抛物线的简单性质
(11)课题:第二章圆锥曲线方程 2.2 抛物线的简单性质
1.抛物线y 2=2px (p >0)的简单性质
(1)对称性:抛物线关于______.抛物线只有一条对称轴.
(2)范围:抛物线在y 轴的右侧,其上任意一点(x ,y ) 满足不等式_______;抛物线向右上方和右下方无限延伸.
(3)顶点:抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的顶点,在方程y 2=2px (p >0)中,当y =0时,x =0,此时抛物线的顶点是坐标原点.
(4)离心率:抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫作抛物线的离心率,用e 表示.由抛物线的定义可知e =____.
(5)通径:通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为(__,__) ,(__,__),连接这两点的线段叫作抛物线的通径,它的长为_____.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)抛物线有一个顶点,一个焦点,一条对称轴,一条准线,一条通径.( ) (2)当抛物线的顶点在坐标原点时,其方程是标准方程.( ) (3)抛物线的离心率均为1,所以抛物线形状都相同.( )
(4)焦准距p 决定抛物线的张口大小,即决定抛物线的形状.( )
2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x =-2,则抛物线的方程是( ) A .y 2=-8x B .y 2=8x C .y 2=-4x D .y 2=4x
3.过抛物线y 2=8x 的焦点作倾斜角为π
4
的直线l ,直线l 与抛物线相交于
A ,
B 两点,则弦AB
的长是________.
4.设AB 为过抛物线y 2
=2px (p >0)的焦点的弦,则|AB |的最小值为________.
补充说明:
抛物线焦点弦的常见性质
如图所示,AB 是抛物线y 2=2px (p >0)过焦点F 的一条弦,设A (
x 1,y 1) ,B (x 2,y 2) ,AB 的中点M (x 0,y 0) ,过A ,M ,B 分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为A 1,M 1,B 1,则根据抛物线的定义,对于抛物线的焦点弦有如下结论:
①|AB |=x 1+x 2+p ;
②若直线AB 的倾斜角为α,则|AB |2p
sin α
;
③A ,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值, 即x p 2
1·x 2=4
,y 1·y 2=-p 2;
④11|AF ||FB |2p
⑤以AB 为直径的圆必与准线l 相切.
二、解疑合探
(1)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过M(2,—,求它的标准方程。
(2)抛物线的顶点在原点,以x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135o 的直线,被抛物线截得的弦长为8,试求抛物线的方程。
(1)已知抛物线C 的顶点在原点,焦点
F 在x 轴的正半轴上,若抛物线上一动点P 到 A (2,
32
)、F 两点距离之和的最小值为4,求抛物线C 的方程。
抛物线的焦半径和焦点弦问题
(1)斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点,且与抛物线相交于A 、B 两点,求线
段AB 的长。
(2)如图,过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的直线交抛物线于点A ,B ,交其准线于点C ,若|BC |=2|BF |,且|AF |=3,则此抛物线的方程为(
)
A .y 2=3x B.y 2=9x C .y 2=39
2x D .y 22
x
(1)已知抛物线
y 2=2px (p >0),直线l 经过其焦点且与x 轴垂直,并交抛物线于A ,B 两点,若|AB |=10,P 为抛物线的准线上一点,则△ABP 的面积为________.
(2)已知过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点,且AB =5
2
P , 求AB 所在直线的方程。
2
如图所示,若A (3,2),F 为抛物线y =2x 的焦点,求PF +PA 的最小值,以及取得
最小值时点P 的坐标。
已知抛物线C 的准线方程为x =-1
4
.
(1)求抛物线C 的标准方程;(2)若过点P (t ,0) 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点,且以AB 为直径的圆过原点O ,求证t 为常数,并求出此常数.
三、质疑再探
同学们还有什么疑问提出来,大家共同探讨!
四、课堂小结
本节课我们都学习了哪些知识?