用运动的观点解决动点问题论文

用运动的观点解决动点问题

作者姓名：苏希华

单 位：冠县金太阳中学

用运动的观点解决动点问题

【摘要】函数动点问题，是以平面图形性质和函数性质为背景，渗透运动变化观点的一类问题，是近几年中考压轴题的一大亮点和热点。它以几何图形中的点运动、线运动、图形运动为主线，寻找运动变换过程中的不变量（关系）或者函数关系.此类问题，数形结合、动静结合，有较强的综合性和灵活性，较好地渗透了分类讨论、数形结合、转化等数学思想.本文从动态变换的角度，举例探讨几类问题的解题策略。

【关键词】函数动点 数形结合 分类讨论 动点型问题

函数动点问题是最近几年中考的一个热点题型，中考常将函数的动点问题作为压轴题出现，所谓“函数动点问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在函数图象上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题，结合已经学过的平面图形的性质，再根据已知条件找出动点的运动规律进行求解。

既然是动点，能否用运动的观点来解决呢？下面用几个例子来探究怎样用运动的观点解决此类问题。

例1、如图1，在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠OAB=90°，点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，对角线OB，AC相交于点M，OA=AB=4，OA=2CB．

（1）点C的坐标为_______；

（2）求△OCM的面积；

（3）若点E在过O，A，C三点的抛物线的对称轴上，

点F为该抛物线上的点，且以A，O，F，E四点为顶点 图1

的四边形为平行四边形，求点F的坐标．

分析：（1）做CD⊥x轴交点为D，易知C（2,4）

（2）根据三角形相似和面积公式：

∵AO=2CB，∴2S△CBO=S△AOB，

11

221∴S△CBO=12× =4，∵CB∥AO，∴△CMB∽△AMO， 2

CBBMCB1BM1==∴ = 图1-1 AOOMAO2OM2

228∴S△COM= S△COB= ×333∵S梯形ABCO= CB+AO）•AB= ×（2+4）×4=12，

（3）此问可以这样分类考虑，以A，O，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，在图中已经存在一条线段AO，分别以AO为对角线和一条边来考虑，当AO为对角线时，如下图1-2所示，此时点E、F为确定的点，可直接写出点F的坐标（2,4）；

F E E F 图1-2 图1-3.1 图1-3.2 若AO是一条边，为了满足F在抛物线上，可以保持点O或A物线上，线段OA沿抛物线向下平移，至另一端点落在对称轴上即可，如上图1-3.1,1-3.2两种情况。在平移后的位置中，点F的横坐标可以确定，分别为

-2和6，将两值带入抛物线表达式即可求得点F的坐标为（6，-12），（-2，-12 ）。

故点F的坐标有3个即：（6，-12），F1（-2，-12），F2（2，4）．

【解题策略】动点产生的平行四边形问题：一般已知两个点，其他两点具有条件限制，判断是否存在满足该条件并能够成平行四边形的点；或已知三个点，问是否存在第四个点使这四个点所构成的四边形为平行四边形．此时要先利用平行四边形的性质确定点的存在性，然后分情况讨论，再根据函数关系式设出未知点的坐标，根据具体已知条件求点的坐标．

例2、已知抛物线：y1=-x2+2x将抛物线y1向右 21

平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y2，

（1）求抛物线y2的解析式．

（2）如图1，抛物线y2的顶点为P，x轴上有一动点M， 图2

在y1、y2这两条抛物线上是否存在点N，使（原点）O、P、M、N四点构成

以OP为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：此例的（1）通过平移变换能够直接写出结果：y2=-x2+4x-5； 21

下面来看(2)的解法：

首先判断存在性，由平行四边形的性质对边平行且相等，可以将OP线段平移，使得该线段满足一个端点在抛物线上，平移的过程中如果另一个端点能落在x轴，则这样的点N存在即O点平移后的位置。结合图形可以得到四种情况，也就是存在4个这样的N点。（如图2）

2-1 2-2

2-3 2-4

图2

其次下面计算点N的坐标。

由题意可知O（0,0）、P（4,3），在线段OP平移的过程中，点P的纵坐标变化规律一定，和原坐标相比减小了3个单位，相应的O的纵坐标也减小了3个单位，即点N的纵坐标为-3，将-3分别带入y1、y2中，可计算出N的坐标。

N的坐标有4个：（

-3）；（

-3）；（

4--3）；（

4+-3）

【方法归纳】 在上例中，判断点N存在正是利用运动的观点来确定包含的四种情况，这种方法，画出图形，这一步很重要，因为随着点（线）的移动，与之相关的一些图形肯定随着改变，而且点（线）移动到不同的位置，我们要研究的图形可能会改变。所以，一定要画图，不能凭空想象。

通过以上两例，可以看出，如果用运动的观点这种方法来判断动点的存在性，会把平行四边形的性质用另一种方式直观的表述出来。并且可以考虑到多种情况，不容易漏解。

以上两例，只是函数动点存在性中的一种解题思路。这类问题需要从变换的角度和运动变化来研究，通过平移变换等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。以基本图形的性质为基础，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

参考文献：

1．马 复 凌晓牧 新版课程标准解析与教学指导 北京师范大学出版社 2012年6月

2. 潘红平 浅析几何动态性试题的解题策略 江西省吉安市永丰县龙冈中学