高一数学教案:对数函数6
教学要求:理解对数的概念;能够说明对数与指数的关系;掌握对数式与指数式的相互转化. 教学重点:掌握对数式与指数式的相互转化. 教学难点:对数概念的理解. 教学过程: 一、复习准备:
1. 问题14x () =?,() =0.125⇒x =?)(1)取4次,还有多长?(2)取多少次,还有0.125尺? (得到:
11
22
2. 问题2:假设2002年我国国民生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国
民生产 是2002年的2倍? ( 得到:(1+8%)x =2⇒x =? )
怎样求呢?例如:课本实例由1.01x =m 求x 二、讲授新课:
1. 教学对数的概念:
① 定义:一般地,如果a x =N (a >0, a ≠1) ,那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数(logarithm ).
记作 x =log a N ,其中a 叫做对数的底数,N → 探究问题1、2的指化对
② 定义:我们通常将以10为底的对数叫做常用对数(common logarithm),并把常用对数log 10N 简记为lg 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828„„为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,并把自然对数log e N 简记作ln → 认识:lg5 ; lg3.5; ln10; ln3
③ 讨论:指数与对数间的关系 (a >0, a ≠1时,a x =N ⇔x =log a N )
负数与零是否有对数? (原因:在指数式中 N > 0 ) log a 1=? , log a a =? 2. 教学指数式与对数式的互化:
① 出示例1. 将下列指数式写成对数式:53=125 ;2-7=
1128
;3a =27; 10-2=0.01
(学生试练 → 订正→ 注意:对数符号的书写,与真数才能构成整体)
② 出示例2. 将下列对数式写成指数式:log 132=-5; lg0.001=-3; ln100=4.606
2
(学生试练 → 订正 → 变式:log 132=? lg0.001=? )
2
③ 出示例3. 求下列各式中x 的值:
log 64x =
23
=8-;6 l g x =4; l o g ; ln e 3=x x
(讨论:解方程的依据? → 试求 → 小结:应用指对互化求x ) ④ 练习:求下列各式的值: log 525 ; log 2
a
116
;
lg 10000
⑤ 探究:log a a n =? a l o g N =?
3. 小结:对数概念;lg N 与ln N ;指对互化; 如何求对数值 三、巩固练习:
1. 练习:课本70页练习1,3题 2.计算: log 927; log 3243
;3. 作业:书P70 2、4题
;
log (2(2-
;
625.
教学要求: 掌握对数的运算性质,并能理解推导这些法则的依据和过程;能较熟练地运用法则解决问题.
教学重点教学难点:对数运算性质的证明方法 教学过程: 一、复习准备:
1. 提问:对数是如何定义的? → 指数式与对数式的互化:a x =N ⇔x =log a N 2. 提问:指数幂的运算性质? 二、讲授新课:
1. 教学对数运算性质及推导:
① 引例: 由a p a q =a p +q ,如何探讨log a M N 和log a M 、log a N
设log a M =p , log a N =q ,由对数的定义可得:M =a ,N =a ∴MN =a
p q p
a =a
q p +q
∴log a MN =p +q ,即得log a MN =log a M + log a ② 探讨:根据上面的证明,能否得出以下式子? 如果 a > 0,a ≠ 1,M > 0, N > 0 ,则
log a (MN ) =log a M +log a N ; log a
M N
=log a M -log a N ; log a M
n
=nlog a M (n ∈R )
③ 讨论:自然语言如何叙述三条性质? 性质的证明思路?(运用转化思想,先通过假设,将对 2. 教学例题:
① 出示例1. 用log a x , log a y , log a z 表示下列各式:log a
xy z
2
;
log a
(学生讨论:如何运用对数运算性质? → 师生共练 → 小结:对数运算性质的运用) ② 出示例2. 计算:log 525;log 0.41;log 2(48⨯25) ;
(学生试练 → 订正 →小结)
③ 探究:根据对数的定义推导换底公式log a b =
log c b log c a
n m
b >0)a >0,且a ≠1;c >0,且c ≠1;.
作用:化底 → 应用:2000年人口数13亿,年平均增长率1℅,多少年后可以达到18亿? ④ 练习:运用换底公式推导下列结论:log a b n =
m
log a b
;log a b =
1log b a
3. 小结:对数运算性质及推导;运用对数运算性质;换底公式. 三、巩固练习:
1. 设lg 2=a , lg 3=b ,试用a 、b 表示log 512.
变式:已知lg 2=0.3010,lg 3=0.4771,求lg 6、lg12、
. 2. 计算:lg 14-2lg
73
+lg 7-lg 18;
lg 243lg 9
;
lg lg 8-3lg lg 1.2
.
3. 试求lg 22+lg 2⋅lg 5+lg 5的值
*4. 设a 、b 、c 为正数,且3a =4b =6c ,求证:-
c 1
1a =12b
5. 作业: P75 2、3、 4题
教学要求:能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题,加强数学应用意识的训练,提高解决应用问题的能力.
教学重点:用对数运算解决实践问题. 教学难点:如何转化为数学问题 教学过程: 一、复习准备:
1. 提问:对数的运算性质及换底公式?
2. 已知 log 23 = a, log 37 = b, 用 a, b 表示log 4256
3. 问题:1995年我国人口总数是12亿,如果人口的年自然增长率控制在1.25℅,问哪一年我国
x x
人口总数将超过14亿? (答案:12⨯(1+0.0125) =14 →1.0125=
76
→ x =
lg 7-lg 6lg 1.0125
≈12.4
)
二、讲授新课:
1. 教学对数运算的实践应用:
① 出示例1 20世纪30年代,查尔斯. 里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级M ,其计算公式为:M =lg A -lg A 0,其中A 是被测地震的最大振幅,A 0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差).
(Ⅰ)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20, 此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级(精确到0.1);
(Ⅱ)5级地震给人的振感已比较明显,计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍?(精确到1)
② 分析解答:读题摘要 → 数量关系 → 数量计算 → 如何利用对数知识?
③ 出示例2 当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据些规律,人们获得了生物体碳14含量P 与生物死亡年数t 之间的关系.回答下列问题:
(Ⅰ)求生物死亡t 年后它机体内的碳14的含量P ,并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系,指出是我们所学过的何种函数?
(Ⅱ)已知一生物体内碳14的残留量为P ,试求该生物死亡的年数t ,并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系,指出是我们所学过的何种函数?
(Ⅲ)长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%,试推算古墓的年代? ④分析解答:读题摘要 → 寻找数量关系 → 强调数学应用思想
⑤探究训练:讨论展示并分析自己的结果,试分析归纳,能总结概括得出什么结论?
结论:P 和t 之间的对应关系是一一对应;P 关于t 的指数函数P =(思考:t 关于P 的函数? (t =log
12
) ;
x
12
x )
2. 小结:初步建模思想(审题→设未知数→建立x 与y 之间的关系→); 用数学结果解释现象 三、巩固练习: 1. 计算: 51-log
0.2
3
;
log 43⋅log 92-log 1
2
2. 我国的GDP 年平均增长率保持为7.3%,约多少年后我国的GDP 在1999年的基础上翻两翻? 3 . 作业: P83 9、11、12题
教学要求:通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型. 能够用描点法画出对数函数的图象. 能根据对数函数的图象和性质进行值的大小比较. 培养学生数形结合的意识. 用联系的观点分析问题. 教学重点:对数函数的图象和性质
教学难点:对数函数的图象和性质及应用 教学过程: 一、复习准备:
1. 画出y =2x 、y = () x 的图像,并以这两个函数为例,说说指数函数的性质.
21
2.
P ,生物死
讨论:t t =log
亡年数t 都有唯一的值与之对应,从而t 是P 的函数) 二、讲授新课:
1. 教学对数函数的图象和性质:
① 定义:一般地,当a >0且a ≠1时,函数y=loga x 叫做对数函数(logarithmic function).
自变量是x ; 函数的定义域是(0,+∞)
y =2log 2x ,y =log 5(5x ) ② 辨析: 对数函数定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别,如:都不是对数函数,而只能称其为对数型函数;对数函数对底数的限制 (a >0,且a ≠1) .
③ 探究:你能类比前面讨论指数函数性质的思路,提出研究对数函数性质的内容和方法吗?
研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质.
研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. ④ 练习:同一坐标系中画出下列对数函数的图象 y =log 2x ;y =log 0.5x ⑤ 讨论:根据图象,你能归纳出对数函数的哪些性质?
列表归纳:分类 → 图象 → 由图象观察(定义域、值域、单调性、定点)
引申:图象的分布规律? 2. 教学例题
① 出示例1.求下列函数的定义域:y =log a x 2; y =log a (3-x ) ; y =
log a (9-x 2) (讨论分析:求定义域的依据? → 师生共练 → 小结:真数>0)
② 出示例2. 比较大小:ln 3.4, ln 8.5;log 0.32.8, log 0.32.7;log a 5.1, log a 5.9
(讨论分析:比大小的依据? → 师生共练 → 小结:利用单调性比大小;注意规范格式) 2. 小结:对数函数的概念、图象和性质; 求定义域;利用单调性比大小. 三.巩固练习: 1.求下列函数的定义域: y =log 0.2(-x -6) ; y =
.
2.比较下列各题中两个数值的大小:
log 23和log 23.5
; log 0.34和log 0.20.7;log
0.71.6和log 0.71.8; log 23和log 32. 3. 已知下列不等式,比较正数m 、n 的大小:
log 3m <log 3n ; log 0. 3m >log 0. 3n ; log a m >log a n (a >1) 3. 探究:求定义域y =
y =
.
4. 作业: 教材P 81 1、2、3题.
教学要求:了解对数函数在生产实际中的简单应用. 进一步理解对数函数的图象和性质; 学习反函数的概念, 理解对数函数和指数函数互为反函数, 能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质.
教学重点与难点:理解反函数的概念 教学过程: 一、复习准备:
1. 提问:对数函数y =log a x (a >0, 且a ≠1) 的图象和性质? 2. 比较两个对数的大小:log 107与log 1012 ; log
-1
0.5
0.7与log 0.50.8
3. 求函数的定义域y =[1-log 32x ] ; y =log a (2x +8) 二、讲授新课:
1. 教学对数函数模型思想及应用:
① 出示例题:溶液酸碱度的测量问题:溶液酸碱度pH 的计算公式pH =-lg[H +],其中[H +]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.
(Ⅰ)分析溶液酸碱读与溶液中氢离子浓度之间的关系?
(Ⅱ)纯净水[H +]=10-7摩尔/升,计算纯净水的酸碱度.
②讨论:抽象出的函数模型? 如何应用函数模型解决问题? → 强调数学应用思想 2.反函数的教学:
① 引言:当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数(inverse function) ② 探究:如何由y =2x 求出x ?
③ 分析:函数x =log 2y 由y =2x 解出,是把指数函数y =2x 中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上我们通常用x 表示自变量,y 表示函数,即写为y =log
那么我们就说指数函数y =2x 与对数函数y =log
2
2
x .
x 互为反函数
④ 在同一平面直角坐标系中,画出指数函数y =2x 及其反函数y =log 2x 图象,发现什么性质? ⑤ 分析:取y =2x 图象上的几个点,说出它们关于直线y =x 的对称点的坐标,并判断它们是否在y =log y =log
2
x 的图象上,为什么?
⑥ 探究:如果P 0(x 0, y 0) 在函数y =2x 的图象上,那么P 0关于直线y =x 的对称点在函数
2
x 的图象上吗,为什么?
由上述过程可以得到什么结论?(互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称)
x ⑦练习:求下列函数的反函数: y =3x ; y =l o g 6
(师生共练 → 小结步骤:解x ;习惯表示;定义域) 3. 小结:函数模型应用思想;反函数概念;阅读P84材料 三、巩固练习:
1. 求下列函数的反函数: y
=x (x ∈R ) ; y =log
x
x
a
2
(a >0, a ≠1, x >0)
-1
2.己知函数f (x ) =a -k 的图象过点(1,3)其反函数y =f 的表达式.
*3.教材P83 B 组3题.
4. 作业: P83 A 组12题; B 组2题
(2,0)点,求f (x )(x )的图象过
教学要求:掌握对数函数的性质,并能应用对数函数解决实际中的问题. 教学重点:应用性质解决问题 教学难点:综合应用 一、复习准备:
提问:对数函数的图象和性质? 二、基础练习:
1. 根据对数函数的图象和性质填空.
① 已知函数y =log 2x ,则当x >0时,y ∈x >1时,y ∈ 当04时,y ∈ . ② 已知函数y =log
13
x ,则当01时,y ∈;
当x >5时,y ∈ ;当02时,x ∈ . (小结:数形结合法求值域、解不等式) 2. 判断下列函数的奇偶性:
f (x ) =ln(
1+x
2
-x )
3. (1)证明函数f (x ) =log 2(x 2+1) 在(0, +∞) 上是增函数。
(2)探究:函数f (x ) =log 2(x 2+1) 在(-∞, 0) 上是减函数还是增函数?
(此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法,同时熟悉上一节利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法)
4. 求函数f (x ) =log 0.2(-4x +5) 的单调区间. 解法:先求定义域 → 设u =-4x +5(x
54
) ,讨论u 的单调性→ 讨论ϕ(u ) 单调性→结论
(小结:复合函数单调性的求法及规律:“同增异减” → 变底训练) 三、巩固练习 1. 比较大小:
log a π和log a e (a >0且a ≠1) ;log 2
12
和log 2(a +a +1) (a ∈R )
2
2.已知log a (3a -1) 恒为正数,求a 的取值范围.
3.求函数f (x ) =lg(x 2+8) 的定义域及值域.(注意:函数值域的求法) 4.函数y =log
a
x 在[2,4]上的最大值比最小值大1,求a 的值;
5. 求函数y =log 3(x 2+6x +10) 的最小值.
(注意:利用函数单调性求函数最值的方法,复合函数最值的求法.) 6. 求下列函数的反函数:
y =2x +1(x ≥3) ; y =x +6x +10(x ≤-3;) y =2
2
x -3
; y =lg
x -1x +1
*7. 探究:求y =
ax +b cx +d
(ac ≠0) 的反函数,并求出两个函数的定义域与值域,通过对定义域与
值域的比较,你能得出一些什么结论?
课后作业 1.求y =log a (5-4x ) 的单调递增区间;
2.已知y =log a (2-ax ) 在[0,1]上是x 的减函数,求a 的取值范围