顶角是20度的等腰三角形问题
顶角是20度的等腰三角形问题
问题A :△ABC 中,D 在AB 上,∠A=20度,AB=AC,AD=BC,求∠BDC 的度数
解1:以AB 为一边,在AB 内侧做正三角形ABF ,连结CF 。得∠FBC=80°-60°=20°后,用两边夹角可证明△ADC ≌△BCF ,得∠CFB=∠DCA 。由CAF=40°得∠AFC=70°,而∠AFB=60°,故∠CFB=10°。所以∠BDC=20°+10°=30°。
解2:用正弦定理:如图,在AB 上取一点E 使BE =BC ,连结CE ,
∠A =20°,∠B =80°,∠BCE =50°,∠ACE =30°
设∠BDC =α 则∠BCD =100°-α
在△ACE 中,CE/AE=sin20°/sin30° (1)
在△BCD 中,BD/BC=sin(100°-α)/sinα (2)
在△BCE 中,BC/CE=sin50°/sin80° (3)
注意到AE =BD 有(1)×(2)×(3)得:左=1
∴右=1 即得,
sin20°sin(100°-α)sin50°=sin30°sin80°sin α
由sin30°=1/2, sin80°=2 sin40°cos40°及正余弦转化公式
化为:sin20°cos(10°-α)cos40°=sin40°cos40°sin α
再用半角公式得
∴cos(10°-α) =2cos20°sin α
得锐角α=30°
问题B :△ABC 中,E 在AB 上, D 在AC 上,AB=AC,AE=ED=DB=BC,求∠A 的度数
。此题为证明角A 等于20度较好。
解1:设AE=a,∠BAC=α,∠ABC=β,则α+2β=180°。过E 做DB 的平行线交BC 于F ,过B 做DE 平行线交EF 于G ,连接GC 。邻边都为a 的平行四边形DBGE 是菱形。用两边夹角可得△ADE ≌△ECG 。GC=a,BGC 是正三角形。∠DEG 等于2×0.5α。∠BGC=α+2α=60, α=20°
解2:设AE=a,∠A=α,∠B=β,则α+2β=180°。做CF 使△ABE ≌△FB C ,FC 与AB 交于H ,则CHB=β,过A 做线段较FH 于G ,使∠GAB=α。由∠AHG=β得∠AGH=β,AG=AH。△AGB ≌△AH C ,得∠AGB=180°-β=α+β,得∠BGH=α,得GC=AD,得FG=GB。∠FGA=180°-β=α+β。△AFG ≌△AB G 。得△AFC 是等边三角形。∠FAC=3α=60°。得α=20°