大题答案导数单元测试卷
18.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=-1。（1）试求常数a,b,c值；（2）试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由。
1⎧
a=⎧f(1)=0⎪⎧3a+b+c=02
⎪⎪⎪
18．解析：（1）f'(x)=3ax2+2bx+c，∴⎨f'(-1)=0即⎨3a-b+c=0，解得⎨b=0，∴
⎪⎪f(1)=-1⎪a+b+c=-13⎩⎩⎪c=-
2⎩
'
f(x)
=
133333
x-x。（2）f'(x)=x2-x=(x+1)(x-1)，令f'(x)=0得x=±1，列表如下：
由表知，当x=-1时，f(x)取得极大值，当x=1，f(x)取得极小值
19.要做一个长方体的带盖的盒子，其体积为72cm，其底面两邻边长之比为1:2，则盒子的长、宽、高各为多少时，才能使其表面积最
19．解析：设底面较短的边长为xcm，则另一边为2xcm，又箱子高为h，则h=为S，则S=8x-
3
7236
=2，设其表面积2
2xx
21683
=2(x-27)，令S'=0，则x=3，且当x3时，2xx
S'>0，∴在x=3时，S取极小值，也就是最小值，∴当底面边长为3cm,6cm，高为4cm时，长方体箱
子表面积最小
20.设
23
(x)的变化情况列表如下：
当x=0时，f(x)取得极大值b，而f(0)>f(a)，f(-1)
3
小，∵f(0)-f(1)=a-1>0，∴f(x)的最大值为f(0)=b-1，又
211
f(-1)-f(a)=(a3-3a2-2)=(a+1)2。(a-2)
1)，∴
22
33a=-a-1+b=-a=
b=1
2221.已知某厂生产x件产品的成本为C=25000+200x+
12
x（元），问：（1）要使平均成本最低，应生400
产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
25000+200x+
21．解析：（1）设平均成本为y元，则y=
y'=
x
12
x25000x=+200+，∴
x40
-250001
+。令y'=0得x1=1000或x2=-1000（舍去），经检验知，当x=1000时，函数取得2
x10
极小值且为最小值。所以要使平均成本最小，应生产1000件产品。（2）设利润函数为
⎛⎛x2x2⎫xx2⎫'
L=500x- 25000+200x+⎪=300x-25000-，L= 300x-25000-⎪=300-。令
40⎭204040⎭⎝⎝L'=0得x=6000。经检验，当x=6000时L取得极大值且为最大值。因此要使利润最大，应生产6000
件产品。
'
111
+2，f'(x)=1-2，时，f(x)==x+当x>1时，f'(x)>0，∴f(x)在[1,+∞)
22x2x
7
是增函数，∴函数f(x)在[1,+∞)上的最小值为f(1)=。
2
22解析：（1）当a=
x2-ax2-a'
>0，f(x)在[1,+∞)上是增函（2）f(x)=，①若a≤1，则当x>1时，f(x)=x2x2
'
数，∴函数f(x)在[1,+∞)上的最小值为f(1)=a+3。由a+3>0得a>-3，∴-3
x2-a
>
0得xa，∴f(x
)在②若a>1，由f(x)=x2
'
'
+∞上是增函数，由
)
x2-a
f(x)=
0得
)在上是减函数，∴f(x)在[1,+∞)上的最小值
2
x
(为f
，∴f=2>0恒成立，综上，a>-3时对任意x∈[1,+∞)，f(x)>0恒成立。