抽象函数奇偶性判断练习
抽象函数奇偶性判断练习
一、选择题
1.定义在R上的函数f(x)满足:对任意的α,β∈R,总有f(α+β)-[f(α)+f(β)]=2011,则下列说法正确的是( )
A.f(x)-1是奇函数 B.f(x)+1是奇函数C.f(x)+2011是奇函数 D.f(x)-2011是奇函数 解:取α=β=0,得f(0)=-2011,取α=x,β=-x,f(0)-f(x)-f(-x)=2011⇒f(-x)+2011=-[f(x)-f(0)]=[f(x)+2011]故函数f(x)+2011是奇函数.故选:C.
2.(2008•重庆)若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是( )
A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数
解:∵对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,∴令x1=x2=0,得f(0)=-1
∴令x1=x,x2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+1,∴f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1],
∴f(x)+1为奇函数.故选C
3.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R,f(x)满足关系式:f(a•b)=bf(a)+af(b),则f(x)的奇偶性为( )
A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数 D.既是奇函数也是偶函数
解:令a=b=1则f(1)=2f(1)则f(1)=0令a=b=-1,则f(1)=-2f(-1)=0∴f(-1)=0
令a=x,b=-1,则f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x)则f(x)为奇函数.故选A
4.若定义在R上的函数f(x)满足对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2,则下列说法一定正确的是( )
A.f(x)是奇函数 B.f(x)是偶函数C.f(x)+2是奇函数 D.f(x)+2是偶函数
解:∵对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2,
∴令x1=x2=0,得f(0)=-2∴令x1=x,x2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+2,
∴f(x)+2=-f(-x)-2=-[f(-x)+2],∴f(x)+2为奇函数.故选C
二、填空题
5. 定义在R上的函数f(x),当x∈[-1,1]时,f(x)=x2+x,且对任意x,满足f(x-3)=2f(x),则f(x)在区间[5,7]上的值域是[-1/16 ,1 /2 ]
解:因为;f(x-3)=2f(x),∴f(x-6)=2f(x-3)=4f(x),∴f(x)=1/ 4 f(x-6),
x∈[5,7]⇒x-6⇒[-1,1];∵当x∈[-1,1]时,f(x)=x2+x=(x+1 /2 )2-1/ 4 ∴x=-1/ 2 时,ymin=-1/ 4 ,x=1时,ymax=2.故当x∈[-1,1]时,f(x)∈[-1 /4 ,2].∴x∈[5,7]
∴f(x)=1/ 4 f(x-6)∈[-1/ 16 ,1/ 2 ].故答案为:[-1/ 16 ,1 /2 ].
三、解答题
6.定义在R上的函数f(x)满足对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),求证:f(x)为奇函数. 证明:令x=y=0,代入f(x+y)=f(x)+f(y)式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0.
令y=-x,代入f(x+y)=f(x)+f(y),得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,则有
0=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,所以f(x)是奇函数.