模糊控制基础理论

第 2 章智控能制基础理

智论控制能技主术要包模括控糊技制术、经网络控制技神术、专家 控制技术遗及传算等法要学。好利和用这些控技术，制论理础是基 不可必少，因此本的章要对主智控能制技术涉所及基的理础论知识了作 详尽的绍介，括包有糊模制基础理控、论经神网基络理础和专家论 统系等 ，学好章内本容 ，理是和解掌智握控制技术的能提前件和条关。键

．2 1糊模制基控理论础

1695年 L .A扎.(Zad德eh)首先提了出糊集合模概念,由的开此了 模创数学糊其应用的新及元。纪糊模控是模糊集制理论应合的一个重用要的 方面因此学。模习糊制控技首术先须必握模糊掌合集理论基本 知的识

2．。11 ．普集通合及运算其规

普则集通合理论是代数学现基的,础 而Fuzzy集 合理论是普在通集合 理论的础上发基起展的。因来，学习此Fu zy 集z合论理必紧须联 系密通普合。 集1．普 通集的合基概本念 1（）论 域 考虑一在个具问题时，体总先将议是题局限在定一范内围 这个范，围为称域论，常大写字用 母UE ，等表来示。（2 ） 元素 论域中每个的象对成为，元素，常用写字小 母,abx,,y 来 表示。等（3 ）合 集给一个定域论其中具，某种有同属相性的确、定的可以彼 此、区别元的素的体全成，为集，即概括来说合，集是合论域部中分元 素全体。的常用写大母字 A，B，，…，CX，，Y 来Z表。示 素元a 集合与 的关系只A两种有能，可要么 a即 ∈A, 么

a ∉要 A ，∉代 表此非即。 其彼中符号∈ 表 “属代于”， “ 不于属”。

合的表集示:

①列举法法（枚或举法 ）集合的元当素数目限时有，将其中可的元一素列一出，用 大并号括起，括表示集合，例以，

如

A= { 1a , a2 , K a , n}

中

其

(-2-1)

a11, a2, Ka n构为成集合A 的 部全素。

②元述法描（或定法义） 集合的当元数目无素限，可通时元过的定素来义述集合描， 即

A {=x| p(x )

}(2

1--2)

中， 为 x 集其合 A 的素 元(x ∈ A )其数目,无限或当多； p相 x() 指是 x 应足的满条，即给件出的于关 x的定域。例如义

，

A {= |a y= a x +, a b≤ }0， 其中p( x) = y=a x+ , ab≤ 0 ③特征

数法 由函元素 于a与 合集A 关的只能系 a ∈有 A和 a ∉A情 况故集合 A， 通可函数过2-1（-3来表）示见图 ,-2-1。 1两种



1 a , ∈ A C A(a) =  , a0∉ A

CA( )a

(2-1

3)

-10

α∉A

2-1-图1

∈αA

α

A

∉

α

特征数函图

式

2（--1）所3函示 C A (数a ) 成为集 合A 的 征函数，它特只取 0与1 个两值 （4）。 集、空全，集集 子集 全集合包论含里的全部域元素，这样集合成为全集， 记的 为E。

空 子集集

不

含包任何素的集元合称，为集，记为空 φ 设。

A 与B 是 域 论 的U两个集合 ∀ ，x∈ A⇒ ∈ x

B（读作

：所若元素有 x属于集 合 A成 立则元素，x 属 集于合 B成）立则称合集 B包于集合 含，A记 A 为⊂B ，这时称 合集A 为 集 合 B的子。若 A ⊂集B ，且 B ⊂A ，成则 为A与 B等相，记 A=B。 为．2 普集合的通本基算运 1（） 并”运“ 集合算A 与集合B “经并运”取得算并集，合简并称，记 集 为A BU。它由 与AB 合并而成，其中但重复的素只能出元 一次，记为

现

UA B =x |{x ∈ A o r x∈ B}

（2） “ 交”算

运

2（1-4-

集合）A 集与合 B的 交“”运称算交集，为为 记AI B 其 元素，同时是属 于A和 B 的 些那素元即

，

I A =B{ x x| A a∈d nx ∈ B}

2（-15）-

若

合集A 与 B 无 共同素，元 称 A B 不相交，或与互质记，为

A

IB ∈

φ3）（ 补”的运“ 集算 A合 的“”运算是补过其补集通A 定的义即

，A = {x| x∉ A ,x ∈ U

（4） }集合的积直

（

-1-26

）

由个集两 合X 与Y 的 自元素 各x ∈X y及∈ Y 成的序偶

作(x , y 的集)合称为 X 与 ， Y的直，积为 记×YX，

即

X

× Y= { x( ,y) | x ∈X , y ∈Y

在一般情}况，下×YX Y×X。≠例 -121 设 - 为实R数合，集即

(21-7)-

R

=x | −∞ {

则有

R ×

R= ({ x y,) |−∞

平个， 记面作R = R R 。 ×便是通这常说所的纬

二2

殴空氏间。 个集两直积的概念可合推广以多个集到上合。设去

A

1, A2 , ,L A n 为n个集合 其，直定义为积 A ×1 A 2 × L ×A n {( =x 1,x 2 , L x,n ) | 1x ∈A1 ,x2 ∈A 2 ,L, x n ∈A n}

同理， R× ×RRR =表三代纬欧空间。 氏推而广， 之可得 n纬n R

×R × 24R =4 R 4 1L 444 3 n

个3

氏空殴间 ． 3通集普合算的基本规运律

。

设集

合,A ,B C ⊂U， 并其交、补运、满足下列算项各基本 律： （规）1 等幂

律

AU A =A

,2（） 交换律

A A I A AI B= =B I A

A UB = B UA

（3）,结合律

(A UB )U C A U =( BU C ) ( A B)II C = IA( I BC

（4)） 分律

配

U ( B I A C = ( ) U AB )I (A IC) A I( B UC =)( AIB) (UA C I)

（5） 收律

A吸U ( B I) A= A A IB U( C =)A （6

） 同一

律

A φ = AU A, I φ =φ A UE= E A ,I =E

（A7）互 律

补A

U A =E ,（8）

对律偶

A

IA=φ

A ( UB )= AI B, ( A BI )=A U

B（9） 原复

律A

=

A．21．2Fu zyz集 合及其算运则规1． Fzuzy 集合与隶属

度基于通普合概集，其论念域的任元一素要，属么于某个合集要，么 不于属该合，不允许有含混集不清说的。因此法普，通集适用于 合述“非描此彼即”的晰概清。念然而现，生活实中充却满 Fu了zzy 物与事 uzFyz 念概。如，例“有大于 1 的实数所，”一清是晰概念可， 用上一节介的普绍通合来描述，然集而若把它改为所“比有 大得1多

的”候时，无法划就分出严分明格的界限，则变，成一 个uzFyz 念 概了在这种情。况下，只能说数属于某比 “ 1得多的实大数”程的高度，另一 数属于它的度低。比程如，0110属于 比 “1大得多的实数”的程 比度 19 属于它0的程高度又如。“，胖子集”合“老，人”集年， 合高个子“集合等”它，们的界都边不确。将明类边这不界确的明集 称合为 uzzyF集合 。由于 于 Fuzz对 概念不y能仿清晰照概念用“于”属“不属于或”来 表，故 F达zuz 集y也不合能普像通合集样通过特征那数来函描，述 必须通过而映反元某素 x 属于 uzFyz集 A合 的程度的隶属数

函µ A x) 来描述(。中 其µA ()x

表示

素元x 于属 uzFy 集z合 的隶A

属

度用，[，1]0闭区间一的数表达。因个，隶此函属数µ A ( x)通过在 [，1]闭区间连0续值取来说明构成Fu zz y合 集A的元素（ 自变）属量于 Fuzyz集 合A的程度的 低。例高如，说某人属明于老“年”集人合 的隶函属数表达为

可

µ 年人 老 ( x =

) 1 5 21+ ( x ) −0

5（2--81

式）中 代表 x5 岁0以上的人某年龄。果如甲是55 ，代入式岁 （-22-8计算得）

µ

老年人（55 ）= 0.5

则说，像甲明这样5 5的人岁能

算只老半因，这为的人属于“样老年人的”集合的隶度属只有0 .，5同 样 ， 年龄 6为 岁0、 7 0 岁 分别 带 如 式（ 1-8 ，） 计算

得 µ老人年（6 0）= 0 8,.µ 老 人 年70()= 0.49。 说这 明60岁 、0 岁的7属人

于“

老年人集合的”属度隶别为分 .08 和0.94 基本，上以可为是老认 人。年 2.F uzzy 集合的示法表 1（ Za）deh表示法

µ

A ( x)＞0 的全 部素组成的集元， 在论合域 U中 ，为称 Fzzyu

或“支，”集。 就也是，当说某个素的元属度为 集合 隶 的“台”A 时零它就不属于该， uzzyF 集。当 合uzzFy 合集A 有一个 有的 台限{

x1 ,

2 ,xL, x n}时，可表达为

=A

µ ( x1 A)x

1

+

A ( xµ2) x

2

+

µLA ( x n

)x

n=∑

=i

1n

µ

A ( ix)

ix

(-129-

)

中式，

素

Aµ (i ) xix 并不表代分“数” 而，表是论域 U 示中

xi元 与其隶度属 µA ( x )i之间 的对关应系，称 “单点” 为 符； “+”

号 当Fuzyz 合集A 的有无限台个元多时素，应用Zade h表

示不也示“求表”和，而 是示表 Fzuyz集 在合域论 U上 的体。整

法

，Fzzy u合集A 表为达

=∫

Aµ A

( x)

Ax

,x∈U

2(-1-0)1

子式的中积分号

符∫

A

不代表普

的通分，也不代积求和，

表而是示无表限多个元与素相隶书度对应关应系一个总括的所。以 ，在种情况这，下子（式2-1-10）中不也需要加写符算d x。 （）2 向表量法 示当Fu zy z集 A 合的台由有限个元构成素， Fu时zz y集 A合 可表示成还量形式，即

向

A= [µ A x1() µ A ( x 2)L µ A( x n) ]

(2-1

1-)1

注意，用向应表示法量，隶属度等时于零项，的在子式

（-1-211 ）示向量中必所须 以 代替0 ，不舍能弃。例如 ， 已知 uzFzy 合集几“”的个Za dh e示为

表0.

3.0 7 1 0.71 .03+ + + + + 5 6 4 8 几7个= 3其

中论域

=U {,12,,4,3,56,,8,79

}写成向的表示形式为 几量=[个00 0 . 307 1 1.0. 7 03 0. 向量]示表法对 于Fzuyz集合的运 算十分便。 （方） 隶3函属数法给出 隶属函数的解析达式表 ，能表也示相出应 Fu的zz 集y合 例。，Z如aehd曾 过“老年人”通和青年人”“Fuzyz 集合隶的 函属

数 老年µ人 ( x)

及

µ青 年人 ( x

)

即，

达 uFzyz集 合“年人”老“青与人” 年其，年龄论域U={0， 100，} 为x 0在 1与00 取值间的龄变年。量 属函隶及其确数:定 隶属①函数隶 属数这个概函，念在 是9651年 首先有美国动控自专家 L制A..Zdea 在h他的论文《模集合糊论中提》出。利用的这概念 来描个客观事物差述的异中间过中度不的分性，即 明uzzyF性， 首次成 功地用运了数学法方描 述Fuzyz概 。 念普通集在论合， 描述集中合的特函数 C征 (Ax) 允许只取{0， }两个1，它将值值二辑逻{01，}推广可取[0至，1]闭间任意值区 连的值逻续辑从而必须，把特征函做适数当拓广的，这是就属 函隶 µ数A ( x )。因此隶，属数 函µ (Ax) 与特函征数C A ( x) 的 含义

相类

，似它但值是的[0在1，闭]区上连续取得的间，它即不仅 可取以 与01， 且而以取 0 可 1 到间的小之数值 。当

µ A x( )取越

值近接于1 时 ，x隶 属于A 程度就的越高隶。函属数有时也作

记µ

( x) ∈ 0,1][

。②属隶数函的定 确上综所述，属函隶数描是客观事述物 Fzzyu 性关键，的以可看出确定 属函隶数重要的性在实。践中确定隶，属函数的方是法多种多 样，没的有个统一一模式的。采用不的同方，其法果往结往是 同，因此，不判别确定所的属隶函的数与好好的不准标能只是 看是它符合否际实。下面介一种绍定隶属确函数一种的主方要 法 Fuzy z计统。法 用应 uzzyF 计法统定隶确属函数的步是骤 ：首先：选一取论域个 U，例如年论域龄U =[，0001]； 次其：论域在中择一个固选的定元素

µ0 U∈ ， 如例

µ

0 27 =；岁再次：考

虑U的 个一动着运，的界可边变的通普合集 A 例如，“年人青集合。”个概这念是着不同随条件、的场合和观 而改变点的而，次每验实际实上理可解，让持为有同不观的点评人论 2 7 是岁否属于“年青人这个集“ A合 。然当，时会得到有”27 岁于青年人“，即属*

µ 0 *

∈ *A ，有但也时会不到”2得7岁不 *

属于青

年人，“ 即µ 0 A∉ 的结。 果通过述实上，

验

µ0 = 2 岁7对 于 “青 年 ”人的 隶 度

µ属青 年人( µ 0) 由下可式取求，即µ

青 人 (年 0µ ) =li

n m→

∞µ

0∈A 的数

n次(2-

-12)1

其中 n

为总验次数，实要它求充分就可大了。以实践证，随

明 n 着增的大 µ 青年人 ，(µ 0 )*

也会

向一个趋[01，]间上的数，

区这个数

是便µ 0 ∈ A 隶属度的 最后。在论域 ： 中，U取不选同的元 µ 素 0，按式（2并2-1-2 ）算其属计集合于 A的 隶属 度µ (µ 0) 。将隶度属为零的不那元些

*素 µ 0隶和度 µ属 ( µ0) 一搭配起构单点成µ µ(0 )的点集单

µ

0， 样构成这

∑i =1

m

µ ( 0i ) µ便是论 域U 的F uzyz 集 子例如，，Fzzuyµ i0

集合青“人年”。 据单根

µ 点(µ 0 µ)0 ， 可 出画Fuzzy 集 合 A 隶的属数函

µ A

µ ( ) 见图 ,-21-。

2图

21-2 -隶函数图属武汉工 大学业的张男为确定伦描述F zzu y念概“青人年的”F zuyz 集的隶合函属数选择了， 28 5进人行验实要求。试者尽 可能恰被地当用一区间个表青示人的年龄界年。限于被试者对于由“ 青年人”的解有理差。异所得故的区间不完全同相，中其部 分的结果见 2-1表1。

表-2 -1- 1抽样 数据（表位：单岁）

81~5 25130~18 3~0 18~2515 ~821 ~65 153~8

217

~0 38135 18~~0 13~85216~ 301 ~52 18~53

01~728 17~3 01525 ~6~18 129~8 125~2515~ 2

158~52 81~2 581~30 81~3 051~30 8128~1 ~525

16

3~5 8~15215 2~ 86130~15~2 616~30 8~31

10~25 661~0 18~38215~30 1 82~815 ~2 54~12 58~315 1628 1~6~281 725 15~2~ 86~24 18~1031 ~3071 8~251 ~85318 ~3 106~2

5182~ 1883~51 830 ~5~1531 ~85 138~5318 ~03 2030~ 1~380 1~38 15~36 158~53 5~125 8~31 041~5 12~70 37~30118 ~3 170~5

2

16~8 27~2511 8~2 155~3 016~3 10~503 813~ 5813~018 3~ 10~35 81~8301 83~016 32~1 73~ 01~82 16628 ~15~3 170~3018 29

~8~103 1~305 1~635 0~23 10530 ~1~255 1~38 51~36016~3 07~27 11~370 172~81 ~527 1~80 31~8921 830~1 ~83 160~35 8~281

81~35 1~28517~29 0~2031 ~8351 ~50316~ 52 2~03 15~358 1~286 8~351 1~35 81~38 158~5318 35~16~28 1 ~360 1~73

0应

用 uFzy 统计法，从表z 22-- 按式（212--2）1计 算5-31 岁4对 Fuzyz 合集青年人“的隶”度，结属列入果 表2--21

表2-1 - 隶2度属表

龄年（岁 ）5116 17 18 192 021

隶 属次数 7 25 671 241 1521 921 9

2隶属 度0.21 0.9 0352 0..6 9.0971 1

龄年 隶 （岁属 ）数次 2223 2 425 26 72 8 1229 19 2129 218 130 110 99

属隶度 1 1 1.0990.8 0 0.7 0.77

8 年龄 属隶 （岁 次）数 293 03 132 3 334 0877 7 2722 6 6

2隶属

度 0 62 ..0060 21.0. 2 1020 ..200

µ0 2= 7对 岁uFzyz 集合“青年人”隶的度属 µ青年人 27()

与试验数次 n的关 示系表 与-123-从中可。见，随试验次 数n 的增加隶 属度

µ 青年

人（27） 最稳定终在0.7 附近8。

2表1-- 3隶属度表

实

验 数次

隶 次 属 隶数 属度

1

00

302

4

0

50

60

7

0

08

0

9010

10

1102

1

92

614

23

13

39

4

537

26

6

87

685

9

1501

0.

6

0.7

0

7.

7.78

007.

80.87

.76

00.8

7.067

0.7

6

0.7

50

79.

0

78.

后，最用 年龄做横标坐，用对 的隶应度做属纵标，坐 将 表-212-所 数据在列坐标纸上并，连用续线曲连起接，便来得Fu zy z合 “青集人”的隶属年函曲线数

µ 青年人（ 2）7，表 于示 2-图-3。

1 2-1图-33 . Fzuy 集z的基本运合

算

隶属数函

定义图A 、 B 是 域 U论 上的两个 uzzyF 集子规， 定 与 AB“ 并 运算 ”(A U ) B数函分别 为 “、”运算交 (AI B )及补“运”算 ( A ,B ) 隶属的

µ A

B ,Uµ A I B ,µ 及Aµ B 。 则 对 U 上 的 每一个 元 素

x

∀x ∈(U ) 有

µ

UAB x)(= max[µ A x(,)µ (B )]x µ = A () ∨ x Bµ (x) ,∀x U∈(

-121-3

)

µAI B () x =mni[ Aµ( ),x µ B ()x = µ A] x( ∧)µ B ( x ,) ∀x ∈U (2

1-1-)4

µ A

( x )=1 − µ A x), ∀(x ∈ U(

-2-11)5

Bµ( x) = 1− µB ( ),x∀ ∈ U

(2x--16) 1中其符号 ，ma[x]・ 及∨ 表示取最 大算运即，取个隶属函数较两 大作者为运算结果符号;min [ ] 及・ ∧表取小示运， 即取两算隶个书度 当中较者小为作算结运。 果 2-1-2例设论域

U ={1, x2 , x3 x, x4 , x 5}

及 Fuz以z 子集y为

A合=

1 0

9.0.4 0 . +2 + +x x 12x3 x 409 ..80 011 . +++ x1 x 2 3 xx

B6=

试

求 A B,UA I B , 及A , B。 解

UA B =

1∨ 0 9 0..9 ∨0.8 0. ∨4 0.1 2 0∨0 ∨0. 1 + + ++x x12 x x43 x5

= 109 1 ..020 .1+ + ++ 1x x2 3 xx4 x5 1 ∧ 0.90 .9 0.∧80. ∧ 1 0.24∧ 00∧ 0 . + 1+ + x+ 1x x2 x34 x

5AI

B=

0=9.0.8 .0 4 + +x1x2 3

xA

1=− 1 − 1.9 0 1−0 . 4 1 0−2 1 − . 0 + + + +x x21 x x43 5 0x. 1.060.8 +1 ++x 2x x3 4x 5 − 109.1 − 08. −11 1 −01 − .10 + + ++x1 x 2 x 3x x54 .0 102. 01.9 + ++ x 1 2 xx 4x 5

=

B=

=

对

于U 的 n个 F uzyz子集 1 A, A ,2 , An L, “并其”、 “交 运算分别为

A” 1 A2U UL n A=U A i

i=1

n

µ

U AI

=1

i

n(x) = ax[µ Am (1x ), µ2A( )x,L µ ,nA( x) ]

= µ A (1x ) ∨ µA2 ( )x ∨L ∨ µA n( x ) ∨ µ Ai=( x )

i1=

（n21-17-）

n1A I 2AI L AIn =I Ai i

1

=µ

i =

1I AI

n

x ) =( min µ[A1 (x) µ ,2A( x, L), µ An (x )

]2（-11-8

n

）

=µ A 1( x ∧)µ A2 ( x)∧ L ∧µ A n (x) = ∧ µAN (x )

=i1

4. 模集合运算的基糊规本律设 F 集 合，其并、交补、算运足满列各项下本规律基

：1(

)

幂等律

AU A =A,

(2 ()3 )换律 交 AUB =B U A

,AI

A = AAI

B =BI A

结合律( A U B) U C = A U( B U C) ( IAB) I C = A I B ( IC) 分 配 A律U ( B I C = () UA B )I (AU C ) A I ( B U ) =C A I(B )U (A I C ) 吸收 A U ( A律I )B= A AI (A UB)= 同一A律

(4)

(5)

(

6

)A

U =φA , A φ I φ A= UE = E , A E I=A (7)

互律补不 立成即，A U A E≠ , 8)( 偶律

对

A IA≠

φ

AU B = IAB

(,)9 复

原律

AI

B= A U

B= AA以

各上条规律以通过可相应的隶函属得数到明，证证从明略。

2

1..3Fuz zy 系关1

．系的关概念 1） （通二元普系关 系是集关合理中一个论重要念， 是描述概客事物观间联之的数学 模系。如果对集合 型、YX 的元素之间的配[（x，搭）y x，∈ X， y ∈Y]施 某种加制，限这时构的成合集是直积X × Y一个的集。该子集子具有种某 特性定，其质质的性容包含于内搭的限制之配，中反映 它X、 元Y素之间的某种特定关系 例。如设， 、YX 为均男子“集”，合则积 X×Y=直{x（，y）x| ∈X ， ∈yY} 为任何 两男子个组成对子的的合。集 对现种搭这加以限配制， 如 制“兄弟限才能”配，搭这体现了便“男子与”男“子”间之一种特定 的关系。它表，并示是任何两个男子不都具有兄弟”“关，只有哥系哥 弟弟才能与为兄成。因此，弟“兄弟” 系是直积 X关Y ×的一子个，即 集∈∈ R=（x{y，）x|X y ，Y，x 与 是兄y}弟 。义定设 X 与Y是 两非空集个合，集合X Y 、的直 积×XY 的一 个子集R 称为 X 到Y的一个二 元系，关简称关系。对直 积 ×Y X序偶（的，xy）有若x（y，）∈ ，则记R作x Ry若；（ x，）y∉ R则记作，x R y因。此关系 ，R的特征函 为

数1,( x, y ) R ∈ RC( x, y )=   , 0(x y,) ∉ R

2-（-11）

9

X若=Y则，积直 ×Y X子集 R 称为 X 的的二上关系，元称 X或上的 关。 例系2 1--3:已知 =Y=｛0X，1，，3，4｝ ，2确试定 X上“小于”的及“大 ”关系于R 解 直积 ×X 的X序有： 偶0，0） （， （0，1）， 0，（2 ） （0，3） ， ，（，40 ）（1，）0， （1 1， ），（ 12） ，，（1， ） 3，（ ，1） （24，0 ） （2，，） 1，（2 ，2 ， ）2（，3 ，） （，2） （430， ），（3 1， ，） （，32）， （，3） 3，（3 ，）4（4，0） ， 4，1）（， （4，2 ， ）4（，）3 ，（ 4，4 其）（x中y，）∈

（1，3

） ， （，41 ） ，（，3）2， （24，） ，（ ，34） 所，以通由此过序等偶构的成以用表达“于”关系的集小合 R为序偶的有 ：1（0） ，， （2，0 ） （2，1）， （，3，0 ），（ 3，1 ）（32），， （4，0 ） ，（4 ，1 ，） 4，（） 2， （43， ）所以，通由过此序偶等构成用的以表达大于”关系的集合“为R >｛ =1（，0） （，20，） ， （，12 ，）（ ，0）3 ，3，（）1 3（，） ， （42，）0， （，41 ）， （4，） 2 ，（4，） ｝ 关3 系R可以用矩阵来

表示 ，称关为系矩，阵其 元素 中rj 基i特征于 数函 CR x，（）y定义，的即

，1（x，y）∈ R

CR（x

y）=

，

0 ，x（，） y∉R

与序

（偶ix，y）i∈ R对应者记 1为，序偶与xi（y，i ∉ ） R应 对记为者0 。如例对，于 2-2-3例 中的R 关系 分别写成可 如形下成的系矩关阵

Y

：0 01 2 3 4

X

324

10 0 0  0 0

1 00 0

0

11 0 00Y

11 1 0

10 1   11 0

0

0 1

1

32

4

R =

>

X2 3

4

01  1   1 

01 0 1 11

0 0

0 1 1

0 0 0 01

0 0 0 0 0 

2（）普 通价关等系

系中关重要最是等价关的系X 。的一上关系 个 称R等价为系，指关的是 关该 系 具有R自反性、对性和传称递。性它们定的义别分是 ①若：∀ x ∈ X都有，C Rx，（x）=，则称 R1 具自反有，性即何任 元 素x与其 自具身有种这系。 关②若 x∀ ，∀ y ∈ ，X当 C Rx，（y=） 时，1恒有 CR （yx，）1=， 称 则R 有对称具。对性性在关系矩阵 R称 中表现为 ijr=jir ③ 若 ∀。x ， y∀ ∀， z∈ X，当C Rx，（）y=1CR （，，z）=1y时， 有恒 CR x，（z）=1则称， R有传具性递。传递性在系矩关中表 阵现为

k

1=∨ 其算符中， ∧分别代表 取，取大小算。运

∨ （

r

n

ik

∧

r kj）≤ ri（i，jj=，12，…n，

）2．映 射的概 映射念是种特一殊关的。系设有集合从X 集到 Y合 的系关 R，于任对的意x ∈X 都存在，唯确一的 y定∈ ，Y之使 x有Ry则称，有这具种性质的关系为从X 到 Y 的一映个射。射一映般用 ，gf 小等写字来表母。示 于元对素说来映，射记作 → y ( y =x ( fx))

而对于集，合映射记作f

X →

( Y :fX →Y

其中 X Y 指)明f 是从 X Y到的 射映， 称为映X射 f的定义域， f(X)而{=f( )X| x ∈X}称为映 射f的值域。 于映对射存，有在下列种情四况 (：1 如)果集 合 中Y有元素所都集合 X与中 的素存元对应在关，系 即f()=X，这种Y映射称为映全，也射称 为F X到 Y上的映射。(2 ) 果如f( ) X Y⊂则，这称映种射为不全完映射也称 f 为 ，X到 Y 内 ．的映射 。(3 如)果集合Y 中每一个元 素都不可能与合 X 中一集以个的上元素相对Y 应即，当x1 ，2 x∈X 且 x1，≠ x 时，2便有f(x ) ≠1 (xf2，)则映射 f：X称为 射。 单3( )如果 ：fX Y 同时为单射全与射则，它为 一 称 映一射或一，对一 射映。

f

3 Fu．zz y关系 （1）二元 F zzuy关 关系是系描述观客物事间之系的联要概重。念在普通 合集理中论， 系 关R 描述物事间之有“与“””无肯定关系的。但有些事之间物能简不单地 用肯定采或定的词否去汇达表，例如“不我了解太”，他“我较 比欢喜”……。诸如此他的类系则关需Fuz y z系关来述描

。所 谓Fzuzy集 合 X 到Fuzy 集合z Y的 个一Fu zz y关系是以直积指X × Y论域的一 个 为uFzzy子 集，作 记 。FRuzy 关系 R z由隶其属数函µ 完R刻画。 全 例2--41 设 X与 Y为实 数集合， 及从 X 到以Y 的 个 Fu一zyz关 R 可系

用

下列隶属数 µ 函 R (, yx) 来刻 画，即



 µ  R( x,y ) = 

 0 1001 1+( y − )x2

x y ≥

x2(1-20)

-根据

式2-1（-2），0算计出些序某偶x（y），隶属度的为 当x= 010y=，0 ， 时µR ( 10,0) 0 0.=9 当9x =1y=0 时，，µ R 1(,)0= 0.009 9过上通计算结列可见，果（式-2120-所示）属隶数 函 µR( x,y ) 刻画 的是 一种“ 》 y”的x uzzy 关F系其中，µ R (1000) ,示“表100 0”》程度 的 为.099接，近定情肯况下的1； µ R (,1) 表0“1 示0”》程的仅度 0.为0909， 接否定近况下的情0 例。 -21-5设 =X1{，，32}Y，{1=2，，，34，5}以从 X及到 Y的 个 F一uzyz关系 。

R=

.500 . 810. 5 08. .0 + 5 + + ++(1, ) 3(14),( ,51)( 2 4),( 2,5 )3(,5)

该uzFy 关系 z 也可通过表R2 --1 4的形来式示表，代它表“素 元x 比素元 y 小多得的”Fu zyz 系。关表 -2-41 Fzuyz关系

Y

R表 ~

X

1

2

3

45

12 3

0

0

00 0

00.5

0

008. .5 0

01

.08 .5

0例 2--61设 集 X合{=14，100，156，0701180，}（位：单cm属于）身高论域， 集 合Y={4050，6，，7008，0（}单位k：g属）体重于论，域 表22-所 为列某区地人们的高与体重身相的互关，这系是便 从 X Y到的 一 个Fzzuy 关系。表，闭中区间0[，1中]间的数表一定身高与代重间的体属度隶。 表2-1-5

体

身高重体重 与uFzzy 系关表50 6 0 0 78

0 R（g） k~身高

cm）

（4

01

23 4 5

1

0. 082. .0 10

08.1 08. .0 0.12

.5 00.8 0.8 0.2

10

8. .2 0.801 .0

8

01. 01.20. 8 1

基于射映的概，念从X 到 Y 的普通 元二系 R，关可为直视积 ×XY到 0{ 1，的映}射，而 从 X 到 Y 的Fzzuy关 系 ，则 Ru( , yx )可视以隶属为数函映为 射法的则积直X×Y 闭到间区0[，]1映射，的即

Rµ: X × Y → 0[,]

1（

-12-12

）u

(x 其中， ,隶属函 R

y 数 )是个变两量 x，y 的函；隶数度属u R(x, y)

表

元素示 xi与 yj 属 隶uFzy z关系 R程度的。由 此可，见F zuy z元二系 R关 是通普元二系 R 的关推广。元 二Fzzu 关系y称简 Fzuzy关 系 若。论为域 n集个的合直 积1X×X×2…×nX则其 F，uzzy 子称为 n集 元uFzzy关 R系 ，它的隶函属数 Rµ是 个n量 变1x，2，x，…xn 的函。数

．4Fu zzy 关的性质

系1（）自反性 设 R是论 域X 上 的 一 个 uFzz 关y 系， 若 于对∀ x∈ X 有

µ均 R( ,xx) = 成1，则称 立R具 自有性反。反自性的标志是，uFzyz关系

阵矩方阵）的主（对角线的上元均为 1素即 ri，=j1（=i） j 。（2） 称对 设是性论域X 上的一 个Fu zzy关系， 若对于∀ x , ∀y ∈ 均有

Xµ R x(, y) = u (R y

, x )成立，称 R则 有对具性。对称性称标的是，志rij=

ri（j，ij1，=，2，n…） 。（） 3递性 传是论设 域 上X一个 的Fuzyz关系， 对于若∀ x ,∀ y ,∀z ∈ X 均

有µ

R( x z,) ∨ [ u R( ,x y ) ∧u R( y ,z )

]

(Y2-122)

-成立，

称 R 具有则递传性传递性的。标是

r志ji

k= n k1=

∨(r

ki

∧ r

kj)

(i,

j 1=2,..,, n.

)具有反性、自对性与称递性传 的uFzyz关系 R ，称为 论域X 上 的uFzy 等z关系；只具有价反性自对与性称的 uFzzy 系关 R 称，论为 X域上的 F zzy 相似关u。系由表于2- -51 所描的 Fu述zyz关 系R具 自反 性与对称有性， 但不具有递传性 故该 ，uzFzy 系关 R是一个 uzFy 相z似 关系。

.2.2

F4uzy z关矩系阵

1．

Fu zzy 系关矩 阵uFzyz关系 可除用 2-1表4 -及 表-1-2 一5类图表示表， 还外将可 这类表图示的 Fu表zz 关系写y成矩形式阵即

，

RX × Y



0 00 5. 0 8 .1  =  0 000 .50 .8   0 .05 0 0 0 

身R高×重

1体0 8 . =0. 2 01.  

00.8 1

08. .2 00.1

0. 028 1 0.8 .0.2

.010 0. 021.  .080.2  10.8 .8 01 

矩阵

R= (ri j)

是在论域 X×

Y 有限集合为情下况，以阵形式矩

示表F uzyz 系。这关种矩

 阵11 rr1 L2 r1m r 21 r 22 L r2 m R =( ij ) = r M M M  n1rrn 2 L rmn 的

元素r j（ii=，1，2，…nj；=，1，…2，）在m[0，1闭区]间值取 它代表集合 ，X中 第 i 个素元x i和集 合Y 中的 第j 个素元 jy组成的序 （x偶，iy）j于 F属zzu y系关R 程度的， 即如构此的，成描从 X 述 Y 的到 uFzy 关系 Rz的矩阵， 为 Fu称zyz关 系阵。矩见，当可论域有限时，个 F一zzy 关系和一u 个uzFz y关系矩阵是 一一应的。 对注意， 当 为从R合 X 到集合集 ，Y即 X 上 的F zzu y系关 ， 而X={x1，x2，…，x }n时，述描 Fuzzy 系关R 的 uFzz y系关矩为 n阵 维阵方。如 果Fuz yz 系 R 是关续的连或论，域无是限，的则能用不 Fuzyz 关矩系阵 达，但对表中其个别散点来说，离可用 Fzuzy 系矩关阵似近理。处

µR ( ix, yj )= ij

0 r ≤rj ≤ i

1当F uzzy 系关阵为方阵矩且其，主角线上的对各素均元为1， 其它各 素元为均 时，0称为位单F uzzy关 系阵矩简，单称位阵，记以矩

I即，

1 0 = IM  0

01 M0

0

L 0 0 L 0   MM  0 L1



n×

n

当Fuzzy 系关矩的阵全部元均素 0为 时 ，为零 称uzFz y系矩阵， 简关零矩阵称记， 0以即，

0 0 = 0 M  0

0

0L 0L0  MM 0 L 0



nm

当× Fzuz y关系阵的全部矩素元为 1， 称为均全 称Fuzzy关系矩 ，阵简称全称矩 ，阵记 E，以

1 1 E=即  M 1

2 ．uFzy z关矩系阵运算 的1） （“”并算

1运 L1 1L 1  MM  1 L1

n

×m

设

两个有 uFzyz

关系阵

矩

=R (ri j)

）

及

=S( s i j)

（=1i，2 …，

n，j；=，1，…，m2），其 “”并运算

为

=TUR

S或 tji= ij =marxrij，[is]j （2--132 ）其 T 中（=ij）t（i =12，…，，；nj=12，，…m）为 ， R S与 “并的” 仍为，F uzzy 系关阵矩 。（）2 “”运交算设 有个两Fu zzy 系关阵矩 为

算R

= (rij)

及

S

( s= i j)

，“交”其运

T

=RSI

或

ti =jri ∧j ijs= mni[ijr,s ij] (2--124)

其中

T= t（ji）（i= 1，2…，n；j=1，，2，，m）…为 R 与S 的交” “，为 F仍uzzy关系 阵。 （3矩 ）补”运算“ Fzuz y关系矩 R阵=（r i）j（ i1，=，…2n；，=1j，2…，m， ）的补”“运算

R为 （1= ri-j ）i（=1 2， ，…， n； j=，1 ，2…， m） （ -1-22）5

其中R 为R 补矩阵，的仍 为Fzzyu 系关阵矩 。（） 相等

−

4−

有设个两 uFzy z系矩阵 R关 =（rj）i 及 S= （ijs ）（i=1 2，，…， n； j1，2=…，m，）， 总存若 在ijr=sij，称则R 与 S 相等 ， 写成=R 。 （S） 5包含

（ri） 及j = Ssi（j）（ i=，1 2， …， 有两个设F zuzy 系关矩 R阵= n ；=1，2，…j，m），若 总在存r ij≤ ij，则称sS 含 包 ，R 或 包含于RS 成 写 R S≤ 。 意注，两 个Fuzyz 关矩阵系的并“”， 交“”运算及以“等相 和”包含“关”都要求系两个在相行数同与同列数相 Fu的zz 关系 矩阵y进间；行个两 行 nm列的 Fuzz 关系y矩阵的“并 ， ”“交” 和补”运算结“仍果 为n行 m列 的Fzuzy 关矩系阵 。（6） 置转将 Fu zzy关系矩 阵 R= （ijr）中行与的相互列换交所得到 的 F，zzy 关系u矩阵为 R 称转的 F置uzyz 关系阵矩 或，简称 R的转

置，以记 R。 如，例Fuzyz 关系阵矩

T



.300 4.R=  .1 0.50的

置为

转

03 .01.R T=  0. 405.设有

两个F uzzy 系矩关阵R 及 S ， 有

则

R（U S） T = RT U ST （ R SI）T = RT IS T （ R ）T= RT−

T −

T

R（

7）合成

=

R

ri（j）（i=1， 2， … n；， j1，=2 ，… ， 设 F有uzzy 系矩阵 R 关=m ）， 及S= （sk）j （=1j，，…，2m； k1=2，，，l…） ， R 则对 S合的运算 成 R oS 指是一的个n 行l 列 的F zzyu 关系阵

矩

T （t=i） k，中 其 T的 i 行第 第 列元k等素于R 的第i 行 元的素

S与的 第k 列的对应元素两先两行取小运进算， 然后在得所结果中再进行取大 运算，即

tik=

∨

（rij s∧jk）j =1

m

（

i1=，2…，，n；k1，=，2，l…

）2（1-26-

F）zzuy关系矩 阵 对 FRuzzy 系关矩 S 阵行合进运成 算 o S R ，须是必的列数与的数行相才同有义意其，中符算“o ”是合成运 算 符号

。

例 2

1--7

已

知 uzzyF关 系矩阵

 1 .2 0.05 01. R  = .1 00.4 .100   0.30.9 004. 

0 4. 0.9  0.7 1  S=  0 .1 0 . 3    0 .2 08 

试求合.成F uzyz

关系矩 阵 T =R oS 。 根据解成运合算义定Fuz，y 关z系矩 阵T的行 应数 与uFzz 关y系 阵矩R 的 行相同，数而其数应与列 Fuzy z关系阵 矩 的列数相同，S因 此，T 具 如有下式，即形

t11

t12   =RoTS=  2t t 122 t 31t 3  2 32×

其中 t1

1（1=∧ 04.） ∨（0. 2 ∧0.7 ）∨ 0（. ∧5 .10 ∨ （）.1 ∧ 0.0）2=0. 4 ∨.2 ∨0 0. 1 0∨1.=0. 41t2=（1 ∧ 0.）9 ∨（02. ∧ 1）∨ （0 5. ∧0. 3 ∨） 0.（1∧ 08） .=09 ∨ 0..2∨ 03 .∨ .10=.9 02t=（011.∧ 0.）4 （∨.0 4∧0 .7） ∨（0 1. ∧0 1）. （∨ ∧ 0.0） =021.∨ 04 ∨ .01. ∨ =00. t422（0.1 ∧ 0.9）=∨ （0.4 ∧1 ∨ （0.1 ∧）0 .3 ∨）（0 ∧0.8）= 0.1 0.4 ∨∨0. 1 ∨ 00.4 =3t=10（.3∧ 0.）4 ∨ （.90∧ 0.）7 ∨（ 0 0.1∧ ）∨ 0.（ ∧40.2） =0.3 ∨ 0 . 7 ∨0∨ 02.0.7 =32=t0.3 （ 0.∧9 ）∨（0. 9 ∧1） ∨ 0 ∧（ .0）3∨ （ .40∧ 0 .8） 0.=3∨ .90 0∨ ∨ .040=9. 将列上数代入 值uzFyz 关系矩 阵 T，

得0 .40 .  T9=  0 4 0 ..4   . 0 07. 9  

uFzz y系矩关阵的合运成算足结满合律， （ 即R 1oR 2 ） Ro3 R=1o R（ 2o 3R） 但一般在况情不满下交足换律即 （， R1 Ro 2 ） ≠ R （2 oR ）1其 中R1， 2R ，R 3 Fuzz为y 系关矩阵。 8（）幂

Fuz

y z关矩阵系R 幂的定为义

R2

= R R R3 = oR 2 Ro

……

n…

n

oo 3R = 1oR R R...4 R4 4 4

基2幂的定于义Fuz，y z关系矩 R阵 足如满下数法则，指即

R

m oR n =R m +n(

Rm ) = nR m 3． Fnuzz y系关矩运算阵基本规的 设 律R ，S ，T 为 Fuz y z关系阵矩其并，交，，补算运足满下各列 基本项律规： (1) 等律幂

UR R =，RR RI=

R2( )换交律

R

U = S S UR，RI = SS I

R (,)3 合结

律(R U S ) UT = R U( U S T)( RI S ) TI= RI (S I )

T()4 配律 分（R U S ） T I（ =RI T ） U（S I T ） （ IR S）U =T（ RU T ） I （ S IT (5） 吸收)律

（ RUS ） IS =S（ IRS U）S S=( 6 同一)律 OUR R= O I， R=OE U =R E， IER =R 7( 互补)律互 律不补立成即

R，U R ≠ E

R IR ≠

(08 )偶对

− 律 − −−

−

−

R（ SU = IR S （R IS ） =RU

S−

2

1..5

F

zuy z条语句

件

1．Fuzyz语言 语言是

种一号符统系，中自其然语言以字是为符，号它去用表 达客主世观的各界种事物、观念行和为情的感意义，人是思们和维交 流息的信重工具。自然语要言突出特的点于在具有它 uFzyz性 ，“如 天是今好天个”气 、“ 王小年轻” 很等 。有 带Fzzuy 性语言， 称的为 uzFzy语 言 。Fuzy 语z是从言7 年代0成为 Fu起zy 数学的z一个分的支 。目前，尽 管还它不成够，熟由于其但用广途泛，故已取得为迅速的较展。 （发） 1Fuzzy 言语义定F zzuy 语定言义为四由个参 数U、T、、NE 描述的统，系即 L=U（T、E、、N） ，

其中U 是 言语主题全体的即论，域，对是 象构所的成集，合是也Fu zzy 言的语第一要素T， 是词单、词， 谓项的或 uzzF y合集，称为集合项，中其词作 为 T要的和素分原 为子和词成词合，如，人例狗、、、黑、白快、慢美、丽良善等 可不再分的最基解本单词属原于词子而，像红花”“一类原由词子 红“与”“花连结起来的词属于”成词；合E 名词记间的是结 总连和称其，对为 的嵌T集合入T，是 E Fu的zyz 子集因此，E 对 T 有 T：E [µ，10]，即 词（xx∈ ）对于ET 的隶属函 数µ T x(

定)在闭义间[0区，]1之；N 是内E 对 U F的uzy 关系，z称为命其 ×UE 名关系 因此， µ有 N

：

[∈，0[0 ， ]1 即隶，函数 µ属N （ x ，）y

，

1] x 是∈ 、E y U ∈两个变量函的。例如数， x 为设词“高单子个 y”为 年男成子的身长单（为位 c）m则 µ N（有个高，515=0）2 . µN高个（，16）=305.µ N高（个1，77）0.=9µ N（个，高10）=19 2）（Fu zz 语言y量 变谓所语言量变以是然自语中言的或字，而句不是数以值的做 量，变如年龄、大、高小低、慢等均是，它与快们人所熟知数 的值变有所量同。一不般说来，由于或句字有没数么那确精故，语言变 概量念用于适供一提近种似方法表，那征过些复于或定杂义不够 善完而宜不通常的用量术语加化以描述的现象。因，基于 此语言量概念变可将人，经工验升上为值数运，算以往凭操使者作的 验经实现手的控动通制机过自动器制控成可为能。这对于计设F uzyz控 制以器实系现的统Fuzzy 控 制极为是重要的。

.AL.adZe h于 197 5年给了出如下语的变量言定义 ：语变言量一由个元体（x五U，T（，x），G ，M来）征表其， 中x 是语①变量名称，言年龄如数，的大等； ②U 小 是 x论域； ③T（的x）语言变量值 是 的集X，合其中个 每 都X论是域 U 上的 Fu zz 集合，如y （Tx=）T（年）龄=“年轻很+“”年轻”“中+”+年“ 较老”“很+老=”X1+ 2 +XX 3+ 4 + XX5 ④ 是语G法规则，于用生语言变量 x 的值 X 产名的称研究，原 子词构单成成词后词合义的变，化求取其并隶函数，属如否 词“非定”隶属的数： 函 u A=1-u A 结词联“或的”隶函属：

数µ

U A

E uA= u∨

E

联词结“”的隶属函数与：u AB I = A ∧u u 修B词“极” 、饰 “非”常、 “相 ” 、 当比较”“、 略“ ”、 稍微“”的属 隶数：

函

u极A

=

u

4

A

,

u 常A非 =u

,A

2

,。0 25

u 相当

A u= A

。125

,

u比

较A= u A

0。 7

5

,u

略A= u

A。 5

0u

稍微A =u

A述上“”极、 “非常” 、“相 ”当、 比“” 、较“略 ”、 稍“微等” 词缀在个单一词前面调整便该了词义，词通它过构成的新词们来加 或削重对弱原的词

肯定度程。类这于加强用或弱语气削词可视的 为一 种Fzuz 算y子其，中“”极、 “ 常非” 、“ 相当”称为中化算 子。集“比 较” 、“略 、” 稍“微称”为漫化算散子，者二统称语为气算 子。 ⑤ M是语义规，根据语则义则给出 规uzzFy子 集X 隶属函 的。 2数 ．uFzy z语 （句1 F）uzz y言语直句 Fuzz 直y言语的句型句 为“ 是 AA1 ， 其中”A 是对 象名的，

称A1

是域 U论 一的 F个uzy z集。例如，子“ A 是非 常小便”一是

个Fzuzy 直言语句，其中 uzFzy子 “非常集小”由可论 域=U1{2， 3，4，5，上}的Fuzz y子集求得 即:,

=

0小6. .40 .0 1 02.8+ + ++， 那 1 么2 34

5

非常小= 小（）2 =

0. 6 0404 1 0.3. 6.16 0 +++ 1 2 +34 5

（） F2uzyz 件语句 条设计在 Fuzz y制控算法时常，遇到的 uzzy 条件语F的句句型 ： 有 ①“ 若 A 则B”型 简，记 为fiA then B 。例如 ，对加 热于炉炉温控的来说制它，与若“度偏温低则，增加燃料”量的控 制略策相应对其。中A 和 B 为 同论域不上 F的zzy 集合。 u“若 A 则② B否 则 C”型，简为 if记A the n elseB C 。 这应对“若于度偏温，低增则燃加量，料否则减少燃量”的料炉 温控制策略这里。A ， B和 C均 为uzFz y合，集中其 B与C 隶属同 一论域 ，而 的A论与 域B、 C的 不。 ③“若 同 A且B 则C ”，简记为型 if Ana d Bteh nC 。反它映 输双入单出过程的输一种制控略，例如，策 若温度偏低“，且 度温有继具续降趋下，势即度温化变导的数负，为则大增料燃 ”便属于这种类量的型 uzFz y件条语句。中 Fuz其yz集合 A， B及 C分属个不同论域三。对于 些复那杂过程的反，其控映策略制 F的uzzy 条语件句将加更 ，若“ A B 则且 C 则 D则 E” 复杂，，例 如， “ 若A 且则 否则BD ” （ 双入三输输出过程）等便等这是复类过程的杂典 型uzFy 条件 z语句。

21．6．

uFzyz推理

1．

假 推言理在形 式辑中，推理有直接推理、演逻绎推、理纳推归以及类理 推比等形式。理科在学究工作研，最中用的推理方法是常绎演推的假 言理理推其基，规则本是果如知已命 题（A可以即分真辨的假述陈句） 含 蕴B即， A →B （若 A 则 ）B如，今确 为A，可得结则论 为。B

2．

Fuzy z推

（1） 理uFzy z言推假理上面 及的谈言推假，其理中命题A、 题 命B都 指是确精事 而件。言在但 Fuzyz情 况下， 与 B A均 Fu为zy 命题，代表zF zzy u件，事因此能不再用应统传的式形辑中逻假的推言理方法进推 理行。此对，LA..Zdeha提出 下了述似推近理论理 。设X 和 Y是两个各自具基有础量变x 和 y的论域 其， uFzyz集合 A ∈ 及 X ∈ B Y的属函隶分别数为u A( x 及) uB (y )。 设又

R

A × B X是×Y 论域描述上Fu z

zy 条语句件“若 A 则B ” F的zuyz

关，系其隶函属为:数

u

A ×B( x, y ) = u [A (x )∧ u B ( y)] ∨ 1[ u− A(x) ]

(-2-12)7通过 uFzy z关系矩，Fu阵zy 关系 R A× zB 写可

成R A

× B= [A × B]U [A E ]×

−

2(1-28)-

其中E 代为全域的全称矩阵。 近表推似理况下的假情推言理具有下如逻辑构： 结 A若则B； 如 今A1 ； 结 论 B 1 =1Ao R A× B 其 中B = 1A1o RA ×B 征表理合成推则规，符算“ o”代表合 成运。推算合成规理则是假推理言的近推似广。（2 1--9）

2

例-1-28

设域论X= {a，a21，a3，a，a4}及5Y {b1=，b，b23b4， ，10. 5 .0 5 b1}5的 上uFzz y集 子A 小 = =+及 B = 大= +，XY×上 的1 a a b24b

5。试

过 Fu通zzy假 言Fzuy z系为关若 x“小，则 y” 大（即若A 则 B） 01.40 2 .+对 推确理与定“ x 较小” 为 ，与即Fuzzy 集合 A 1 较小 ==+ a 1a 23a应的 F uzyz 合集B1 。 解 首先， 式（按-1228-）计 Fu算zz y关系R →小 ，大

−即

R小→

大 =[A ×B U []A ×E

]1 .0  5=  0 0[0 0.05 ]1   0  0  00 = 0   0 

0

∨

0 05.  1 [ 11 1 11 ]  1 1 

0 00 0 0

0

.50 10 0. 5 .50 0 0 0   0 0 000 0 

∨

0 0 000 .050. 5 05 .0.50. 5  1 1 11 1   11 11 1 1 1 11 1 

0

005.1 0  .5 005 .05. .05 .50  =  111 1 1  11 1 1 1 1 1 11 1

次，其 据根似推近理逻辑结构， 过通已知 Fzuyz 集合A 1及 F zuzy关系 R小→ 大合成运的，由式（算2--21）9取求 Fuzzy集 B合1 即，

B1 =

A1 o R →大小

00 .05 1 0 05 .05.0 5 0.. 5.05  [1=0. 4 .200 ] o0 1 1 11 1  1 111 1 11 11 1 

= 0[.40 4 .0. 4.5 0]

将 B11= 0[4.0.4 .400.5 1 ] 与 =大 [00 0.5 10 相比]较可，得出 B = 1较大 结的论。与人们在这种这情况下通思维过理推得出 结论是的符相的。上例 说，在明 uzzFy 况下，近似情理推是一行之有效种的理推方，法它 为解决复的杂 Fuzz y理问推题打下基了础。 时同，这 方法在 种uzFzy 制中控有用很。（ ） 2uzzF 条y推理 基 于件推 理 合 成 规 则 ， 绍介 两 Fu类zz y条 件语 句 ： i A tfhe nBel seC 、 i A afn B dhen t 的 FuCzzy条 推理。件①F uzy z条件句语“i f Aten hBe lseC 的 F”zzy u条件理。

推B

C及为论域 Y 的上 Fzzy 设u A是论域 X 的上Fuz zy 集子

子，，集则 A“t en h Blese ”C在论域X×Y 上的 Fzuzy 系关 R为

R

= ( × A)B U ( ×A C

)

−

2（-130）-

于推理合基成则规，根 据uzzy F关 R系 2—（1-30求）得与已 知Fuz yz 集合A 1对 应的 uzFzy集合 1B为

B 1 A=1 R

（2o--31）

1

所得 uFzzy 合集 1 便是B A在 =1A及 “i Af htneB el se C” 前提

下，得到 的uzzF 条y件推结理。论 在 uFzyz控制 中应用式，（-213-0）、 （-2-311可）计算输出入为 A1 具有时i“ Af hen B tesel ”C控制规则型 F的zuy 控制z器的 出输B 1。 例 2-1 - 并定义 有9论 X=域{a1a，，2a，3a，4a}及5Y {b=，1b，23，bb4，b5}，

A轻==B =重=

108.0 . 6 0. 40. +2 + + +1 aa2 a 3 5aa 4 .0 2.4 0.060 8.1 + ++ +1bb2 b3 b 4b

试5定 确Fuzz 条y件语句i“ f x轻 teh ny 重lse ey不非常重” 所定的决 uzzy 关系 R F，及以别分计算 Fuzz 直y语句 言x非常轻、x 、重 x极重时所对应 的 Fuzz y集合 y 。解 1 通过语气算○子和补”运“，求取算如下Fu zy 集z0 04. 01. 6036 0.64 1 非常.重 =重 2 =+ + ++b1 b 2 b3 4b b5

重 =极重 4 =

0.

01060.0 25 601.926 0.496 0 +1+ + + b1 b2 b b43 b

5

−不

常非 重=非 重 常 =非轻常= 轻2 = 不轻= 轻=−

0.

6 9084.0.6 043. 6+ + +b 1b2b 34b

1 0

.6 403.60 . 1 0.064+ + + a+ 1a2 3a 5 aa4

0.

0.4 2 .06 + a+2a3 a4

+

.8 a5

0○ 2

确 定 Fuzyz条件语句 “i f 轻xthe n y重 les ey不非常

、 重重” 所决定 F的uzzy关 系R 。 根 据式（ -2130） 以- 轻及、 非不常 等 重Fuzyz集 合的定义，得 求R= （轻 ×重） U 轻（ 不非常重×） 10. 8  .0 6 0.  4 0.2  0 02.   0. 4 0 .6  .08 

=

0[.2

0

4 0.6.0 8 1.

∨]

[

.096

0

8.4 .0640 .36 0]

02 .02 . =.02 0.2 0 .

024.0 .40 4 0.4. 0.2

06. 06. 0. 6.0 0.42

0.8

08. 06 0..40 .2

10. 8  06 . 0.4 .2 00 0   0 00  1 08  0..6  0. 042. 

∨



0 0.  204. .60 .0

800 0 .02 .020 2 0..40. 0.34 6.600 .60 36 .0. 0864 0.3.6 04 ..60 .8 00. 4.060 .80. 40 6. 0. 0.6 6.0 6.40 .800. 4 06.6

30.2 02. = 0.4  0.6 08

3. 计“x 算非常”轻对应所的F zzu 集y合这。就以是 ○1 0 6.40 .36 0 .16 0. 0 41A= 非轻常= + + + a+1a2 a3 a 54 a为作入输，按推合理规则（成-223-1计算以上述 F）uzz y关系R 为控 规则的 Fuz制z y控器的输制 出1B，即

B 1 A1= Ro

= [10. 64 .30 0.16 60.4]

0

0. 02.  o 0.42 0. 6 .8

004.0 6.0. 8 04 0.6.0 .80 4.0 .60. 6 .6 0.6 0.0 04.80.64 .36

0 0.81  0. 6 .04 .02

=

0.[3 064.0 .60 8. ]

或将 11B 写 Zadeh 表达形成：

式1B =

036.0 4. .6 008. 1+ + + + b 1 b2 b3 b4 b5

将1B 与知已 Fzuz y合集重 较， 可比得出近输于 似“”重 的结。论显见，该 结论是合符们人的维思习的惯 。4计算 x“ 重”所对应 的uzFzy集合 。时 ○

B1 = 重 × 这

R

= [0. 0.24 06 .08 1]

..02 02  . 0o4.  .6 0 0.8

0

.40.6 0.8 .40 0.60. 80. 4.0 606 ..0 066 ..040 8 ..64 0.03

61 0.8 0 .6 0 .4 0.2 

=

[.8 0.800.6 4 .600 6.

]出 B1 近似于输“非常不重 ”。 5 算计

“x 极重”对所的应F uzz 集合y这时。○

B1 = 极重

o

= R[.000160 0.52 60.296 0.1409 1]

602 ..0 2 o 0.4  0.6 0.8

0

4.0.6 08 0..4 0. 0.6 8.4 00. 606. .6 00. 0.46 0. 086.4 .360

1

.80 0.6 0. 40. 2 

= 0.8[ .80 0.46 03.6 0.2

]

出输 B 与1 Fuzy 集z合较比轻= [ 0.81 0.68 5.500.3 相近]

。②F

uzz 条件语y“句f iA nadB hen t C的 ”uzFyz 件条推理。

A

， B 是 Fuzyz控制器的 输 Fuzz入y集 ，合C 是其输出

Fuzzy 合集例。如，A 是过程 差误信论域号上的Fu zyz 子集E ，

B是 其差变误化信率号论上域 的Fuzyz子 EC 集，C是 Fuzzy

控其制器输信号出论域上 F的uzz 子y集 U。图 2- -1 是4输入单输双 出Fuzz 控制器的y框方图 在这。种情况，下uFzyz 件语条“句i Afand B t hne ”所C 决的定三元为 Fzzu 关y系R ，即T

1 = RA（× B ）×CT

12（1-32）-

其中（

( A× B) 为由 Fuzy z关矩系阵 A（ × B ）×m n成构的 n m 维列向量，n m和 分为 别uzzF y集 合A 与 的B论元域素。

A数

BFzuz y控器

制R

C

图

2-1 4-

uFzzy控制器

基于 理合成规推，根据 则Fzzu 关y系 R2-1-（23）得求与给定 入 F输zzu 集合y A1及 B1 对应的输 Fuz出y 集合z C1为

1C= (A1 ×B 1 )2 o RT

（2-

133-

）

2

其（中A 1× 1B) 由 F为uzy z关系矩（ A阵 1×B 1n）×m构 的 nm成

T

行维向。 量 例21--01 有设论域 X：=a1，a{2a3} Y={，b，1b2，b3}Z {c=，c21 }知 Fu已zyz 集：合

A=

=BC=

1

0.5 +a1a 2 .1 01+ 1 bb 2.04 +1c1 c2

+

+

0.1

， a 0.3 6 b3，

A ∈ B ∈YX

∈Z

C

，试确

定uzzF y条语件“句i A fadn tBhn C ”所决定的e Fuzz y关 系 R ，10 5 0.1 +.+ 及以 及 计 算由 给 定的 入输 uzFy z集合 A1 =a1a 2a3

B

1

0.1 =0. 1 5 ++决定 输出 的Fzzy 集u C1 合。b1 b 2b 3

解

1○

确定 F

uzzy 条件句“i语fA a n B tdenhC ”所 决定 的Fuzz

y

系 R关 首先，根据已知的Fu zy 集合zA B 及通，过F zzuy关 系矩运 算，计阵算A 与 B 笛卡的积，儿即

05. 0. 1.5 0.5  0A B×= [10.1 1 06] =.0.1 1 0.6   0.1 .1 0.1 0.1 0  

次其，所将得 uFzyz 系矩关 阵 × AB写成 如下向量列：

0.1 .50  0.5  0. T1 1 A(× B)=  1   06. 0 1.  .10  0.1

×9

T1

最，后按（式2--123）据根求的得（ (A B × 1)及 知已 Fu的zyz集合 C计 算 uFzy z系关 为R

0.1  .01 .05 0. 4  0.50.  4  0.  1.01R = 1  ×[.04 ] =1 04.    06.0. 4 .01  01 .    0.  0.11    .01  0.1

0.

10.  5 0.5 .10 1  0.60 1. 0.1  01. 9 ×2

2基推于合成理规则求，与取入输 uzzyF集 合A 和 B1 1对应输的○ 出 F zuyz 集 C 首先合

，计算给 F定uzz y集 合1A 与B1的 笛儿积卡即

，

1 0.1 0 .51    A1 × 1 B= .05[ 0. 01.51 =] .0 10.5 0.5    . 100 . 10 1. 0 . 1     

次，将其所 得Fzuz y系矩关阵 1 A× B 写1成如下行向量

：(A × B11 ) 2

T1

×9

=0[1 0..51 0. 105.

05. .010. 10.1]T

最

后按，（2式1-33-）根求据得的向行量 ( （A × 11 B)2 和 uFzy 关系zR 计算出 F输zuy z集合C 1 为

C1

= (A 1×B 1) 2T oR

 .01 .40 04 .  01.= [0. 10.51 0.1 05 0.5 ..01 0.1 .01 ] 0.4 o 04 .0. 1  .0  10 1.=

[ 0. 4.5]0或写成 Zade

h 表示式，即形 04. 05.C 1 = c+ 12c

.1 005. 0 .5 0 1. 1  .60 0.1  0.1 .01

注

，当 F意uzzy子 集A 和 B的 论域元素相数同，还时通可过下 列关式由 系uFzzy 子 集 ，AB 及 确C定 Fzuyz关 系R ，以由给及定

B1

及 uzzyF 系关R 算相计输出 F应zuyz 合集 C ，1输 入 Fuzy z合 集A1

，即

R= (A ×C ) (B I ×C)

C =1( A1 o R) I( B × R1)对

例于2 14-有，

（

-2-143 ）（21--35）

0.5     R= 10.[ 1]  4 0.1   

∧

 .10    1 0[4 .1]  0.6  



.0 04.5C 1= 0 4 . 1   0 . 0 .1 1   

∧

.1 00.1 0.1 0 . 1  04 1. =  0.4 1    0 . 40 6. 0. 10 . 1      



0 1.0.1 =[ 1.0 05.] 1 o.0 41  0. 10.1 

∧

[0 .

1

 .0 1.01 0.51 ] o 04 1.   0 .1 .1 0  0.5 ]=[ 04 ..5]0

= [0.40. ]

5

[0.∧

4

列结果上按式（2-与-13）2（2～1-3-）计算所3完得全相。同 ③if“A thneB 是”“fi A htn Beel e Cs 的一种特殊”情况 已前及述，uFzzy 件条语“句i fA thn Be leesC ”所 定的决 Fuzzy关 系 R为

R= ( A × B )U ( A ×C) 其中

A ， B C和 是论域X ， 和 ZY 上的一元 Fzzu 关系y而，

−

R 是论域

×YX上的一个 元二F uzz 关y系若。其将的 中uFzy 集

z合C 容许为域时全则，

R得 ( A ×= ) UB A( E×)

中 E 其为代全域表全称矩的阵这。时 ， R的隶属数函:

为−

u ( x,R y) =[ A u(x) ∧ B u( y)] ∨ [(1 u A − x()∧ 1]

=[

µ

A~

(

x ) ∧u B y )](∨ [1 − u A x()

]−

考 虑

式 （到2 1-2-7） ， （ ×AB ） U（A ×E ）是

便

if“A t hn eB” 所定的 决uFzyz关 ，系是有

于R

A B→= ( A ×B) U ( A ×E)

2-（136）-式 2-1-36）表（明，际上实是，“把若A 则 B ”理解为“若

−

A

则B 则不否问” ，是“它若 A B 否则 C ”则的种特一情殊况

。