整式乘法与因式分解

第14章 整式的乘法复习与测试

知识网络归纳

⎧⎧a m ⋅a n =a m +n ⎫⎪⎪m n ⎪mn ⎪幂的运算法则⎨(a ) =a ⎬(m , n 为正整数，a , b 可为一个单项式或一个式项式) ⎪⎪(ab ) n =a n ⋅b n ⎪

⎩⎭整⎪

式⎪⎧单项式⨯单项式⎪的⎨⎪⎪乘⎪单项式⨯多项式:m (a +b ) =ma +mb 法 ⎪整式的乘法⎪多项式⨯多项式：(m +n )(a +b ) =ma +mb +na +nb ⎨⎪

⎪22⎪⎧平方差公式:(a +b )(a -b ) =a -b ⎪特殊的⎪　　−−−→乘法公式⎨⎪222⎪完全平方公式：(a ±b ) =a ±2ab +b ⎪⎪⎩⎩⎩

⎧因式分解的意义⎪

⎧提公因式法⎪

⎪⎪

⎧平方差公式:a 2-b 2=(a +b )(a -b ) 因式分解⎨因式分解的方法⎨⎪

⎪⎪运用公式法⎨222

完全平方公式:a ±2ab +b =(a ±b ) ⎪⎩⎩⎪

⎪因式分解的步骤⎩

难点讲解：

（2）正确处理运算中的“符号”，避免以下错误，如：等；

例5

【点评】 由（1）、（2）可知互为相反数的同偶次幂相等；互为相反数的同奇次幂仍互为相反数．

3、下列各式计算正确的是（ ） A 、-a 2b 2

()

3

=a 6b 6 B、-a 2b =-a 2b 5

2

()

5

1⎛1⎫⎛1⎫

C 、 -ab 3⎪=a 4b 12 D、 -a 3b 2⎪=a 6b 4

9⎝4⎭⎝3⎭12、(-3)+3⋅(-3)

m

m -1

的值是（ ）

m +1

A 、1 B、－1 C、0 D、(-3)

11、a 3(x -y )-3a 2b (y -x )因式分解为

（6）2(3-5a )-5(3a -7)(3a +7)＝__________

2

(6)12a2b(x－y) －4ab(y－x) ＝__________

(-7m -11n ) ⋅(11n -7m ) =__________

___,⑶(1-xy )(-xy -1) ⑸ (2y -x )(-x -2y ) =__________

(3a -b ) 2=___________________,(-2a +b ) 2=______________________(a +b ) 2=(a -b ) 2+____________,(-x -2y ) 2=_________________________(-0. 2m 2-mn ) 2=0. 04m 4+0. 6m 3n +m 2n 2＝__________

(－4x －y )(－5x ＋2y ) ＝__________．(2)(x ＋2)(x ＋3) －(x ＋6)(x －1) 2、求(a

＋b ) 2－(a －b ) 2－4ab 的值，其中a ＝2002，b ＝2001． 2．化简a (b -c ) -b (c -a ) +c (a -b ) 的结果是（ ）

专题综合讲解

专题一 巧用乘法公式或幂的运算简化计算

方法1 逆用幂的三条运算法则简化计算

（幂的运算是整式乘法的重要基础，必须灵活运用，尤其是其逆向运用。） 例1 (1) 计算：(-

319961

) ⋅(3) 1996。 103

(2) 已知3×9m ×27 m＝321，求m 的值。

(3) 已知x 2n ＝4，求(3x3n ) 2－4(x2) 2n的值。 思路分析：(1)

31310

⨯3=⨯=1，只有逆用积的乘方的运算性质，才能使运算简便。103103

(2)相等的两个幂，如果其底数相同，则其指数相等，据此可列方程求解。(3)此题关键在于将待求式(3x3n ) 2－4(x2) 2n用含x 2n 的代数式表示，利用(xm ) n ＝(xn ) m 这一性质加以转化。

解：(1) (-

31996131

) ⋅(3) 1996=(-⨯3) 1996=(-1) 1996=1. 103103

＋

(2) 因为3×9m ×27 m＝3×(32) m ×(33) m ＝3·32m ·33m ＝315m ，

＋

所以315m ＝321。所以1＋5m ＝21，所以m ＝4.

(3) (3x3n ) 2－4(x2) 2n ＝9(x3n ) 2－4(x2) 2n ＝9(x2n ) 3－4(x2n ) 2＝9×43－4×42＝512。

3、已知：39m ⋅27m =36，求m .

方法2 巧用乘法公式简化计算。 例2 计算：(1+)(1+

121111)(1+)(1+) +. 222428215

思路分析：在进行多项式乘法运算时，应先观察给出的算式是否符合或可转化成某公式的形式，如果符合则应用公式计算，若不符合则运用多项式乘法法则计算。观察本题容易发

现缺少因式(1-) ，如果能通过恒等变形构造一个因式(1-) ，则运用平方差公式就会迎刃而解。

1212

111111

)(1+)(1+) + 24815

[1**********]

＝2(1-2)(1+2)(1+4)(1+8) +15

222221111

＝2(1-4)(1+4)(1+8) +15

2222111

＝2(1-8)(1+8) +15

22211

＝2(1-16) +15

221111

＝2-2⨯16+15=2-15+15=2.

22221

点评：巧妙添补2(1-) ，构造平方差公式是解题关键。

2

解：原式＝2(1-)(1+)(1+

方法3 将条件或结论巧妙变形，运用公式分解因式化简计算。 例3 计算：20030022－2003021×2003023 原式＝20030022－(2003002－1)(2003002＋1)

＝20030022－(20030022－1) ＝20030022－20030022＋1 ＝1

点评：此例通过把2003021化成(2003023－1) ，把2003023化成(2003022＋1) ，从而可以运用平方差公式得到(20030222－1) ，使计算大大简化。由此可见乘法公式与因式分解在数值计算中有很重要的巧妙作用，注意不断总结积累经验。

例4 已知(x＋y) 2＝1，(x－y) 2＝49，求x 2＋y 2与xy 的值。

(x +y ) 2+(x -y ) 21+49

==25. 解法1：x ＋y ＝

22

2

2

(x +y ) 2-(x -y ) 21-49

xy ===-12.

44

① ②

解法2：由(x＋y) 2＝1得x 2＋2xy ＋y 2＝1. 由(x－y) 2＝49得x 2＋y 2－2xy ＝49. ①－②得4xy ＝－48，所以xy ＝－12.

点评：解决本题关键是如何由(x＋y) 2、(x－y) 2表示出x 2＋y 2和xy ，显然都要从完全平

方公式中找突破口。以上两种解法，解法1更简单。

专题二 整式乘法和因式分解在求代数式值中的应用（格式的问题） 方法1 先将求值式化简，再代入求值。 例1 先化简，再求值。

(a－2b) 2＋(a－b)(a＋b) －2(a－3b)(a－b) ，其中a ＝

1

，b ＝－3. 2

思路分析：本题是一个含有整式乘方、乘法、加减混合运算的代数式，根据特点灵活选用相应的公式或法则是解题的关键。

解：原式＝a 2－4ab ＋4b 2＋a 2－b 2－2(a2－4ab ＋3b 2)

＝2a 2－4ab ＋3b 2－2a 2＋8ab －6b 2＝4ab －3b 2。

当a ＝

11

，b ＝－3时，原式＝4××(－3) －3×(－3) 2＝－6－27＝－33. 22

点评：(1) 本题要分沮是否可用公式计算。

(2) 本题综合应用了完全平方公式、平方差公式及多项式乘法法则。 (3) 显然，先化简再求值比直接代入求值要简便得多。

方法2 整体代入求值。）

例2 当代数式a ＋b 的值为3时，代数式2a ＋2b ＋1的值是（ ）

A 、5

B 、6

C 、7

D 、8

解析：2a ＋2b ＋1＝2(a＋b) ＋1＝2×3＋1＝7，故选C 。

点评：这里运用了“整体思想”，这是常用的一种重要数学方法。

练习1：、若代数式2a 2+3a +1的值为6，则代数式6a 2+9a +5的值为5、已知; a 2+a -1=0，求a 3+2a 2+1999的值

x 2+y 2

-xy 的值 5、已知x (x +1) -(x +y ) =-3，求

2

2

综合题型讲解

题型一 学科内综合

(一) 数学思想方法在本章中的应用 1、从特殊到一般的认识规律和方法

在探索幂的运算法则时，都是从几个特殊例子出发，再推出法则。

如：从以下几个特殊的例子a 2·a 3＝a ⋅a ⋅a ⋅a ⋅a ＝a 5＝a 23，

＋

2个

3个

＋

a 4·a 6＝a ⋅a ⋅a ⋅a ⋅a ⋅a ⋅a ⋅a ⋅a ⋅a ＝a 10＝a 46，

4个

6个

推广到a m ·a n ＝a ⋅a ⋅

m 个

⋅a ⋅a ⋅a ⋅

n 个

⋅a ＝a m+n。

从而得到法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”。 2、化归思想

即将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题，这是初中数学中最常用的思想方法，如在本章中，单项式乘以单项式可转化为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式都可转化为单项式乘以单项式，即多×多

转化转化−−−→多×单−−−→单×单。还有：如比较420与1510的大小，通常也是将要比较的两

个数化为底数相同或指数相同的形式，再进行比较，即420＝(42) 10＝1610，1610＞1510，所以．．420＞1510。

3、逆向变换的方法（不讲）

在进行有些整式乘法运算时，逆用公式可使计算简便。这样的例子很多，前边已举了一些，这里再举一例。

例：()

5

7

2002

577

⨯1.42003=() 2002⨯() 2002⨯

[1**********]7

⨯=1⨯=. =(⨯)

75555

还有把乘法公式反过来就得出因式分解的公式等。 4、整体代换的方法（在幂与乘法，及因式分解中）

此方法的最典型应用表现于乘法公式中，公式中的字母a 、b 不仅可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式，在因式分解3a(m－2) ＋4b(m－2) 中，可把m －2看作一个整体，提公因式m －2，即原式＝(m－2)(3a＋4b) 。

(二) 与其他知识的综合(方程，不等式，面积的) （举例）

例1 （与方程综合）一个长方形的长增加4 cm ，宽减少1 cm ，面积保持不变；长减少2 cm，宽增加1 cm，面积仍保持不变。求这个长方形的面积。

解：设这个长方形的长为a cm，宽为b cm，由题意得

⎧(a +4)(b -1) =ab , ⎧a -4b +4=0, 即 ⎨⎨

⎩(a -2)(b +1) =ab , ⎩a -2b -2=0.

解得⎨

⎧a =8,

⎩b =3.

因为ab ＝8×3＝24，所以这个长方形面积为24 cm2。

点评：本题是一道多项式乘以多项式和列二元一次方程组解应用题的综合题。 4、解不等式(y +2) 2-(3+y )(y -3)

题型二 学科间的综合

例2 生物课上老师讲到农作的需要的肥料主要有氮、磷、钾三种，现有某种复合肥共50千克，分别含氮23%、磷11%、钾6%，求此种肥料共含有肥料多少千克？

解：50×23%＋50×11%＋50×6%＝50（23%＋11%＋6%）＝50×40%＝20. 答：复合肥共含有肥料20千克。 题型三 拓展、创新、实践（整除问题）

例3 （拓展创新题）248－1可以被60和70之间某两个数整除，求这两个数。 思路分析：由248－1＝(224) 2－1＝(224＋1)( 224－1) ＝(224＋1)(212＋1) (212－1)

＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)

＝(224＋1)(212＋1)(26＋1) ×(64＋1)(64－1) ＝(224＋1)(212＋1)(26＋1) ×65×63，

所以这两个数是65和63。

点评：本题是因式分解在整除问题中的应用。

同步测试

一、填空题

1、(－a) 2·(－a) 3＝ ，(－x) ·x 2·(－x 4) ＝(xy2) 2＝ . 2、(－2×105) 2×1021＝ ，(－3xy 2) 2·(－2x 2y) ＝3、计算：(－8) 2004 (－0.125) 2003＝ ，22005－22004＝ .

4、计算：(m－n) 3·(m－n) 2·(n－m) ＝ ，(3＋a)(1－a) ＝ ，

(a＋2)(a－2)(4＋a 2) ＝，(m＋n －1)(m－n －1) ＝.

5、x n ＝5，y n ＝3，则(xy)2n ＝ ，若2x ＝m ，2y ＝n ，则8x+y＝ . 6、若A ＝3x －2，B ＝1－2x ，C ＝－5x ，则A ·B ＋A ·C ＝ . 7、不等式(x＋16)(x＋4) ＞(x＋12) 2的解集是 . 8、比较25180，64120，8190的大小用“＜”号联 .

9、把下列各式分解因式：

(1) a2n －2a 2n 1＝ ；

－

(2)

12

x －x ＋1＝ ； 4

(3) m－m 5＝ ；

(4) (1－x) ＋(x－1) 3＝ .

10、在多项式16a 2＋4上加上一个单项式，使其成为一个整式的平方，该单项式是 . 11、四个连续自然数中，已知两个大数的积与其余两个数的积的差等于58，则这四个

数的和是 .

12、如图(1)的面积可以用来解释(2a)2＝4a 2，那么根据图(2)，可以用来解释 （写

出一个符合要求的代数恒等式）。

二、选择题

13、下列各式中，正确的是（ ）

A 、m 2·m 3＝m 6

B 、(－a ＋b)(b－a) ＝a 2－b 2 D 、(x－y)(x2＋xy ＋y 2) ＝x 3－y 3

C 、25a 2－2b 2＝(5a＋2b)(5a－2b)

14、与(x2＋x ＋1)(x－1) 的积等于x 6－1的多项式是（ ）

A 、x 2－1

B 、x 3－1

C 、x 2＋1

D 、x 3＋1

15、已知5x ＝3，5y ＝4，则25x+y的结果为（ ）

A 、144

B 、24

C 、25

D 、49

16、x 为正整数，且满足3x+1·2x －3x 2x+1＝66，则x ＝（ ）

A 、2

B 、3

C 、6

D 、12

17、把多项式2x 2＋bx ＋c 分解因式后得2(x－3)(x＋1) ，则b 、c 的值为（ ）

A 、b ＝3，c ＝－1 C 、b ＝－6，c ＝－4

B 、b ＝－6，c ＝2 D 、b ＝－4，c ＝－6

18、如果xy ≠0，且(x＋y) 3＝x 3＋y 3，那么x 、y 的关系为（ ）

A 、x ＝y

B 、x ＋y ＝0

C 、x 、y 异号

D 、x 、y 同号

19、不等式(x－1) 2－(x＋1)(x－1) ＋3(x＋1) ＞0的正整数解为（ ）

A 、1, 2 B 、1, 2, 3 C 、1, 2, 3, 4 D 、任意正整数

20、若二次三项式ax 2＋bx ＋c ＝(a1x ＋c 1)(a2x ＋c 2) ，则当a ＞0，b ＜0，c ＞0时，c 1，c 2

的符号为（ ）

A 、c 1＞0, c2＞0 B 、c 1＜0, c2＜0

C 、c 1＞0, c2＜0

D 、c 1, c2异号

21、若m 2＋m －1＝0，则m 3＋2m 2＋3＝（ ）

A 、2

B 、4

C 、－2

D 、－4

22、已知x 2＋ax －12能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数a 的个

数是（ ） A 、3个 三、解答题 23、计算：

(1) (－2y 3) 2＋(-4y2) 3－[(－2y) 2·(-3y2) 2]； (2) (3x＋2) 2－(3x－2) 2＋(3x＋2) 2·(3x－2) 2； (3) 3.76542＋0.4692×3.7654＋0.23462.

B 、4个

C 、6个

D 、8个

24、因式分解：

(1) (a－3) 2－(6－2a) ； (2) 81(a＋b) 2－4(a－b) 2； (3) (x2－5) 2＋8(5－x 2) ＋16.

25、解方程或不等式：

(1) 3(x＋2) 2＋(2x－1) 2－7(x＋3)(x－3) ＝28； (2) (1－3x) 2－(2x－1) 2＞5(x－1)(x＋1).

26、化简求值：

(1) (x2＋3x)(x－3) －x(x－2) 2＋(－x －y)(y－x) ，其中x ＝3，y ＝－2； (2) 已知x 2－3x ＋1＝0，求下列各式的值，

①x +

2

1； 2x

②x +

4

1. 4x

四、应用题

27、如图大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，求阴影部分的面积。

28、如图四边形ABCD 是校园内一边长为a ＋b 的正方形土地（其中a ＞b ）示意图，现

准备在这块正方形土地中修建一个小正方形花坛，使其边长为a －b ，其余的部分为空地，留作道路用，请画出示意图。 (1) 用尺规画出两种图形的情形，保留痕迹，不写作法，

并标明各部分面积的代数式。

(2) 用等式表示大小正方形及空地间的面积关系。

29、在通常的日历牌上, 可以看到一些数所满足的规律, 表1是2005年6月份的日历牌。

表1

(1) 在表1中，我们选择用如表2那样2×2的长方形框任意圈出2×2个数，将它

们交叉相乘，再相减，如：2×8－1×9＝7，14×20－13×21＝7，24×18－17×25＝7，你发现了什么？再选择几个试试，看看是否都是这样，想一想，能否用整式的运算加以说明。

(2) 如果选择用如表3那样3×3的长方形方框任意圈出3×3个数，将长方形方框

四解位置上的4个数交叉相，再相减，你发现了什么？请说明理由。

30、为了美化校园环境，争创绿色学校，某区教育局委托园林公司对A ，B 两校进行校

园绿化，已知A 校有如图(1)的阴影部分空地需铺设草坪，B 校有如图(2)的阴影部

分空地需铺设草坪，在甲、乙两地分别有同种草皮3500米2和2500米2出售，且售价一样，若园林公司向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价表如下：

路程、运费单价表

（注：运费单价表示每平方米草皮运送1千米所需的人民币） 求：(1) 分别求出图1、图2的阴影部分面积；

(2) 若园林公司将甲地3500m 2的草皮全部运往A 校，请你求出园林公司运送

草皮去A 、B 两校的总运费；

(3) 请你给出一种运送方案，使得园林公司支付出送草皮的总运费不超过

15000元。

第30题图

参考答案

一、填空题

1、－a 5，x 7，x 2y 4

2、4×1031，－18x 4y 5

3、－8，22004

4、－(m－n) 6，3－2a －a 2，a 4－16，m 2－2m ＋1－n 2

5、225，m 3n 3

6、－21x 2＋17x －2

7、x ＜－20

8、8190＜64120＜25180

9、a 2n 1(a－2) ，(－1x －1) 2，m(1＋m 2)(1＋m)(1－m) ，x(1－x)(2－x) 2

10、±16a

11、58

12、(a＋b) 2＝(a－b) 2＋4ab

二、选择题

13、D 14、D

21、B 22、C 15、A 16、C 17、D 18、B 19、D 20、B

三、解答题

23、(1) －96y 6 (2) 81x4－72x 2＋24x ＋16 (3) 16

(3) (x＋3) 2 (x－3) 2 24、(1) (a－3)(a－1) ；

25、(1) x＝－6； (2) (11a＋7a)(7a＋11b) ； (2) x＜5. 2

26、(1) 原式＝5x 2－13x －y 2，当x ＝3，y ＝－2时，原式＝2；

1=3， x

1122 ∴ x +2=(x +) -2=7 x x

112422 x +4=(x +2) -2=7-2=47 x x (2) 由题意得x +

27、∵ 大正方形的边长为4，小正方形的边长为2.

∴ 长方形的长为6，宽为4.

S 阴＝6×4－16－4＝4.

28、(1) 如图

29、(1) 9×15－8×16＝7，18×24－17×25＝7.

设最小数为x ，另三个数分别为(x＋1) ，(x＋7) ，(x＋8) 则(x＋1)(x＋7) －x(x＋8) ＝

x 2＋8x ＋7－x 2－8x ＝7.

(2) 它们的差是28. 设最中间一个数为x ，则最小的是x －8最大的是x ＋8，另两个分别是x －6(2) (a＋b) 2＝(a－b) 2＋4ab (a＋b) 2＝a 2＋2ab ＋b 2.

和x ＋6.

有题意得(x－6)(x＋6) －(x－8)(x＋8) ＝x 2－36－x 2＋64＝28

30、(1) 图1阴影面积为3600m 2，图2阴影面积为2400m 2.

(2) 总运费为20400元。 (3) 设甲地草皮运送x m2去A 校，有(3500－x)m 2运往B 校，乙地草皮(3600－x)m 2

运往A 校，(x－1100)m 2草皮运往B 校。依题意得。

20×0.15x ＋(3500－x) ×10×0.15＋(3600－x) ×15×0.20＋(x－1100) ×20×0.20≤1500，

x －1100≥0 解之得 1100≤x ≤1340. 只要所设计的方案中运往A 校的草皮在1100m 2～1340m 2之间都可。如甲地的草皮

运往A 校1100m 2，运往B 校2400m 2，乙地草皮运往A 校2500m 2，总运费14400元。