2010届高三数学专题讲座复习10

2010届高三数学专题讲座复习10

高考数学选择题的解题策略

一、知识整合

1．高考数学试题中，选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现以考查" 三基" 为重点的导向，能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大. 解答选择题的基本要求是四个字--准确、迅速.

2．选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面. 解答选择题的基本策略是：要充分利用题设和选择支两方面提供的信息作出判断。一般说来，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法解的，就不必采用直接解；对于明显可以否定的选择应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等。解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。

3．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类. 直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答. 因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法.

1、直接法：

直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选择支" 对号入座" 作出相应的选择. 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.

例1．若sinx>cosx，则x 的取值范围是（ ）

（c ） {x|k－＜x ＜k ＋，kz } （d ） {x|k＋＜x ＜k ＋，kz}

解：（直接法）由sinx>cosx得cosx －sinx ＜0，

即cos2x ＜0，所以：＋k π＜2x ＜＋k π，选d.

另解：数形结合法：由已知得|sinx|>|cosx|，画出y=|sinx|和y=|cosx|的图象，从图象中可知选d.

例2．设f(x)是(－∞，∞) 是的奇函数，f(x＋2) ＝－f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)＝x ，则f(7.5)等于（ ）

（a ） 0.5 （b ） －0.5 （c ） 1.5 （d ） －1.5

解：由f(x＋2) ＝－f(x)得f(7.5)＝－f(5.5)＝f(3.5)＝－f(1.5)＝f(－0.5) ，由f(x)是奇函数，得

f(－0.5) ＝－f(0.5)＝－0.5，所以选b.

也可由f(x＋2) ＝－f(x)，得到周期t ＝4，所以f(7.5)＝f(－0.5) ＝－f(0.5)＝－0.5. 例3．七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相邻，那么不同的排法的种数是（ ） 解一：（用排除法）七人并排站成一行，总的排法有种，其中甲、乙两人相邻的排法有2×种. 因此，甲、乙两人必需不相邻的排法种数有：－2×＝3600，对照后应选b ；

直接法是解答选择题最常用的基本方法，低档选择题可用此法迅速求解. 直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案. 提高直接法解选择题的能力，准确地把握中档题目的" 个性" ，用简便方法巧解选择题，是建在扎实掌握" 三基" 的基础上，否则一味求快则会快中出错.

2、特例法：

用特殊值(特殊图形、特殊位置) 代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断. 常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.

例4．已知长方形的四个项点a （0，0），b （2，0），c （2，1）和d （0，1），一质点从ab

的中点p0沿与ab 夹角为的方向射到bc 上的点p1后，依次反射到cd 、da 和ab 上的点p2、p3和p4（入射解等于反射角），设p4坐标为（的取值范围是（ ）

（a ） （b ） （c ） （d ）

解：考虑由p0射到bc 的中点上，这样依次反射最终回到p0，此时容易求出tan=，由题设条件知，1＜x4＜2，则tan ≠，排除a 、b 、d ，故选c.

另解：（直接法）注意入射角等于反射角，...... ，所以选c.

例5．如果n 是正偶数，则c ＋c ＋... ＋c ＋c ＝（ ）

（a ） 2 （b ） 2 （c ） 2 （d ） (n－1)2

解：（特值法）当n ＝2时，代入得c ＋c ＝2，排除答案a 、c ；当n ＝4时，代入得c ＋c ＋c ＝8，排除答案d. 所以选b.

另解：（直接法）由二项展开式系数的性质有c ＋c ＋... ＋c ＋c ＝2，选b.

例6．等差数列{an}的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ） （a ）130 （b ）170 （c ）210 （d ）260

解：（特例法）取m ＝1，依题意＝30，＋＝100，则＝70，又{an}是等差数列，进而a3＝110，故s3＝210，选（c ）.

例7．若，p=，q=，r=，则（ ）

（a ）rpq （b ）pq r

（c ）q pr （d ）p rq

解：取a ＝100，b ＝10，此时p ＝，q ＝＝lg ，r ＝lg55＝lg ，比较可知选pqr

当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略. 近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占30％左右.

3、筛选法:

从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据" 四选一" 的指令，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断.

例8．已知y ＝log(2－ax) 在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） （a ）(0，1) （b ）(1，2) （c ）(0，2) （d ） [2，+∞

解：∵ 2－ax 是在[0，1]上是减函数，所以a>1，排除答案a 、c ；若a ＝2，由2－ax>0得x ＜1，这与x ∈[0，1]不符合，排除答案d. 所以选b.

例9．过抛物线y ＝4x 的焦点，作直线与此抛物线相交于两点p 和q ，那么线段pq 中点的轨迹方程是（ ）

（a ） y＝2x －1 （b ） y＝2x －2

（c ） y＝－2x ＋1 （d ） y＝－2x ＋2

解：（筛选法）由已知可知轨迹曲线的顶点为(1，0) ，开口向右，由此排除答案a 、c 、d ，所以选b ；

另解：（直接法）设过焦点的直线y ＝k(x－1) ，则，消y 得：

kx －2(k＋2)x ＋k ＝0，中点坐标有，消k 得y ＝2x －2，选b.

筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题. 当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围那找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择. 它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中约占40％.

将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断. 即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案.

例10．函数y=sin(－2x) ＋sin2x 的最小正周期是（ ）

（a ） （b ） （c ） 2 （d ） 4

解：（代入法）f(x＋) ＝sin[－2(x＋)]＋sin[2(x＋)]＝－f(x)，而

f(x＋π) ＝sin[－2(x＋π)]＋sin[2(x＋π)]＝f(x).所以应选b ；

另解：（直接法）y ＝cos2x －sin2x ＋sin2x ＝sin(2x＋) ，t ＝π，选b.

例11．函数y ＝sin （2x ＋）的图象的一条对称轴的方程是（ ）

（a ）x ＝－ （b ）x ＝－ （c ）x ＝ （d ）x ＝

解：（代入法）把选择支逐次代入，当x ＝－时，y ＝－1，可见x ＝－是对称轴，又因为统一前提规定" 只有一项是符合要求的" ，故选a.

另解：（直接法） ∵函数y ＝sin （2x ＋）的图象的对称轴方程为2x ＋＝k π＋，即 x ＝－π，当k ＝1时，x ＝－，选a.

代入法适应于题设复杂，结论简单的选择题。若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度。

5、图解法：

据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断. 习惯上也叫数形结合法.

例12．在内，使成立的的取值范围是（ ）

（a ） （b ）

（c ） （d ）

解：（图解法）在同一直角坐标系中分别作出y ＝sinx 与y ＝cosx 的图象，便可观察选c. 另解：（直接法）由得sin （x －）＞0，即2 kπ＜x －＜2k π＋π，取k ＝0即知选c. 例13．在圆x ＋y ＝4上与直线4x ＋3y －12=0距离最小的点的坐标是（ ）

（a ）（，） （b ）(，－)

（c ）(－，) （d ）(－，－)

解：（图解法）在同一直角坐标系中作出圆x ＋y ＝4和直线4x ＋3y －12=0后，由图可知距离最小的点在第一象限内，所以选a.

直接法先求得过原点的垂线，再与已知直线相交而得.

例14．设函数 ，若，则的取值范围是（ ）

（a ）（，1） （b ）（，）

（c ）（，）（0，） （d ）（，）（1，）

解：（图解法）在同一直角坐标系中，作出函数

和（1，1）两点，由，得或.

而是一种数形结合的解题策略. 但它在解有关选择题时

非常简便有效. 不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择. 如：

例15．函数y=|x2-1|+1的图象与函数y=2 x的图象交点的个数为（ ）

（a ）1 （b ）2 （c ）3 （d ）4

本题如果图象画得不准确，很容易误选（b ）；答案为（c ）。

6、割补法

例16．一个四面体的所有棱长都为，

四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

解：如图，将正四面体abcd 补形成正方体，则正四面体、正方体的中

心与其外接球的球心共一点. 因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，

从而外接球半径r ＝. 故s 球＝3.

直接法（略）

我们在初中学习平面几何时，经常用到" 割补法" ，在立体几何推导锥体的体积公式时又一次用到了" 割补法" ，这些蕴涵在课本上的方法当然是各类考试的重点内容. 因此，当我们遇到不规则的几何图形或几何体时，自然要想到" 割补法".

7、极限法:

从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变. 应用极限思想解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低解题难度，优化解题过程.

例17．对任意θ∈（0，）都有（ ）

（a ）sin(sinθ) ＜cos θ＜cos(cosθ) （b ） sin(sinθ) ＞cos θ＞cos(cosθ) （c ）sin(cosθ) ＜cos(sinθ) ＜cos θ （d ） sin(cosθ) ＜cos θ＜cos(sinθ) 解：当θ0时，sin(sinθ)0，cos θ1，cos(cosθ)cos1，故排除a ，b.

当θ时，cos(sinθ)cos1，cos θ0，故排除c ，因此选d.

例18．不等式组的解集是（ ）

（a ）（0，2） （b ）（0，2.5） （c ）（0，） （d ）（0，3）

解：不等式的" 极限" 即方程，则只需验证x=2，2.5，和3哪个为方程的根，逐一代入，选c. 例19．在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ）

（a ）（π，π） （b ）（π，π）

（c ）（0，） （d ）（π，π）

解：当正n 棱锥的顶点无限趋近于底面正多边形中心时，则底面正多边形便为极限状态，此时棱锥相邻两侧面所成二面角α→π，且小于π；当棱锥高无限大时，正n 棱柱便又是另一极限状态，此时α→π，且大于π，故选（a ）.

用极限法是解选择题的一种有效方法. 它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小选择面，迅速找到答案。