古希腊数学中的公理化思想及其历史发展

古希腊数学中的公理化思想及其历史发展

摘要:欧几里得几何是第一个公理化体系，非欧几何的出现促使人们对它的基础作了严格审视，其中希尔伯特公理化方法最为成功；但它的相容性问题一直没有解决，集合论悖论使得这个问题更加尖锐。虽然集合论的公理化一度时期曾化解了悖论给公理化方法所带来的危机，但不久哥德尔不完全性定理就深刻地揭露了公理化方法不可避免的局限性。尽管后来的布尔巴基学派的结构数学使公理化方法更上一层楼，但仍然无法克服公理化方法本身的局限性。

关键词: 欧几里得几何；公理化；相容性；历史发展；局限性

1 欧几里得以前的几何学

人类最初的几何知识是从对形的直觉中萌发出来的，不过在不同的地区，几何学的这种实践来源方向不尽相同。古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈量；古代中国几何学的起源更多地与天文观测相联系；古代印度几何学的起源则与宗教实践密切相关。当古代实用几何知识积累到一定阶段时，对它们进行系统整理与理论概括必然形成趋势。向理论数学的过渡，大约是公元前6世纪在地中海沿岸开始的，它带来了初等数学的第一个黄金时代，以论证几何为主的希腊数学时代。论证数学鼻祖的荣耀归于泰勒斯，据称他领导的爱奥尼亚学派首开希腊命题证明之先河，他自己证明了不少定理，其中包括那条至今仍被称作“泰勒斯定理”的命题:半圆上的圆周角是直角。

论证数学的成长归功于毕达哥拉斯及其在克洛托内创建的秘密会社，普遍的认识是欧几里得《原本》前两卷的大部分材料均来源于毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯学派另一项几何成就是正多面体作图，他们称正多面体为“宇宙形”。在三维空间仅有的五种正多面体中，毕达哥拉斯及其学派成员先后解决了它们的作图问题。在所有正多面体中, 正十二面体最为引人注目，这是因为它的每个面都是五边形，其作图问题涉及到了所谓的“黄金分割”。

毕达哥拉斯以后，在作为希腊民主政治与经济文化中心的雅典及其周边地区，先后涌现出了众多的学术派别。这些学派虽然主要从事哲学讨论，但他们的研究活动同时也极大地加快了希腊数学的理论化进程。雅典时期，数学中的演绎化倾向有了实质性的进展，这主要应归功于柏拉图、亚里士多德和他们的学派。

柏拉图开设的雅典学院，据说大门上写着“不懂几何者莫入”。柏拉图本人在数学上虽未取

得什么具体成就，但对数学研究的方法却颇多贡献。分析法与归谬法即被认为是他的思想，他给出了许多几何定义，并坚持对数学知识作演绎整理。

柏拉图的思想在他的学生与同事亚里士多德那里得到发展和完善。亚里士多德对定义作了精密的讨论，并指出需要有未加定义的名词，他也深入研究了作为数学推理出发点的基本原理，并将它们区分为公理和公设。亚里士多德最重大的贡献是将前人使用的数学推理规律规范化和系统化，从而创立了独立的逻辑学，其中的基本逻辑原理矛盾律和排中律，成为数学间接证明的核心。亚里士多德的形式逻辑被后人奉为演绎推理的圣经，在当时则为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础。

2 欧几里得《原本》与公理化

在希腊数学史上，欧几里得具有承前启后的作用。他是希腊论证几何学的集大成者，更是亚历山大数学学派的奠基人。他对数学或者说整个人类文明史的贡献，主要体现在他的鸿篇巨著《原本》当中。这部杰作的出台亮相，使以前所有有关数学原理的书册黯然失色。

“原本”的希腊文原意是指一个学科中最重要的定理，如同字母之于语言的作用一样，它们必须具有最一般最广泛的应用。《原本》所包含的正是这样一些数学定理，欧几里得在这里运用公理法则对当时的数学知识进行了系统化、理论化的总结。全书共分13卷，包括5条公理、5条公设、119个定义和465条命题，构成了人类文明史上第一个演绎数学的公理化体系。其中5条公理为:

1) 等于等量的量彼此相等；2) 等量加等量和相等；3) 等量减等量差相等；4) 彼此重合的图形是全等的；5) 整体大于部分。5条公设为: 1) 从任意一点到任意一点可做一条直线；2) 一条有限直线可不断延长；3) 一任意中心和直径可以画圆；4) 凡直角都彼此相等；5) 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。基本定义有:点是没有部分的；线是没有宽度的长；面是只有长度和宽度的；直线是与其上的点相平齐的线；平面是与其上的线均匀平放着的面等等。

3 非欧几何及其对公理化的影响

直到18 世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下。解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧几里得几何本身的内容。解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。许多学者都视欧几里得几何为绝对真理。然而，这种近乎科学“圣经”的几何学并非无懈可击。

在对欧氏几何的疑惑中，第五公设或称平行公理首当其冲。在欧几里得的所有公理中，这条

公理表述明显较其他公理复杂，而且它在《原本》中出现很晚，欧几里得似乎在迫不得已时才启用这条公理。事实上，从公元前3世纪开始，一批又一批数学家始终怀疑欧几里得第五公设其实不是一条公理，而是一条定理。为澄清这种疑惑，一代代数学家想方设法证明这条“公设”，然而他们所给的“证明”要么隐含着等价的命题或假设，要么存在着形式的推理错误。在被证实是等价的命题中有一条普莱菲尔(1748～1819) —普洛克鲁斯(公元前500) 平行公理[1]：过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行，这就是我们今天通常使用的平行公理。

18世纪中叶，达朗贝尔无奈地把平行公设的证明问题称为“几何学中的家丑”。但就在此前后，对第五公设的研究开始出现有意义的进展。在这方面的代表人物是意大利数学家萨凯里、德国数学家克吕格尔和瑞士数学家兰伯特。他们各自从与欧几里得平行公理相反的替代公设出发，推出了一系列新奇的结论，可以说走到了非欧几何的门前，但却都没能跨进门槛。

“非欧几何”的名称来源于高斯。尽管在其正式建立之前，许多技术性的内容已被大量导出，但高斯最先对其意义有深刻理解。他从1799年开始意识到平行公设不能由其他公理推出，并从1813 年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何。然而由于担心“黄蜂刺耳”即世俗的攻击，这位“数学之王”决定将自己的发现秘而不宣。

1832年，对发现非欧几何深缄其口的高斯突然收到一篇论文《绝对空间的科学》[2]，文章的作者是一位名叫波约的匈牙利青年，文中论述的“绝对几何”事实上就是非欧几何，且与高斯的思想方法不谋而合。可以想象急于得到支持的波约等来的会是什么，高斯淡然而缺乏热情的评语使他十分灰心，从此放弃了发表论文的想法。

在非欧几何的三位发明人中，只有俄国数学家罗巴切夫斯基最早、最系统地发表了自己的研究成果，并且也是最坚定地宣传和捍卫自己新思想的一位。他先是于1826年在喀山大学发表了《简要论述平行线定理的一个严格证明》的演讲，报告了自己关于非欧几何的发现，而后又在1829年发表了题为《论几何原理》的论文，这是历史上第一篇公开发表的非欧几何文献。罗巴切夫斯基非欧几何与高斯、波约的基本思想一致，即用与欧几里得第五公设相反的断言: 过直线外一点，可引不止一条直线与已知直线不相交，作为替代公设，进行逻辑推导而得出一连串新几何学的定理，它们并不包含矛盾，因而在总体上形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论。欧几里得几何学在这里仅成了罗巴切夫斯基几何的一个特例。

非欧几何要获得普遍接受，需要解决两方面的问题。首先是确实地证明自身在逻辑上的无矛盾性；其次是揭示这种几何的现实意义。后一个问题直到20世纪爱因斯坦相对论建立后才得到解决，至于非欧几何的无矛盾性问题，19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米[3]、德国数学家克莱因[4]各自在欧几里得空间中给出了罗巴切夫斯基几何的模型。他们的工作，使非欧几何具

有了至少与欧几里得几何同等的逻辑地位。至此非欧几何作为一种几何的合法地位充分建立起来，并开始得到广泛的理解和接受。

非欧几何的创立及其被接受的历史过程，促使人们对欧几里得几何的基础做更全面更严格的审视。数学家们起码面临如下尖锐的问题。

(1)欧几里得几何有没有矛盾？由于将非欧几何的无矛盾性归结为欧几里得几何的无矛盾性，这一问题就变得不可回避。

(2)欧几里得几何中除平行公理外其他公理的独立性问题。非欧几何的建立实际上就是确定了平行公理的独立性，即平行公理不可能是欧氏体系中其他公理和定理的推论。这就自然会引导数学家们去考察其他公理是否独立。在这样的逻辑眼光下，《原本》中的公理体系潜含着的逻辑缺陷就会暴露出来，例如人们发现第四公设(凡直角都彼此相等) 是多余的，即不独立的。

另外，数学家们还进一步追问欧几里得体系是否包含了足够的公理。

4 希尔伯特公理化方法

在重建严格统一的几何基础的努力中，希尔伯特的《几何基础》(1899)最为成功。希尔伯特在总结了整个几何学发展的基础上提出了自己的公理系统和组织公理系统的原则。在数学史上， 希尔伯特的方法被称为现代公理化方法，以区别于欧几里得的公理化。

希尔伯特的现代公理化方法包括五组公理:1)关联公理(含8个公理) ；2) 顺序公理(含4个公理) ；3) 合同公理(含5个公理) ；4) 平行公理；5) 连续公理(含阿基米德公理和完备公理) ，其中阿基米德公理(线段a ，b ，设a >b ，则一定有整数n 使nb >a ) 为欧几里得公理体系所缺，完备公理在《几何基础》第一版中没有，经庞加莱等人指出(只留下坐标x ，y ，z 均为代数数的点而剔除所有其余点后的空间) 后在第二版中加进。

进一步希尔伯特对公理系统提出明确的逻辑要求，也就是指出如何选择公理:1)相容性，即不能出现矛盾(P 与-P 不能同时成立) ；2) 独立性，即不能出现多余的公理；3) 完备性，即不能缺少公理。希尔伯特在这方面的贡献影响深远，因为他比任何前人都更加透彻地弄清了公理系统的逻辑结构与内在联系。在对他的公理系统作出自然地划分之后，希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即相容性，独立性，完备性。如此组织起来的公理系统中，通过否定或者替换其中的一条或几条公理，就可以得到相应的某种几何。这样的做法，不仅给出了已有几门非欧几何的统一处理，而且还可以引出新的几何学，例如希尔伯特本人在其《几何基础》中就建立了阿基米德公理在其中不成立的新几何，即所谓非阿基米德几何。希尔伯特无疑是现代公理化方法的奠基人。

5 公理化方法的影响与局限

公理化方法中所体现的演绎证明为人类提供了严格思维的模式。从几条不言自明的公理出发，通过逻辑的链条，推导出成百上千条定理。这种演绎论证的思维模式影响所及已远远超出了几何学甚至数学领域，对人类社会的进步和发展有不可估量的作用。领导法国大革命和美国独立战争的思想家、政治家们都接受了欧几里得数学思维的影响(《人权宣言》, 《独立宣言》) 。另外，有记载说美国南北战争时期的总统林肯“相信思维能力像肌肉一样也可以通过严格的锻炼而得到加强”，为此他想方设法搞到了一本欧几里得的《原本》，并下决心亲自证明其中的一些定理，1860 年他自豪地报告说他已基本掌握了《原本》的前六卷。

希尔伯特所发展的现代公理化方法在20世纪已远远超出了几何学的范围而成为现代数学甚至其他科学领域中普遍应用的科学方法。在数学科学领域，它孕育了抽象代数、实变函数论与泛函分析、拓扑学、公理化概率论等20世纪的纯粹数学核心领域。在物理学领域，它影响了量子力学和相对论的产生与发展。在经济学中，也引进了公理化，例如一般经济均衡理论的公理化基础。

公理化方法属于演绎思维的范畴。演绎思维是重要的思维方式，但当然不是惟一的方式, 它为人类提供了严格推理的模式，但也存在局限性。笛卡儿就曾在他的一部生前未正式发表的著作《探求真理的指导原则》中深刻地批判了传统的、主要是希腊的研究方法，他认为古希腊人的演绎推理只能用来证明已经知道的事物，“却不能帮助我们发现未知的事情”。笛卡儿因此提出“需要一种发现真理的方法”，也就是一种“普遍的科学”，笛卡儿称之为“通用数学”。“通用数学”的追求导致了笛卡儿解析几何的发明。从方法论角度看，解析几何显然不是演绎思维和公理化方法的产物。因此，演绎思维和公理化方法需要与其他科学思维方法相辅相成，相得益彰，科学的进步和发展是不同思维方法的交响乐。

[5]

6 集合论悖论及其对公理化方法的影响

实际上，在希尔伯特的公理化方法中，有一个问题一直困扰着希尔伯特，那就是对欧氏几何相容性的证明。在希尔伯特心目当中，这种相容性是任何类型的公理化系统的必要条件，所以他一直试图对其进行证明。在直接证明不得的情况下，借助解析几何，希尔伯特将欧氏几何的相容性问题转化成了算术的相容性问题；1900年巴黎数学家大会上，在他所提出的著名的23个问题中，第二个问题就是算术公理的相容性。之后不久，这个问题由于罗素悖论的出现变得更加尖锐。

1900年前后集合论中出现了3个著名的悖论:布拉利-福尔蒂悖论(1897)、康托尔悖论(1899) 和罗素悖论(1903)。布拉利-福尔蒂悖论是一个关于序数的悖论；康托尔悖论是关于基数的悖论；

罗素悖论是关于日常语言和逻辑的悖论。由于布拉利- 福尔蒂悖论、康托悖论都涉及非常专门的术语和概念，人们认为这些悖论只是因为某些推理环节上的失误所造成的，所以在当时并没有引起重视；而罗素悖论则清楚明了地指出了集合论本身存在着矛盾，从此这些悖论开始受到人们的关注。1919年，罗素又给出上述悖论一个通俗形式，使得这个悖论为更多的人所了解。这就是著名的理发师悖论: 某乡村理发师宣布了一条原则，他只给本村那些不给自己理发的人理发。问谁给理发师理发？如果理发师给自己理发，那么他是自己给自己理发的人，据村中的理发师只给本村那些不给自己理发的人理发，他不应给自己理发；如果理发师不给自己理发，那么他是不给自己理发的人，据村中的理发师只给本村那些不给自己理发的人理发，他应该给自己理发。这是矛盾的。

为了消除集合论中存在的悖论，数学家们对集合论进行了公理化。第一个集合论公理系统是1908年由策梅洛提出的，这个公理系统后来由弗兰克尔进行了改进，现在称为策梅洛- 弗兰克尔公理系统。

通过建立集合论的公理化，集合论所存在的悖论被化解了，没有发现新的悖论；但是以后会不会再出现新的悖论，不得而知，所以集合论公理化体系的相容性问题还是没有得到解决。对此庞伽莱说:“为了防备狼，羊群已用篱笆圈了起来，但却不知道圈里有没有狼”。

随后，在解决集合论悖论的进一步尝试过程中，形成了关于数学基础的三大学派:以罗素为代表的逻辑主义，以布劳威尔为代表的直觉主义和以希尔伯特为代表的形式主义。希尔伯特的形式主义纲领是他早年关于几何公理化方法的发展与深化。希尔伯特感觉到之所以会产生类似于罗素悖论中所存在的悖论性因素，主要是由于其陈述中的“语义”内容所导致的。他相信铲除在数学中出现这种悖论可能性的一个方式，就是为全部数学构建一种纯句法的、实质上“无意义”的框架，在其中可以谈论数学的真或假，这样的框架就是形式化了的公理系统。希尔伯特纲领所要做的就是把整个数学事实全部形式化，以防止悖论跨越自然语言与数学语言的界限而侵入纯洁的数学世界。希尔伯特形式系统由语言、公理、推理规则三个部分组成。在希尔伯特的形式主义纲领中, 相容性问题仍然是希尔伯特首要解决的任务，对此希尔伯特提出了一种证明的设想“元数学”， 元数学第一次使一门数学理论整体的作为一个确定的、可用数学方法来研究的研究对象。

在1928年意大利博洛尼亚国际数学家大会上，希尔伯特自信地说:“利用这种新的数学基础——人们完全可以称之为证明理论，我将可以解决世界上所有的基础问题。”所有有意义的论述都将被证明或证伪，那样就不存在悬而未决的命题了。希尔伯特对算术形式化满怀坚定的希望，同时激励国际数学家去发现或创造这样的形式化。正当人们感到希望的时候，哥德尔证明了一条定理(1931)，明白无误地指出了希尔伯特关于算术公理相容性的“元数学”纲领不可能实现。 [6]

7 哥德尔不完全性定理及其对公理化方法的影响

1931年哥德尔在其“论《数学原理》及其有关系统中的形式不可判定命题”的论文中证明了一条定理:任一足以包含自然数算术的形式系统，如果是相容的，则它一定存在有一个不可判定命题，即存在某一命题A 使A 与A 的否定在该系统中皆不可证。系统中存在不可判定的命题也叫该系统的“不完全性”，所以哥德尔的这个定理通常被称为“哥德尔第一不完全性定理”，这个定理表明:任何形式系统都不能完全刻画数学理论，总有某些问题从形式系统的公理出发不能解答。情况甚至更糟，在第一不完全性定理的基础上，哥德尔进一步证明了:在真的但不能由公理来证明的命题中，包括了这些公理是相容的(无矛盾) 这一论断本身。也就是说，一个足以包含自然数算术的公理系统是相容的，那么这种相容性在该系统内是不可证明的。这就是所谓的“哥德尔第二不完全性定理”，第一不完全性定理与第二不完全性定理合称为“哥德尔不完全性定理”。哥德尔不完全性定理揭示了形式化方法不可避免的局限性，指出了形式系统的相容性在本系统内不能证明，使希尔伯特证明形式系统相容性的“元数学”方案受到了沉重的打击。

哥德尔不完全性定理是属于某种否定性结果，然而它却带来了数学基础研究的划时代变革。一方面，哥德尔不完全性定理破天荒的第一次分清了数学中“真”与“可证”是两个不同的概念。可证的命题是真的；但真的命题却不一定可证。对于形式系统，“可证”是可以机械地实现的；而“真”需要进一步的思想能动性及超穷工具，即没有任何一类数学可以足够彻底地、完全地表达日常的真概念，这一切突破了人们对数学真理的传统理解，将对数学真理的认识推向了崭新的层次。另一方面，虽然哥德尔不完全性定理指出了形式化数学的局限性，但这并不意味着公理化方法的消亡。相反它极大地促进了希尔伯特“元数学”的发展。由于指出了有限方法的不可能, 人们在放宽工具限制的情况下，创造了“超限归纳法”等一些新方法，解决了一批证明论问题。

对于自己的结果，哥德尔认为它的重要性在于在很多情况下，它能够判断或猜测希尔伯特方案的某个特殊部分，能否在给定的元数学假设下进行；但对于形式化方法能否对古典数学的相容性进行构造性说明，以及如果可能的话又可以解决到什么程度这样的问题并没有解决。哥德尔之后不久，布尔巴基学派提出了一般的数学结构的观点，即用结构的观点来综合、概括现代数学的各个分支。他们认为数学就是“结构的仓库”，并将代数结构、“拓扑结构”和“序结构”合称为“母结构”，以这三类结构为基础，通过它们的交叉、结合而产生出各种层次的新结构。结构的观点可以说使公理化方法更上一层楼，它导致了对数学中更一般的抽象结构的研究。不过，布尔巴基学派的结构观点也有其局限性，因为它只是一种方法，它仍然无法克服公理化方法本身所存在的局限性。

参考文献

[1] 李文林. 数学史教程[M].北京:高等教育出版社, 施普林格出版社,2000.227.

[2] Bono la, Roberto. Non-Euclidean Geometry [M].America: Dover,1955.22-26.

[3] Beltrami, Eugenio. Operematematiche[J].Ulrico Hoe-pli,1902,(1): 262-280,374-405.

[4] Klein, Felix. Gesammelte mathematische A bhandlung-en [J].Julius Springer,

1921-1923,(1):244-253.

[5] [法]笛卡尔. 探求真理的指导原则[M].管振湖, 译. 北京:商务印书馆,1991.

[6] Morris Kline. Mathematics: The Lose of Certainty[M]. Oxford University Press, 1980;

中译本:数学:确定性的丧失[M ].李宏魁, 译. 长沙:湖南科学技术出版社,1997.254.