定理）
222
（4）∵AC +BC=AB（已知）
O B C ∴△ABC 是Rt △，∠ACB=90（勾股定理逆定理）
O O
（5）∵∠ACB=90，∠A=30（已知）
O
∴AB=2BC（直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜
边的一半。） O
（6）∵∠ACB=90，AB=2BC（已知）
O
∴∠A=30（直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边
O
所对的锐角等于30。）
14．两点间距离公式： （1） ∵A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） ∴
（2）∵A （x 1，0），B （x 2，0） ∴AB=x 1-x 2
（3）∵A （0，y 1），B （0，y 2） ∴AB= y 1-y 2
A
P
D C