同济大学线性代数复习题

线代补充复习题

一、填空与单选题.

1、设4阶方阵A =(α1, α2,2α3, β1)，B =(α3, α2, α1, β2)，其中α1, α2, α3, β1, β2都是

4维列向量，如果行列式|A |=1，|B |=2，则行列式|A +B |=.

2、设3阶方阵A 的行列式|A |=2，A *是A 的伴随矩阵，则行列式(2A )-A *=.

3、设A 2+3A +E =0, 则(A +E ) -1=.

-1

21⎫⎛a

⎪

3、设矩阵A = 1a -1-1⎪，则a =时，矩阵A 的秩最小.

-12a +2⎪⎝⎭

4、设n 元非齐次线性方程组Ax =β的通解为x =c 1ξ1+c 2ξ2+η，其中ξ1, ξ2, η为线性无关的n 维列向量，c 1, c 2为任意常数，则矩阵B =(A , β) 的秩R (B ) =. 5、设向量α=(1, 2,3)，β=(1, -1,1)，矩阵A =αβT ，则下面说法中不正确的是. (A) R (A ) =1. (B)0是矩阵A 的特征值. (C) α是矩阵A 的特征向量. (D) β是矩阵A 的特征向量. 6、设3阶方阵A =(a ij ) 3⨯3的特征值为λ1, λ2, λ3，则下面说法中不正确的是. (A)如果A 可逆，则一定有λ1, λ2, λ3全不为零.

(B) 如果A 可相似对角化，则λ1, λ2, λ3一定两两互不相同. (C)如果A 2=E ，则λ1, λ2, λ3一定只能为1或者-1.

(D) 如果λ1, λ2, λ3都大于零，则A 的对角元之和a 11+a 22+a 33一定大于零.

⎛122⎫⎛130⎫

⎪ ⎪

7、设有3阶方阵A = 212⎪，B = 310⎪，则方阵A 与B .

221⎪ 00-1⎪⎝⎭⎝⎭

T

T

(A) 既相似又合同 (B) 相似但不合同

(C) 合同但不相似 (D) 既不相似又不合同

43

8、设A 为4阶对称矩阵, 且A +2A =O ，若A 的秩为3，则A 相似于（ ）

⎛-2⎫ ⎪

-2A ． ⎪ ⎪-2 ⎪

-2⎭⎝

⎛-2⎫

⎪

-2B ． ⎪ -2⎪ ⎪

0⎭⎝

⎛-2⎫

⎪

-2C. ⎪ ⎪0 ⎪

0⎭⎝

⎛-2⎫

⎪

0⎪ D. ⎪0 ⎪

0⎝⎭

9、已知AB =C ，且|B |≠0，则下列说法正确的是 ： A. 矩阵C

B. 矩阵C C. 矩阵C D. 矩阵C

的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价

的列向量组与矩阵B 的列向量组等价

10、二次型f =x 2+2y 2+4z 2-2xy -4xz 是 ：

A. 正定二次型 B.负定二次型 C. 非正定也非负定二次型 D.无法判断 11、设α1, α2,..., αs 为n 维列向量组，A 为m ⨯n 矩阵, 下列选项正确的是

A. 若α1, α2,..., αs 线性相关, 则A α1, A α2,..., A αs 线性相关 B. 若α1, α2,..., αs 线性相关, 则A α1, A α2,..., A αs 线性无关 C. 若α1, α2,..., αs 线性无关, 则A α1, A α2,..., A αs 线性相关 D. 若α1, α2,..., αs 线性无关, 则A α1, A α2,..., A αs 线性无关

3

12、设α1=(1,1,0), α2=(1,0,1), α3=(0,1,1)为R 的一组基，则向量b =(2,0,0)在这

T

T

T

T

组基下的坐标为.

13、设二次型f (x 1, x 2, x 3) =x 12+2x 1x 2+2x 2x 3 ,则其正惯性指数为.

⎛1a a ⎫

⎪a 1 a ⎪(n ≥3)，如果齐次线性方程组Ax =0的基础解系中14、设n 阶方阵A =

⎪ ⎪a a 1⎝⎭

只含有一个向量，则常数a =.

⎛234⎫⎛1⎫

⎪ ⎪

15、设A = 6t 2⎪，B = 3⎪(234)，且r (A +AB ) =2，则t = .

463⎪ 0⎪⎝⎭⎝⎭

A.7 B.8 C.9 D.10

16、已知n 阶方阵A 与B 相似，则下列说法正确的是 . A. 存在正交矩阵P ，满足P AP =B ； B. A 与B 具有相同的特征值和特征向量； C. A 与B 均相似于一个对角矩阵；

D. 对于任意的常数k ，矩阵A -kE 与B -kE 相似.

17、设A 为m ⨯n 矩阵, Ax =0是非齐次线性方程组Ax =b 的导出组，则 .

A. 若齐次线性方程组Ax =0仅有零解，则Ax =b 有唯一解； B. 若齐次线性方程组Ax =0有非零解，则Ax =b 有无穷多解； C. 若非齐次线性方程组Ax =b 有无穷多解，则Ax =0仅有零解； D. 若非齐次线性方程组Ax =b 有无穷多解，则Ax =0有非零解.

二、计算题

-1

1、设有矩阵等式(C T B -E )

T

⎛3-1-1⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪

=2A -1C ，其中A = -230⎪，B = 010⎪，

122⎪ 011⎪⎝⎭⎝⎭

=3

=3λ 有唯一解、无解、有无穷多=0

而E 为3阶单位方阵，求矩阵C .

⎧(λ-1) x 1+x 2+x 3⎪

2、问当λ为何值时, 线性方程组⎨x 1+(λ-1) x 2+x 3

⎪x +x +(λ-1) x

3⎩12

解? 并在有无穷多解时求出其通解.

3、设向量α1=(λ,2, -2) T ，β=(1,2,λ-3) T . α2=(2,λ+3, -4) T ，α3=(-2, -4, λ+3) T ，问参数λ取何值时,

(1) 向量β不能由向量组α1, α2, α3线性表示； (2) 向量β可由向量组α1, α2, α3线性表示，且表示式唯一；(3) 向量β可由向量组α1, α2, α3线性表示，且表示式不唯一，

并求一般表示式.

⎛x 1⎫⎛y 1⎫

⎪ ⎪22

4、设二次型f (x 1, x 2, x 3) =ax 12+2x 2+x 3-2x 1x 2-2x 2x 3经正交变换 x 2⎪=P y 2⎪化

x ⎪ y ⎪⎝3⎭⎝3⎭

22

为标准形f =by 12+y 2. (1) 求参数a , b . (2) 求正交阵P . +3y 3

三、证明题

⎛1⎫⎛2⎫⎛2⎫ ⎪ ⎪ ⎪900

1、(1) 设A 4⨯4，α1= ⎪, α2= ⎪, α3= ⎪是线性方程组Ax =b 的3个解，

9⎪ 0⎪ 0⎪ ⎪ ⎪ ⎪90⎝⎭⎝⎭⎝1⎭

证明：A *=0.

(2) 已知α, β是两个相互正交的n 维列向量，证明：矩阵E +αβT 可逆.

2、对于n 阶方阵A =(a ij )n ⨯n ，我们定义A 的迹tr(A ) 为A 的所有对角元之和，即

tr(A ) =a 11+a 22+ +a nn . 可以证明：对任意两个n 阶方阵A , B ，成立等式

tr (AB ) =tr BA (. ) 下面设n 阶方阵A 满足等式A 2=A ，证明：

(1) R (A ) +R (A -E ) =n ，其中E 为n 阶单位阵；

(2) A 可相似对角化，并写出A 的相似对角化矩阵；(3) R (A ) =tr(A ) .

3、证明题:

(1)设A 是n ⨯m 矩阵, B 是m ⨯n 矩阵, E 是n 阶单位矩阵. 若AB =E ，证明矩阵B 的列向量组线性无关.

(2)设矩阵A =ααT +2ββT , 其中α, β是两个互相正交的三维单位列向量. 证明：矩阵A

⎛1⎫ ⎪

2能够相似于对角矩阵Λ= ⎪. 0⎪⎝⎭