非线性电路混沌现象的研究
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实验科学与技术2009年2月
非线性电路混沌现象的研究
张 锋, 刘 娟
(茂名学院计算机与电子信息学院, 广东茂名 525000)
摘要:通过实验的手段, 依次改变非线性系统的参数, 可以出现从无序向有序的转变。有序程度不断的增加, 最后在示波
器上观察到混沌现象。从而得出混沌是一种确定的系统中出现的貌似不规则的有序运动本质特征。关 键 词:非线性; 混沌; 确定性; 内在随机性; 奇怪吸引子; 分岔中图分类号:O415; T N71114 文献标识码:A 文章编号:1672-4550(2009) 01-0018-04
A Study on Chaos Pheno menon about Nonli n ear C i rcuit
Z HANG Feng, Juan
(Computer and Communicati on Depart ing )
Abstract:This article exp m of the nonlinear system’s para meter in turn mayre 2alize the transf t o . hen the order degree increases unceasingly, we can observe the chaos phe 2nomenon on the . can concludes that the essence characteristic that the chaos is an apparent irregularly or 2der move ment in one of definite syste m.
Key words:nonlinearity; chaos; deter m inacy; inherent randomness; queer attracter; f ork
1 引 言
混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象, 它也是非线性系统所特有的一种复杂状态。在线性系统中, 当函数y =f (x ) 对自变量x 的依赖关系是“一次”多项式时, 那么在平面上就是一条直线; 如果其依赖关系高于一次时(抛物线函数) , 那么这个函数所描述的系统就是“非线性系统”。可见, 从函数构造的角度来说, 非线性系统要比线性系统更多、更普遍。对它的进一步研究呼唤着新的方法和思维方式, 适时应运而生的混沌理论(Chaos Theory ) 已渐渐成为非线性科学的主要研究对象。
径庭。正是初始条件的微小误差导致了计算结果的
[1]
巨大偏离, 产生“蝴蝶效应”, 即混沌现象。212 非线性电路与非线性动力学方程
图1中只有一个非线性元件R, 它是一个有源的非线性负阻抗元件。电感器L 和电容C 2组成一个损耗可以忽略的谐振回路; 可变电阻R V 和电容器C 1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。其中非线性元件R 是一个三段分段线性元件。图2所示的是该电阻的伏安特性曲线, 可以知道此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。当此元件上的电压增加时, 通过它的电流却减小, 因而将此元件称为非线性负阻抗元件
。
[2]
2 混沌现象与非线性电路
211 混沌现象-蝴蝶效应
1961年, 美国气象学家洛伦兹根据他导出的
描述气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值计算, 探讨准确进行长期天气预报的可能性。为了检验上一次的计算结果, 不是最初输入的数据, 而是以一个中间的输入数据。经过一段重复过程后, 计算开始偏离上次的结果, 甚至大相
图1 非线性电路原理图
图1电路的非线性动力学方程
C 1
[3]
为:
d U C d t d t
收稿日期:2008-04-03
作者简介:张 锋(1979-) , 男, 实验师, 大学本科, 从
事非性电路教学和科研工作。
=G (U C 2-U C 1) -gU C 1=G (U C 1-U C 21) +i L
(1)
C 2
d U C
第7卷 第1期Experi m ent Science &Technol ogy
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L
d i L
=-U C
2d t
L =18mH, C 1=10nF, C 2=100nF, R 1=313
Ω, R 2=R 3=22k Ω, R 4=212k Ω, R 5=R 6=220k
Ω, R 0是由2个多线圈电位器串联组成, 可以进行粗调和细调
。
图2 非线性元件伏安特性
式中, 导纳G =1/RV , U C 1和U C 2分别为表示加在
C 1和C 2上的电压;
I G 表示L 表示流过L 的电流;
4 非线性电阻的导纳。
3 , 会
。例如, 一个非线性电子电路(混沌仪) , 当我们观察它的输出交变电压随输入电压大小的改变而变化的规律时, 可以发现:开始输入电压较低时, 输出电压的频率与输入电压的频率一样, 而随着输入电压的增加, 输出电压的频率经过二分频、四分频、八分频……最后进入混沌(具有各种各样频率的输出电压) 。这就是倍周期分岔进入的混沌, 是一种典型的非平衡过程产生的混沌。
分岔是非线性系统的一个基本特性, 最简单的分岔如图3所示的“叉式分岔”, 其中λ=0对应于平衡态。当λ=λc 时只有一个稳定的解, 超过了λc 点以后, 原来的解失稳, 且出现了一对稳定的解b 1, b 2, 分岔行为可以多级发生, 结果就可能导致出现混沌现象
。
, , 它是通过6个电阻组合来实现的。电路, LC 并联构成振荡电路, R 0的作用是分相, 使A, B 两点输入示波器的信号产生位相差, 可得到
x, y 两个信号的合成图形。双运算放大器T L082
的前级和后级正、负反馈同时存在, 正反馈的强弱与比值R 3/R0, R 6/R0有关, 负反馈的强弱与比值R 2/R1, R 5/R4有关。当正反馈大于负反馈时, 振荡电路才能维持振荡。若调节R 0, 正反馈就发生变化, T L082处于振荡状态, 表现出非线性, 从C, D 两点看, T L082与6个电阻等效于1个非线性电阻, 它的伏安特性大致如图5所示
。
图5 双运算放大非线性元件的伏安特性
将电容C 1, C 2上的电压输入到示波器的x, y
轴, 先把R 0调到最小, 在示波器上可观察到一条直线; 调节R 0, 直线变成了椭圆; 到某一位置, 图像缩成一点; 增大示波器的倍率, 反向微调R 0, 可以看到曲线作倍周期变化。曲线由1周期增为2
图3 叉式分岔
周期, 由2周期增至4周期……直至一系列难以计数的无首尾的环形曲线, 这是一个单涡旋吸引子。再微调R 0, 单吸引子突然变成双吸引子, 只见环形曲线在两个外涡旋的吸引子之间不断填充与跳跃, 这就是混沌研究文献中所描述的“蝴蝶”图像, 也是一种奇怪吸引子, 它的特点是整体上的稳定性
4 混沌实验实现
除了计算机数学模拟方法之外, 更直接的方法
是用示波器来观察混沌现象。非线性混沌实验电[4]
路如图4所示。具体参数如下:
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和局部上的不稳定性同时存在沌现象的图像
。
[5]
实验科学与技术2009年2月
。图6为观察到混
n
表1 两种初始值时的迭代结果
X n +1=4X n (1-X n ) X 1=011
X 1=011000001
12345
(a ) 1倍周期
(b ) 2倍周期
(c ) 3
倍周期
[***********][1**********]26
[***********][***********]38871
…
5152
…
[***********]38
…
[***********]31
…
(d ) 6倍周期 (e ) 单吸引子
(f ) 双吸引子
…
图6 :(11倍周期图。
-61300V, 流过负阻抗两端的电流为2194mA, 可调电阻阻值
Ω。此时, 电路较为稳定, 还未进入混沌为2112k
状态, 负阻抗状态处于特性曲线转折点以左部分。(2) 2倍周期分岔图。当增大可调电阻时, 电路的非线性增强, 于是产生了一个不连续的变化, 由量变导致了质变。图像产生了分岔, 电流与电压的振荡周期变成了原来的2倍, 电路状态比1倍周期时复杂。测得负阻抗两端电压为-51950V, 流过负阻抗两端的电流为2185mA, 可调电阻阻值为2106Ω。继续调节可变电阻, 可以看到吸引子突然充k
满了原本2个混沌吸引子所占据的空间, 形成了双漩涡混沌吸引子(Double Scr oll Chaotic A ttract or ) 。由于示波器上的每一点对应着电路中的每一个状态, 出现双混沌吸引子就意味着电路在这个状态时, 相当于电路处于在最初的那个响应状态, 最终会达到哪一个状态完全取决于初始条件。
5 混沌现象的特性、本质
511 混沌现象的特性
, 经过若
, 谬以千里”了。其长期。512 混沌现象的本质
(1) 混沌是过程的科学、演化的科学, 而不是状态的科学, 变是混沌的本性。随着时间的推移, 系统运动状态在不断变化。当控制参量由小到大变化时, 系统由稳定有序逐渐失稳, 开始分岔, 随着分岔按几何级数的不断增长, 系统由有序到无序。当控制参量λ达到一个临界值时系统进入混沌区。当λ再增大时又会遇到一个个的周期窗口, 一个个混沌区……当λ不断减少时系统又会由混沌逐渐向有序演化。
(2) 混沌不等同于混乱, 混沌是一种确定系统中出现的貌似不规则的有序运动。这种有序不同于我们所熟悉的有序———寻常有序、简单有序、线性有序。现在说的有序是乱中有序, 是有序与无序的结合, 是非线性序———混沌序。就是说混乱它也是一种确定性的混乱, 形式的混乱。倍周期分岔过程具有规律性是容易理解的, 而一个普适常数———费根鲍姆常数的存在更是一个有力证明。
若用λm 代表第m 次分岔出现的λ值, 则相继分岔的间距之比的极限是一个常数, 即:
λm -λm δ=li m =416692
m →∞λm +1-λm 这是美国物理学家费根鲍姆利用计算机在
1978年计算发现的。费根鲍姆常数的存在反映了混沌演化过程中的有序性。
在混沌区中混沌系统对初值的依赖具有敏感性。对于混沌的这一特性, 通过“蝴蝶效应”的介绍已经有了相当的感性认识。而通过Logistic 一维模型的表达式X n +1=μX n (1-X n ) 可以使这一特点更加一目了然。对方程X n +1=4X n (1-X n ) 进行迭代, 分别取初始值为X 1=011和011000001, 迭代结果如表1所示。
5 结束语
20世纪60年代以后, 混沌理论的兴起导致一
(下转第62页)
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式中, n 为液体媒质的折射率; M 是媒质的摩尔质量; A ′为常量。折射率的变化同样满足驻波方程, 形成驻波的液体就相当于一个光栅, 其光栅常数为λ/2。
为测量的辅助装置能够大大提高其测量的精度。
由理论公式算出该温度下, 超声波在自来水中的传播速度为:
v 理论=v 水0
=14970
3 改进的迈克尔逊干涉仪与超声光栅的整
3
=1153×10m /
s
115
合应用
实验装置如图1所示。测量时, 通过调节微调
[6]
手轮移动反射镜, 观察观察屏上条纹的变化。当反射镜移过的距离是超声波波长的一半时, 观察屏上会再次出现稳定的衍射条纹, 因此前后2次读数之差即是超声波波长的一半, λ=2|x -x 0|, x 0为初次调出衍射条纹时的读数值, x 为再次调出
υ图样的读数值。根据公式v =λ, 在液体中传播的速度
。
故相对误差为01033。
4 结束语
利用超声光栅测量声速是一个综合性较强的实验, 同时, 基于声光作用形成光栅的原理来测量声速是一个较好的开阔学生思维的实验。在传统的测量方法中, ; 而利用迈克
-5
10mm 。因此, , , 既精确地测量了超声波, 提高了测量超声波声速的精度, 能够更加清晰地观察图样的变化, 开拓了学生的思维空间, 激发了学生学习的乐趣。
参考文献
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图1 实验装置简图
[2] 梅振林, 隋成华1超声光栅测量声速的研究及仪器
本实验的液体为自来水, 温度为15℃。超声
波的频率υ=35kHz 。实验时测量的数据见表1。
表1 实验测量数据
次 数
x 0/mmx /mm
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45
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[6] 王乐新, 李天和1大学物理实验[M]1北京:中国农
λ=2(x -x 0) /mm43170000
经过计算得出超声波在自来水中传播的速度为
15291500m /s 。可见, 借助“迈克尔逊干涉仪”作(上接第20页)
业大学出版社, 20041
系列在“紊乱”现象背后的惊人发现, 引起人们广泛的注意。对于一个非线性系统, 我们依次改变系统的参数, 可以出现从无序向有序的转变, 有序程度不断增加的转变, 最后出现混沌。在这一系列相变过程中, 系统的有序程度不断提高, 对称性不断减少, 不断增加有序性是对无序的不断否定, 而出现混沌是有序程度增加到了最高程度, 是系统最有序的表现, 也是系统呈现一种新的无序, 是对有序的再否定; 通过有序程度的不断增加, 经过倍周期分岔达到非平衡混沌, 不同于原来系统平衡态时呈
现的无序的混沌, 它在一个尺度上表现的随机现
象, 会以同样的形式在不同尺度上重复出现。
参考文献
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