经济数学基础线性代数之第1章 行列式

经济数学基础之线性代数 第1章 行列式

第一单元 行列式的定义

一、学习目标

通过本节课学习，理解行列式的递归定义，掌握代数余子式的计算，知道任何一个行列式就是代表一个数值，是可以经过特定的运算得到其结果的．

二、内容讲解

行列式 行列式的概念

什么叫做行列式呢？譬如，有4个数排列成一个行方块，在左右两边加竖线。

3

5

即-

12

有几个概念要清楚，即

上式中，横向称行，共有两行；竖向称列，共有两列； 一般用

a ij

a 12=5，a 21=-1，表示第i 行第j 列的元素，如上例中的元素a 11=3，

a 22=2．

13

-102

4

再看一个算式

5-70

称为三阶行列式，其中第三行为5，-7，0；第二列为

a =5

–1，2，-7；元素a 23=4，31

01

200

331

100

4-1-2-3

又如

，是一个四阶行列式．

而a

11

经济数学基础之线性代数 第1章 行列式

A 11=(-1)M 11=-

1+1

24

-70

代数余子式就是在余子式前适当加正负号，正负号的规律是-1的指数是该元素的行数加列数．

A 32=(-1)

3+2

M 32=-

a ij

1034

A ij

问题思考：元素的代数余子式是如何定义的？ 代数余子式

i +j

A ij

由符号因

i +j A =(-1)a M (-1) 子与元素ij 的余子式ij 构成，即ij

M ij

三、例题讲解

1D =3

-2

-404

2-35

例题1：计算三阶行列式

分析：按照行列式的递归定义，将行列式的第一行展开，使它成为几个二阶行列式之和， 二阶行列式可以利用对角相乘法，计算出结果．

D =1⋅(-1)

1+1

0-34

5

+(-4)⋅(-1)

1+2

3-2

-35

+2⋅(-1)

1+3

30

解：

-24

=1⋅12+4⋅9+2⋅12=72

四、课堂练习

a D 4=

00g

0c e 0

0d f 0

b 00h

计算行列式

利用n 阶行列式的定义选择答案．

经济数学基础之线性代数 第1章 行列式

五、课后作业

1. 求下列行列式的第二行第三列元素的代数余子式A 23

1

220

3-1

132-14

10

20

4-100

4-38

（1）

-12

（2）

5

0-206

2．计算下列行列式

1

0-123

450

1-12

34

51

01

（1）

-26

（2）

-21

1021D 4=

[1**********]0

3．设

（1）由定义计算D 4；

（2）计算a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23+a 24A 24，即按第二行展开； （3）计算a 31A 31+a 32A 32+a 33A 33+a 34A 34，即按第三行展开； （4）按第四行展开．

经济数学基础之线性代数 第1章 行列式

第二单元 行列式的性质

一、学习目标

通过本节课的学习，掌握行列式的性质，并会利用这些性质计算行列式的值．

二、内容讲解 行列式的性质

比较容易了．

行列式的性质有七条，下面讲一讲几条常用的性质．在讲这些性质前，先给出一个概念：

把行列式D 中的行与列按原顺序互换以后得到的行列式，称为D 的转置行列式，记为D ．

123789

147369

D =456D T =258

T

如,

3456

=3546

=-2

1．行列式的行、列交换，其值不变．如

这条性质说明行列式中，行与列的地位是一样的．

经济数学基础之线性代数 第1章 行列式

34

2．行列式的两行交换，其值变号．如56

=-

5634a

=-2

b =3a c b d

3．若行列式的某一行有公因子，则可提出．如

3c 3d

注意：一个行列式与一个数相乘，等于该数与行列式的某行（列）的元素相乘． 4．行列式对行的倍加运算，其值不变．如倍加运算就是把一行的常数倍加到

3

1+2

31

另一行上

-1-2 50

=-5

注意：符号“ +2 ”放在等号上面，表示行变换，放在等号下面表示列变换． 问题1：将n 阶行列式的最后一行轮换到第一行， 这两个行列式的值有什么关式

C n

C n (-1) n -1D n ，那么这两个行列式的值的关系为： =

问题2：如果行列式有两行或两行以上的行都有公因子，那么按性质3应如何三、例题讲解

a 4-1

0b 8

0000c 0

例1计算行列式

5-76d

.

分析：利用性质6，行列式可以按任一行（列）展开．本题按第一行逐步展开，计算出结果．

a 4-1

0b 8

0000c 0

b a 8

00c 0

解：

5-76d

=

-76d

ab

c 0

=

6d

=abcd

经济数学基础之线性代数 第1章 行列式

我们将行列式中由左上角至右下角的对角线， 称为主对角线．如例1中，行列式在主对角线以上的元素全为零，则称为下三角行列式． 由例1的计算过程，可得这样规律：下三角行列式就等于主对角线元素的积． 同理，主对角线以下元素全为零的行列式，则称为上三角行列式，且上三角行列式也等于主对角线元素之积．今后，上、下三角行列式统称为三角行列式．

182

24

369

48-4

9-7-6

例2 计算行列式

-77

分析：原行列式中第三行的元素是第一行的2倍，因此，利用行列式的倍加运算（性质5），使第三行的元素都变为0，得到行列式的值．

182

24

3691048-4

180

20

309

40-4

9-7-6

9-7-6

解：

-77

232

-2112

-77

= 0

-121

4-3-1

例3 计算行列式

1

分析：利用行列式的倍加运算（性质5），首先将某行（列）的元素尽可能化为0，再利用行列式可以按任一行（列）展开的性质（性质6），逐步将原行列式化为二阶行列式，计算出结果．

10

-121

232

-2112

1

+ 0

-10-2

112

21

44

4-3-14-30

解：

1

1

经济数学基础之线性代数 第1章 行列式

101

-10-2

111

4-30

2

4-10

11

-1-2

11-1

-1-2

11-1

4⨯(-1) 3+34-3

=

-1-2-1

1=-4(-1-2) =12

4⨯1-3

+

4⨯(-1) 2+1

=

通过此例可知，行列式两行成比例，则行列式为零．

三、课堂练习

a 11a 21

a 12a 22a 32

a 13a 23=d a 33

3a 31-a 11

3a 32-a 122a 22

3a 31-a 132a 23

练习1 若

a 31

，求行列式

2a 21

利用行列式的性质3，将第一行的公因子3、第二行的公因子（-1）、第三行的公因子2提出．

利用行列式的性质3和性质2，将所要计算的行列式化为已知的行列式，再求其值．

13

97

103299

-321-5

2-8198

练习2 计算行列式

4-5405

由性质4，若行列式中某列的元素均为两项之和，则可将其拆写成两个行列式之和．

在着手具体计算前，先观察一下此行列式有否特点？有，其第三列的数字较大，但又都分别接近100、200、300和400，故将第三列的元素分别写成两项之和， 再利用行列式的性质4将其写成两个行列式之和．注意，将第三列的元素分别写成两

经济数学基础之线性代数 第1章 行列式

项之和时，还要考虑到结论“行列式中两列元素相同（或成比例），则该行列式的值为0”的利用．

五、课后作业

1．计算下列行列式

01

-1-50

70

12-123

121

（1）

5-7

（2）

1

35

240

371

480

1w

1w

20

w 2w

（3） 2．证明

w w 2

(w ≠0) （4）

9-78-3

a -b b -c b -c

c -a c -a

c -a a -b =0

a 21

ab 1

b 2

3

2a a +b 2b =(a -b )

（1）

a -b b -c

（2）

1

22-w (w -1) 1．（1）0 （2） -2 （3） （4）0

2. （1）提示：利用性质5，将第一行化成零行．

（2）提示：利用性质5，将第三行的元素化成“0 0 1”，再按第三行展开，并推出等号右边结果．

第三单元 行列式的计算

一、学习目标

通过本节课的学习，掌握行列式的计算方法．

二、内容讲解

经济数学基础之线性代数 第1章 行列式

行列式的计算

行列式=按任何一行（列）展开 下面用具体例子说明．

a c b

3

5

d =ad -bc -12

=3⋅2-5⋅(-1) =6+5=11

一个具体的行列式就是代表具体的一个数．再看一个三阶行列式．

13

-102

4

5-70

可以按任何一行（列）展开

1⨯

2

4-703

2+1⨯

34501

+0⨯

3

2

5-728-20+0==8 1-3

2

按第一行展开=

0⨯

按第三列展开=

5-7

-4⨯

-1

5-7

+0⨯

=0-4⨯(-7+5) +0=8

注意：1．行列式计算一般按零元素较多的行（列）展开．

2．代数余子式的正负号是有规律的，一正一负相间隔．

a b c d 0

问题：试证

a 1c 1c 2

b 1d 1b 2d 2

=a b a 2c d c 2

b 2d 2

0a 20

经济数学基础之线性代数 第1章 行列式

三、例题讲解

1-101

001

20

02-13-20

例 计算行列式

4

分析：由性质6可知，行列式可以按任何一行（列）展开来求值．因为第二、三行，第四列的零元素都较多，所以可选择其一展开，再进一步将其展成二阶行列式，并计算结果．

解：按第三行展开

1-1014

001

20

0-13

-1201-1

014

2-1-2

3+1

521⨯(-1) 1-20

=

-13+2⨯(-1) 3+40-20

3⨯(-1) 2+3

-11

2-2

-2⨯(-1) ⨯(-1) 2+3

1-4

1

=

==-3⨯(2-2) -2(1+4) =-10

四、课堂练习

a -10

1b -10

01c

001

练习1 计算行列式

0-1d

根据定义，按第一行展开，使其成为两个三阶行列式之和．

经济数学基础之线性代数 第1章 行列式

2-1-2-2

-325

-2-20385

162824

练习2 计算行列式

4

五、课后作业

1．计算下列行列式：

1222

-12-21

4

4

-18-8

22222232

（1） （2）

2224

——11——

经济数学基础之线性代数 第1章 行列式

4

[1**********]6

215061

3573

42000000

3613

1313

（4）2x a a a x a a a x

2．计算n 阶行列式 （3）

1234

1．（1）48 （2）4 （3）-3 （4）-340

n -1(x -a ) [(n -1) a +x ] 2.

第四单元 克拉默法则

一、学习目标

克拉默法则是行列式在解线性方程组中的一个应用，通过本节课的学习，要知道克拉默法则求线性方程组解的条件，了解克拉默法则的结论．

二、内容讲解

克拉默法则

设n 个未知数的线性方程组为 ⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1⎪a x +a x + +a x =b ⎪2112222n n 2⎨

⎪ ⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+ +a nn x n =b n （1）

——12——

经济数学基础之线性代数 第1章 行列式

a 11

D =

记行列式的元素

a 12

a 1n

称为方程组（1）的系数行列式．将D 中第j 列

D j

a 21 a n 1

a 22 a 2n a n 2 a nn

a 1j , a 2j , , a nj

分别换成常数b 1, b 2, , b n 而得到的行列式记作

．

克拉默法则 如果线性方程组（1）的系数行列式D ≠0，那

么它有惟一解

x 1=

D D 1D

, x 2=2, , x n =n D D D （2）

证将（2）式分别代入方程组（1）的第i 个方程的左端的x 1, x 2, , x n 中，有

a i 1

D D 1D

+a i 22+ +a in n D D D （3）

D j

将（3）中的

D

按第j 列展开， 再注意到j 中第j 列元素的代数余子式和D 中

A

第j 列元素的代数余子式ij 是相同的， 因此有

D j =b 1A 1j +b 2A 2j + +b n A nj

(j =1, 2, , n )

（4）

把（4）代入（3），有

=

a i 1

D D 1D

+a i 22+ +a in n D D D

1

{a i 1(b 1A 11+b 2A 21+ b i A i 1+ b n A n 1)+a (b A +b A + b A + b A )

i 2112222i i 2n n 2D

„+„

+a in (b 1A 1n +b 2A 2n + b i A in + b n A nn )}

把小括弧打开重新组合得

——13——

经济数学基础之线性代数 第1章 行列式

=

1

{b 1(a i 1A 11+a i 2A 12+ +a in A 1n )D

+b 2(a i 1A 21+a i 2A 22+ +a in A 2n )+

+b i (a i 1A i 1+a i 2A i 2+ +a in A in )+

+b n (a i 1A n 1+a i 2A n 2+ +a in A nn )}=b i 因由性质6和性质7

⎧0

a i 1A k 1+a i 2A k 2+ +a in A kn =⎨

⎩D

i ≠k i =k

故上式等于b i ，即

a i 1

D D 1D

+a i 22+ +a in n =b i D D D

下面再证明方程组（1）的解是惟一的．设

x 1=c 1, x 2=c 2, , x n =c n

为方程组（1）的任意一组解．于是 ⎧a 11c 1+a 12c 2+ +a 1n c n =b 1⎪a c +a c + +a c =b ⎪2112222n n 2⎨

⎪ ⎪⎩a n 1c 1+a n 2c 2+ +a nn c n =b n （5）用A 1j ，A 2j ，„A n j 分别乘以（5）式的第一、第二、„、第n 个等式，再把n 个等式两边相加，得

(a 11A 1j +a 21A 2j + +a n 1A nj ) c 1+ +(a 1j A 1j +a 2j A 2j + +a nj A nj ) c j + +(a 1n A 1j +a 2n A 2j + +a nn A nj ) c n =b 1A 1j +b 2A 2j + +b n A nj

根据性质6和性质7，上式即为

c j =

D j D

D c j =D j (j =1, 2, , n )

因为D ≠0，所以

(j =1, 2, , n )

克拉默法则有以下两个推论：

推论1 如果齐次线性方程组的系数行列式D ≠0， 那么 它只有零解．

——14——

经济数学基础之线性代数 第1章 行列式

推论2 齐次线性方程组有非零解的必要条件是系数行列式D =0． 问题：对任一线性方程组都可用克拉默法则求解吗？

与方程个数相同，但其系数行列式等于零时，不能使用克拉默法则．

三、例题讲解

⎧-3x 1+4x 2=6⎨

2x -5x 2=-7

例 利用克拉默法则解下列方程组⎩1

分析：这是一个两个变量、两个方程的方程组，它满足了克拉默法则一个条件．克拉默法则的另一个条件是要求系数行列式的值不等于零．因此，先求出方程组的系数行列式的值，若它的值不等于零，说明该方程组有惟一解，然后求常数项替代后的行列式的值，再用克拉默法则给出的公式求出解． 解：因为系数行列式

D =

-32

4-56

=(-3)⨯(-5)-4⨯24

-32

=15-8=7≠0

6-7

=9

D 1=

且

-7-5

=-2

D 2=

，，所以

x 1=

D 1D 29

=-x 2=2=D 7，D 7

四、课堂练习

k 取什么值时，下列方程组有唯一解？有唯一解时求出解．

⎧x 1+x 2+kx 3=1

⎪

⎨-x 1+kx 2+x 3=-1⎪x -x +2x =0

23⎩1

对行列式作变换“第二行加上第一行的1倍，即 + ；第三行加上第一行的-1倍，即 + (-1) ”．

这是三个未知量三个方程的线性方程组，由克拉默法则知，当系数行列式D ≠0时，方程

——15——

经济数学基础之线性代数 第1章 行列式

五、课后作业

用克莱姆法则解下列方程组

⎧x 1+x 2+x 3+x 4=-7⎪x -3x -x =8

⎧2x 1-x 2 =2⎪134⎪⎨⎨x 1+x 2+4x 3=1⎪x 1+2x 2-x 3+x 4=-2⎪ x +2x =1⎪2x +2x 2+2x 3+x 4=-423⎩⎩1

——16——