对数及对数函数知识点及习题
对数及对数函数
1.对数的概念
一般地,如果a x =N (a >0, a ≠1) ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数,记作:
x =log
a
N
其中:
a 是底数,N 是真数,log
a
N 是对数式
两个重要对数:
○
1 常用对数:以10为底的对数lg N ; ○
2 自然对数:以无理数e =2. 71828 为底的对数的对数ln N . 对数式与指数式的互化
log
a
N =x ⇔ a x
=N
对数式 ⇔ 指数式 对数底数 ← a → 幂底数
对数 ← x → 指数 真数
← N → 幂
对数的性质
(1)负数和零没有对数; (2)1的对数是零:log a 1=0; (3)底数的对数是1:log a
a =1; (4)对数恒等式:a
log
a
N
=N ;
(5)log
a
a
n
=n .
对数的运算法则:
log a (M N )=log a M +log a N (M ,N
∈R
+
)
log M a
N
=log a M -log a N
(M ,N
∈R
+
)
log n
+
n
a (N )
=n log a N
(
N ∈R
) log a
N =
1n
log a N
(N
∈R
+
)对数换底公式:
log log a N b N =
log a b
L n N =log e N (其中e =2. 71828…) 称为N 的自然对数 L g N =log 10N 称为常数对数
由换底公式推出一些常用的结论:
(1)log a b =
1log log a b ·log b a =1 (2)log a n b
m
=
m b a
或n
log a b
(3)log n
m
a n b =log a b (4)log a n
a
=
m n
对数函数
(一)对数函数的概念
1.定义:函数y =log
a
x (a >0,且a ≠1) 叫做对数函数其中x 是自变量,函数的定义
域是(0,+∞).
(二)对数函数的图象和性质
1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象 ○
(1) y =log
2
x (2) y =log
12
x
(3) y =log 3x (4) y =log
13
x
2 对数函数的性质:
○
一、选择题:1.
log 89log 23
的值是( )
32
A .
23
B .1 C . D .2
3
2.已知x =2+1,则lo g 4(x -x -6) 等于( )
A.
32
B.
54
C.0 D.
1
2
3.已知lg2=a ,lg3=b ,则
2a +b 1+a +b
lg 12lg 15
等于( )
A .
B .
a +2b 1+a +b
C .
2a +b 1-a +b
D .
a +2b 1-a +b
4. 函数y =log 1(2x -1) 的定义域为( )
2
A .(
12
,+∞) B .[1,+∞) C .(
12
,1] D .(-∞,1)
5. 已知f (e )=x ,则f (5)等于( )
6.设集合A ={x |x -1>0},B ={x |log
7.计算:log 2.56.25+lg
1100
1+log 23
+ln e +2=
x
A .e 5
B .5
e
C .ln5 D .log 5e
2
2
x >0|},则A ⋂B 等于( )
-1}
A .{x |x >1}
B .{x |x >0} C .{x |x
D .{x |x 1}
8.函数y =(log1x ) 2-log 1x 2+5 在 2≤x ≤4时的值域为 .
4
4
9.已知f (x )=x 2+(lga +2) x +lg b ,f (-1)=-2,当x ∈R 时f (x ) ≥2x 恒成立,求实数a 的值,并求此时f (x ) 的最小值?
10.已知函数f (x )=loga (a -a x ) 且a >1,
(1)求函数的定义域和值域;(2)讨论f (x ) 在其定义域上的单调性;
11.在对数函数y =log2x 的图象上(如图) ,有A 、B 、C 三点,它们的横坐标依次为a 、a +1、a +2,其中a ≥1,求△ABC 面积的最大值.