函数中求最短距离问题
函数中求最短距离问题
最值问题是初中数学的重要内容,也是一类综合性较强的问题,它贯穿初中数学的始终,是中考的热点问题,它主要考察学生对平时所学的内容综合运用,无论是代数问题还是几何问题都有最值问题,在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)。利用一次函数和二次函数的性质求最值。 一、“最值”问题大都归于两类基本模型:
Ⅰ、归于函数模型:即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性,确定某范围内
函数的最大或最小值
Ⅱ、归于几何模型,这类模型又分为两种情况:
(1)归于“两点之间的连线中,线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时,大都应用这一模型。
(2)归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时,大都应用这一模型。 几何模型:
条件:如图,A 、B 是直线l 同旁的两个定点. 问题:在直线l 上确定一点P ,使PA +PB 的值最小. 方法:作点A 关于直线l 的对称点A ',连结A 'B 交l 于点P , 则PA +PB =A 'B 的值最小(不必证明). 模型应用:
(1)如图1,正方形ABCD 的边长为2,E 为AB 的中点,
图1
A
C
图2
P P
A B
l
P
B
A P 是AC 上一动点.连结BD ,由正方形对称性可知, B 与D 关于直线AC 对称.连结ED 交AC 于P ,则 PB +PE 的最小值是___________;
(2)如图2,⊙O 的半径为2,点A 、B 、C 在⊙O 上,
OA ⊥OB ,∠AOC =60°,P 是OB 上一动点,
求PA +PC 的最小值;
(3)如图3,∠AOB =45°,P 是∠AOB 内一点,PO =10,
Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点,求△PQR 周长的最小值.
Q
图3
解:(1)PB +
PE 的最小值是DE = (2)PA +
PC 的最小值是(3)∆
PQR 周长的最小值是 例题讲解:
例1.如图,已知点A (-4,8) 和点B (2,n ) 在抛物线y =ax 2上.
(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标,并在x 轴上找一点Q ,使得AQ +QB 最
短,求出点Q 的坐标;
(2) 平移抛物线y =ax 2,记平移后点A 的对应点为A ′,点B 的对应点为B ′,点C (-2,
0) 和点D (-4,0) 是x 轴上的两个定点.
① 当抛物线向左平移到某个位置时,A ′C +CB ′ 最短,求此时抛物线的函数解析
式;
② 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A ′B ′CD 的周长
最短?若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由.
解:(1) 将点A (-4,8) 的坐标代入y =ax 2,解得a =将点B (2,n ) 的坐标代入y =
1
. 2
„„1分
12
x ,求得点B 的坐标为(2,2) , 2
„„1分
„„1分 „„1分
则点B 关于x 轴对称点P 的坐标为(2,-2) .
54
直线AP 的解析式是y =-x +.
33令y =0,得x =
44
.即所求点Q 的坐标是(,0) .
55
(2)① 解法1:CQ =︱-2-故将抛物线y =
414︱=, 55
„„1分
1412
x 向左平移个单位时,A ′C +CB ′最短,
52
„„2分
114
此时抛物线的函数解析式为y =(x +) 2.
25解法2:设将抛物线y =
„„1分
12
则平移后A ′,B ′的坐标分别为A ′(-4-m ,x 向左平移m 个单位,
2
8) 和B ′(2-m ,2) ,点A ′关于x 轴对称点的坐标为A ′′(-4-m ,-8) .
554
直线A ′′B ′的解析式为y =x +m -.
333
„„1分
要使A ′C +CB ′最短,点C 应在直线A ′′B ′上,
„„1分
将点C (-2,0) 代入直线A ′′B ′的解析式,解得m =分
故将抛物线y =
14
. 5
„„1
1412
x 向左平移个单位时A ′C +CB ′最短,此时抛物线的函数解析式为
52
„„1分
114
y =(x +) 2.
25② 左右平移抛物线y =
12
因为线段A ′B ′和CD 的长是定值,所以要使四边形A ′B ′CD x ,2
的周长最短,只要使A ′D +CB ′最短;
„„1分
第一种情况:如果将抛物线向右平移,显然有A ′D +CB ′>AD +CB ,因此不存在某个位置,使四边形A ′B ′CD 的周长最短.„„1分
第二种情况:设抛物线向左平移了b 个单位,则点A ′和点B ′的坐标分别为A ′(-4-b ,8) 和B ′(2-b ,2) .
因为CD =2,因此将点B ′向左平移2个单位得B ′′(-b ,2) ,
要使A ′D +CB ′最短,只要使A ′D +DB ′′最短. „„1分 点A ′关于x 轴对称点的坐标为A ′′(-4-b ,-8) , 直线A ′′B ′′的解析式为y =
55
x +b +2.要使A ′D +DB ′′最短,点D 应在直线22
16
. 5
A ′′B ′′上,将点D (-4,0) 代入直线A ′′B ′′的解析式,解得b =
故将抛物线向左平移时,存在某个位置,使四边形A ′B ′CD 的周长最短,此时抛物线
116
的函数解析式为y =(x +) 2.
25例2、如图,已知直线y =
„„1分
112
x +1与y 轴交于点A ,与x 轴交于点D ,抛物线y =x +bx +c 22
与直线交于A 、E 两点,与x 轴交于B 、C 两点,且B 点坐标为 (1,0) 。 ⑴求该抛物线的解析式;
⑵动点P 在x 轴上移动,当△PAE 是直角三角形时,求点P 的坐标P 。
⑶在抛物线的对称轴上找一点M ,使|AM -MC |的值最大,求出点M 的坐标。
3⎧c =1⎧
b =-12⎪⎪
解:(1)将A (0,1)、B (1,0)坐标代入y =x +bx +c 得⎨1解得⎨2
2+b +c =0⎪⎪⎩2⎩c =1123
x -x +1„(2分) 22
123
(2)设点E 的横坐标为m ,则它的纵坐标为 m -m +1
22
1231
即 E点的坐标(m ,m -m +1)又∵点E 在直线y =x +1上
222
1231
∴m -m +1=m +1 解得m 1=0(舍去),m 2=4 222
∴抛物线的解折式为y =∴E 的坐标为(4,3) (Ⅰ)当A 为直角顶点时
过A 作AP 1⊥DE 交x 轴于P 1点,设P 1(a,0) 易知D 点坐标为(-2,0) 由Rt △AOD ∽Rt △POA 得
11DO OA 21=即=,∴a = ∴P 1(,0)
22OA OP 1a
11
(Ⅱ)同理,当E 为直角顶点时,P 2点坐标为(,0)„„(6分)
2
(Ⅲ)当P 为直角顶点时,过E 作EF ⊥x 轴于F ,设P 3(b 、3)由∠OPA+∠FPE =90°,得∠OPA =∠FEP Rt△AOP ∽Rt △
PFE
由
AO OP 1b
== 解得b 1=3,b 2=1 得
PF EF 4-b 3
∴此时的点P 3的坐标为(1,0)或(3,0)„„
111
,0)或(1,0)或(3,0)或(,0) 22
33
(Ⅲ)抛物线的对称轴为x =„(9分)∵B 、C 关于x =对称 ∴MC =MB
22
综上所述,满足条件的点P 的坐标为(
要使|AM -MC |最大,即是使|AM -MB |最大
由三角形两边之差小于第三边得,当A 、B 、M 在同一直线上时|AM -MB |的值最大.(10分)
3⎧
x =⎧y =-x +1⎪31⎪⎪2
易知直线AB 的解折式为y =-x +1∴由⎨ 得 ∴(M ,-)„„ ⎨3
22x =⎪y =-1⎪⎩2⎪⎩2,0) ,B (3,0) ,C (0,t ) ,且t >0,tan ∠BAC =3,抛物例3如图所示,已知点A (-1
线经过A 、B 、C 三点,点P (2,m ) 是抛物线与直线l :y =k (x +1) 的一个交点. (1)求抛物线的解析式;
,n ) ,求PQ +QB 的最小值; (2)对于动点Q (1
(3)若动点M 在直线l 上方的抛物线上运动,求△AMP 的边AP 上的高h 的最大值.
解:(1)由A (-1,0)知AO=1,
由tan ∠BAC=3,得CO=3AO=3,∴t=3 设抛物线的解析式为y =a (x +1)(x -3) , 将点C (0,3)坐标代入得a =-1 ∴所求解析式为y =-x +2x +3
(2)m =-2+2⨯2+3=3,P (2,3)
动点Q (1,n )在直线x =1上运动,点B (3,0)关于直线x =1的对称点为A (-1,0) ∴PQ+QB=PQ+QA
22
∴PQ+QB的最小值为PA=2-
(-1)]+3=32
2
2
(3)将点P (2,3)的坐标代入y =k (x +1) 得k =1
∴直线l 的解析式为y =x +1 ∴AP 在l 上.
设M (x ,-x +2x +3),过M 作y 轴的平行线交AP 于D ,则D (x ,x +1), MD=-x +2x +3-(x +1) =-x 2+x +2 S △AMP =S△AMD +S△PMD
2
2
11
(-x 2+x +2)(x +1) +(-x 2+x +2)(2-x ) 2232
=(-x +x +2) (9分) 2
=
2S ∆AMP 3(-x 2+x +2) 2∴h ===(-x 2+x +2)
AP 232
=
219[-(x -) 2+] 224
192
时,h 的最大值为 28
∴当x =