2017九年级数学正弦余弦函数的性质3.doc
4-1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)
教学目的:
知识目标:要求学生能理解周期函数,周期函数的周期和最小正周期的定义;
能力目标:掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最小正周期。
德育目标:让学生自己根据函数图像而导出周期性,领会从特殊推广到一般的数学思
想,体会三角函数图像所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。
教学重点:正、余弦函数的周期性
教学难点:正、余弦函数周期性的理解与应用 授课类型:新授课
教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.问题:(1)今天是星期二,则过了七天是星期几?过了十四天呢?„„
(2)物理中的单摆振动、圆周运动,质点运动的规律如何呢?
2
– 1
x
-ππ5 -2 π -5
- O
22
-1–
正弦函数f (x ) =sin x 性质如下:
(观察图象) 1︒正弦函数的图象是有规律不断重复出现的;
2︒规律是:每隔2π重复出现一次(或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现) 3︒这个规律由诱导公式sin(2kπ+x)=sinx可以说明 结论:象这样一种函数叫做周期函数。
文字语言:正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得;
符号语言:当x 增加2k π(k ∈Z )时,总f (x +2k π) =sin(x +2k π) =sin x =f (x ) .
有
也即:(1)当自变量x 增加2k π时,正弦函数的值又重复出现; (2)对于定义域内的任意x ,sin(x +2k π) =sin x 恒成立。 余弦函数也具有同样的性质,这种性质我们就称之为周期性。 二、讲解新课:
1.周期函数定义:对于函数f (x ) ,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有:f (x +T)=f (x ) 那么函数f (x ) 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期。
问题:(1)对于函数y =sin x ,x ∈R 有sin(
2ππ2π
) =sin ,能否说是它的周期?
6363
(2)正弦函数y =sin x ,x ∈R 是不是周期函数,如果是,周期是多少?(2k π,k ∈Z 且k ≠0)
*
(3)若函数f (x ) 的周期为T ,则kT ,k ∈Z 也是f (x ) 的周期吗?为什么? (是,其原因为:f (x ) =f (x +T ) =f (x +2T ) = =f (x +kT ) )
+
π
2、说明:1︒周期函数x ∈定义域M ,则必有x+T∈M, 且若T>0则定义域无上界;T
2︒“每一个值”只要有一个反例,则f (x ) 就不为周期函数(如f (x 0+t)≠f (x 0) ) 3︒T 往往是多值的(如y=sinx 2π,4π, „,-2π,-4π, „都是周期)周期T 中最
小的正数叫做f (x ) 的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期) y=sinx, y=cosx的最小正周期为2π (一般称为周期)
从图象上可以看出y =sin x ,x ∈R ;y =cos x ,x ∈R 的最小正周期为2π; 判断:是不是所有的周期函数都有最小正周期? (f (x ) =c 没有最小正周期)
3、例题讲解
例1 求下列三角函数的周期: ①y =3cos x ②y =sin 2x (3)y =2sin(x -
12
π
6
) ,
x ∈R .
解:(1)∵3cos(x +2π) =3cos x ,
∴自变量x 只要并且至少要增加到x +2π,函数y =3cos x ,x ∈R 的值才能重复出现,
所以,函数y =3cos x ,x ∈R 的周期是2π.
(2)∵sin(2x +2π) =sin 2(x +π) =sin 2x ,
x ∈R 的值才能重复出现,∴自变量x 只要并且至少要增加到x +π,函数y =sin 2x ,
所以,函数y =sin 2x ,x ∈R 的周期是π. (3)∵2sin(x -
1π1π
+2π) =2sin[(x +π) -]=2sin(x -) , 62626
∴自变量x 只要并且至少要增加到x +π,函数y =sin 2x ,x ∈R 的值才能重复出
12
所以,函数y =sin 2x ,x ∈R 的周期是π.
π
现,
说明:(1)一般结论:函数y =A sin(ωx +ϕ) 及函数y =A cos(ωx +ϕ) ,x ∈R (其中
A , ω, ϕ 为常数,且A ≠0,ω>0)的周期T =
1π
x -) ,x ∈R . 26
2π
ω
;
(2)若ω
则这三个函数的周期又是什么?
一般结论:函数y =A sin(ωx +ϕ) 及函数y =A cos(ωx +ϕ) ,x ∈R 的周期T =例2先化简,再求函数的周期
2π
|ω|
①y =sin x +cos x
②y =cos 2x +2cos x sin x -sin 2x ③证明函数f (x ) =|sin x |+|cos x |的一个周期为
π
,并求函数的值域; 2
例3 求下列三角函数的周期:
x ππ
1︒ y=sin(x+) 2︒ y=cos2x 3︒ y=3sin(+)
253
π
解:1︒ 令z= x+ 而 sin(2π+z)=sinz 即:f (2π+z)=f (z)
3
ππ
f [(x+2) π+ ]=f (x+) ∴周期T=2π
33
2︒令z=2x ∴f (x )=cos2x=cosz=cos(z+2π)=cos(2x+2π)=cos[2(x+π)]
即:f (x +π)=f (x ) ∴T=π x πx π
3︒令z=+ 则:f (x )=3sinz=3sin(z+2π)=3sin(++2π)
2525
x +4ππ
=3sin(+)=f (x +4π) ∴T=4π
25
2π
小结:形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω, φ为常数,A ≠0, x∈R) 周期T=
ω
y=Acos(ωx+φ) 也可同法求之
ππ
例4 求下列函数的周期: 1︒y=sin(2x+)+2cos(3x-)
46
2
2︒ y=|sinx| 3︒ y=2sinxcosx+2cosx-1
π
解:1︒ y1=sin(2x+) 最小正周期T 1=π
4π2π
y2=2cos(3x-) 最小正周期 T2=
63
∴T 为T 1 ,T2的最小公倍数2π ∴T=2π
2︒
3︒ y=3sin2x+cos2x ∴T=π 三、巩固与练习
πx π
1. y=2cos(+)-3sin(x -)
443
ππ
2. y=-cos(3x+)+sin(4x-)
23π
3. y=|sin(2x+)|
6
θθ2θsin +1-2sin 222
四、小 结:本节课学习了以下内容: 周期函数的定义,周期,最小正周期
五、课后作业:P56 练习5、6 P58习题4.8 3
补充:
1.求下列函数的周期:
ππ
1︒y=sin(2x+)+2cos(3x-) 2︒ y=|sinx| 3︒ y=2sinxcosx+2cos2x-1
46
π3-cos x
2. 求下列函数的最值: 1︒ y=sin(3x+)-1 2︒ y=sin2x-4sinx+5 3︒ y=
43+cos x
3.函数y=ksinx+b的最大值为2, 最小值为-4,求k,b 的值。
七、课后反思: 题选
求下列函数的周期:
4. y=cos
3x x 3x x cos +sin sin ;
322222
x 2x -sin 2; (5)y =cos 2x . (3)y =sin x +cos x ; (4)y =cos
22
2π
解:(1)T ==4,∴周期为4;
|-|23x x 3x x 3x x
cos +sin sin =cos(-) =cos x ,∴周期为2π; (2)y =cos 222222
(1)y =sin(
π
-
π
x ) ; (2)y =cos
(3)y =cos x -sin x =(4)y =sin
2
-x ) ∴周期为2π;
4
π
x x
-cos 2=-cos x ,∴周期为2π; 22
1112
(5)y =cos x =(1-cos 2x ) =-cos 2x +,∴周期为π.
222
说明:求函数周期的一般方法是:先将函数转化为y =A sin(ωx +ϕ) 的形式,再利用公式
2πT =进行求解。
ω
4-1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)
教学目的:
知识目标:要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性;
能力目标:掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断,并能求出正、余弦函数的单调区间。 德育目标:激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情操,培养学生坚忍不拔
的意志, 实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
教学重点:正、余弦函数的奇、偶性和单调性;
教学难点:正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用 授课类型:新授课
教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入:
二、讲解新课:
1. 奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形,说出函数图象有怎样的对称性?其特点是什么?
(1)余弦函数的图形
当自变量取一对相反数时,函数y 取同一值。 例如:
f (-
π1π1ππ
)=, f ()= ,即f (-)=f () ;„„ 323233
由于cos(-x)=cosx ∴f (-x)= f(x).
以上情况反映在图象上就是:如果点(x,y )是函数y=cosx的图象上的任一点, 那么,
与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上,这时,我们说函数y=cosx是偶函数。
定义:一般地,如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x ,都有f (-x)= f(x),那么函数f (x)就叫做偶函数。
例如:函数f (x)=x+1, f(x)=x-2等都是偶函数。
(2)正弦函数的图形
观察函数y=sinx的图象,当自变量取一对相反数时,它们对应的函数值有什么关系? 这个事实反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢?函数的图象关于原点对称。
也就是说,如果点(x,y )是函数y=sinx的图象上任一点,那么与它关于原点对称的点(-x,-y )也在函数y=sinx的图象上,这时,我们说函数y=sinx是奇函数。
定义:一般地,如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x ,都有 f(-x)=-f(x) ,那么函数f (x)就叫做奇函数。
例如:函数y=x, y=
2
4
1
都是奇函数。 x
如果函数f (x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f (x)具有奇偶性。 注意:从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数: (1)其定义域关于原点对称;
(2)f (-x)= f(x)或f (-x)=- f(x)必有一成立。因此,判断某一函数的奇偶性时。 首先看其定义域是否关于原点对称,若对称,再计算f (-x),看是等于f (x)还是等于- f(x),然后下结论;若定义域关于原点不对称,则函数没有奇偶性。
2. 单调性
从y =sin x ,x ∈[-当x ∈[-
π3π
2, 2
]的图象上可看出:
ππ
,]时,曲线逐渐上升,sin x 的值由-1增大到1. 22π3π
当x ∈[,]时,曲线逐渐下降,sin x 的值由1减小到-1.
22
结合上述周期性可知:
ππ
+2k π,+2k π](k ∈Z ) 上都是增函数,其值从22π3π
-1增大到1;在每一个闭区间[+2k π,+2k π](k ∈Z ) 上都是减函数,其值从1
22
正弦函数在每一个闭区间[-
减小到-1.
余弦函数在每一个闭区间[(2k -1) π,2k π](k ∈Z ) 上都是增函数,其值从-1增加到1;在每一个闭区间[2k π,(2k +1) π](k ∈Z ) 上都是减函数,其值从1减小到-1.
3. 有关对称轴
观察正、余弦函数的图形,可知
y=sinx的对称轴为x=k π+
π
2
k∈Z
y=cosx的对称轴为x=k π k∈Z (1)写出函数y =3sin 2x 的对称轴; (2)y =sin(x +
π
4
) 的一条对称轴是( C )
(A) x轴, (B) y轴, (C) 直线x =4. 例题讲解
例1 判断下列函数的奇偶性 (1)f (x ) =
π
4
, (D) 直线x =-
π
4
1+sin x -cos x
;
1+sin x +cos x
4
4
(2)f(x)=sinx-cos x+cos2x;
(3)f (x ) =lg(sinx
lg(1-x 2)
(4)f (x ) =
|x -2|-22⎧ (x
(5)f (x ) =⎨; 2
⎪(x >0) ⎩-x +x
例2 (1)函数f (x ) =sin x 图象的对称轴是 ;对称中心是 .
(2)
函数f (x ) =x +cos x 图象的对称轴是 ;对称中心是 .
例3 已知f(x)=ax+bsin3x+1(a 、b 为常数) ,且f(5)=7, 求f(-5). 例4 已知已知f (x ) =log 1
1-sin x
.
1+sin x 2
(1) 求f(x)的定义域和值域;
(2) 判断它的奇偶性、周期性; (3) 判断f(x)的单调性.
例5 (1)θ是三角形的一个内角,且关于x 的函数f(x)=sain(x+θ)+cos(x-θ) 是偶函数,
求θ的值. (2)若函数f(x)=sin2x+bcos2x的图象关于直线x =-例6 已知f (x ) =log a (sin
2
π
8
对称,求b 的值.
x x
-sin 4)(a >0, a ≠1) ,试确定函数的奇偶性、单调性. 22
1. 有关奇偶性
(1)f (x ) =sin |x |+|sin x |
(2)(x ) =
1+sin x -cos x
1+sin x +cos x
有关单调性
(1)利用公式sin α-sin β=2cos
α+β
2
sin
α-β
2
,求证f (x ) =sin x 在[-
ππ
, ]上是
22
增函数;
(2)不通过求值,指出下列各式大于0还是小于0; ①sin(-
) ;
18102317
②cos(-π) -cos(-π)
54
(3)比较sin 1, sin 2, sin 3大小;sin(π-3)
(4)求函数y =2sin(3x +二、巩固与练习 练习讲评
(1)化简:2-sin 22+cos 4
π
) -sin(-
π
π
4
) 的单调递增区间;
5=tan 8π,求b 的值;
a 15a cos -b sin
55
(3)已知8sin α+10cos β=5, 8cos α+10sin β=
π
求值:(1)sin(α+β) ;(2)sin(+α)
3
(2)已知非零常数a , b 满足
a sin
π
5
+b cos
π
解:
(1)2-sin 22+cos 4
=2-sin 22+1-2sin 22=3(1-sin 22) =cos 22=3|cos 2|=-cos 2
(2)
a ππ8πsin +cos sin =a 8cos -sin cos b 5515
8ππ8ππ8ππsin cos -cos sin sin(-) a ==tan π=3⇒=
8ππ8ππ8ππb 3cos cos +sin sin -)
155155155
2
(3)两式平方相加得164+160sin(α+β) =100⇒sin(α+β) =;
5
10cos β=5-8sin α
10sin β=5-8cos α
两式平方相加得100=164-80sin α-cos α 即
132π2sin α+cos α=, ∴+α) = 22535
四、小 结:本节课学习了以下内容:
1. 2. 3.
五、课后作业:见教材 六、板书设计: