相似三角形精选提高训练题
相似三角形精选提高训练题
例1、已知∠ABC=90°,AB=2,BC=3,AD ∥BC ,P 为线段BD 上的动点,点Q 在射线AB 上,且满足
PQ AD
=(如图1所示). PC AB
(1)当AD=2,且点Q 与点B 重合时(如图2所示),求线段PC 的长; (2)在图中,联结AP .当AD =
3
,且点Q 在线段AB 上时,设点B 、Q 之间的距离为x ,2
S △APQ S △PBC
=y ,其中S △APQ 表示△APQ 的面积,S △PBC 表示△PBC 的面积,求y 关于x 的函
数解析式,并写出自变量得取值范围;
(3)当AD
A
Q B
B Q
图3
D
A
D
图1
C
(Q ) B
C
图2
例2、如图1,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AD ⊥BC 于点D ,点O 是AC 边上一点,连接BO 交AD 于F ,OE ⊥OB 交BC 边于点E . (1)求证:△ABF ∽△COE ;
OF AC
=2时,如图2,求的值;
OE AB
OF AC
=n 时,请直接写出(3)当O 为AC 边中点,的值.
OE AB
(2)当O 为AC 边中点,B
A
O
图1
C
A
O 图2
C
例3、已知∠AOB=90°,OM 是∠AOB 的平分线,按以下要求解答问题:
(1)将三角板的直角顶点P 在射线OM 上移动, 两直角边分别与边OA ,OB 交于点C ,D. ①在图甲中,证明:PC=PD;
②在图乙中,点G 是CD 与OP 的交点,且PG=
3
PD ,求△POD 与△PDG 的面积之比. 2
(2)将三角板的直角顶点P 在射线OM 上移动,一直角边与边OB 交于点D ,OD=1,另一直角边与直线OA ,直线OB 分别交于点C ,E ,使以P ,D ,E 为顶点的三角形与△OCD 相似,在图丙中作出图形,试求OP 的长.
A
C
M
A
C
M
A
M
O
图甲
O
图乙 (第25题)
D
O
图丙
例4、等腰△ABC ,AB=AC=8,∠BAC=120°,P 为BC 的中点,小慧拿着含30°角的透明三角板,使30°角的顶点落在点P ,三角板绕P 点旋转.
(1)如图a ,当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时.求证:△BPE ∽△CFP ; (2)操作:将三角板绕点P 旋转到图b 情形时,三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F .
① 探究1:△BPE 与△CFP 还相似吗?(只需写出结论) ② 探究2:连结EF ,△BPE 与△PFE 是否相似?请说明理由; ③ 设EF=m,△EPF 的面积为S ,试用m 的代数式表示S .
B
P
C
B
P
例5、如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的两边分别在x 轴和y
轴上,OA = cm , OC=8cm ,现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发,P 在线段OA 上沿OA
cm 的速度匀速运动,Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动.设运动时间为t 秒.
(1)用t 的式子表示△OPQ 的面积S ;
(2)求证:四边形OPBQ 的面积是一个定值,并求出这个定值;
1
(3)当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时,抛物线y =x 2+bx +c 经过B 、P 两点,过线段
4
BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ,当线段MN 的长取最大值时,求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比.
例6、如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD =6cm ,CD =4cm ,BC =BD =10cm ,点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动,速度为1cm/s,交BD 于Q ,连接PE .若设运动时间为t (s )(0
(2)设△PEQ 的面积为y (cm 2),求y 与t 之间的函数关系式;
(3)连接PF ,在上述运动过程中,五边形PFCDE 的面积是否发生变化?说明理由.
针对性练习
1. 如图,大正方形中有2个小正方形,如果它们的面积分别是S 1、S 2 ,那么S 1、S 2的大小关系是( )
(A) S 1 > S 2 (B) S 1 = S 2 (C) S 1
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2. 如图,在正三角形ABC 中,D ,E ,F 分别是BC ,AC ,AB 上的点,DE ⊥AC ,EF ⊥AB ,FD ⊥BC ,则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于( )
A .1∶3
B .2∶3
C
2
D
3
3. 一张等腰三角形纸片,底边长l5cm ,底边上的高长22.5cm .现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条,如图所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形,则这张正方形纸条是( )
A .第4张 B.第5张 C.第6张 D.第7张
4. 如图,点M 是△ABC 内一点,过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边,所形成的三个小三角形△1、△2、△3(图中阴影部分)的面积分别是4,9和49.则△ABC 的面积是 .
5. 已知三个边长分别为2,3,5的正方形如图排列,则图中阴影部分的面积是 . 6. 如图,AB ∥DC ,M 和N 分别是AD 和BC 的中点,如果四边形ABCD 的面积为24cm 2, 那么S ∆Q PO -S ∆CD O =第5题图
7. 如图,三角形ABC 的面积为1,BD :DC=2:1,E 是AC 的中点,AD 与BE 相交于点P ,那么四边形PDCE 的面积为 .
8. 如图,点A 1,A 2,A 3,A 4在射线OA 上,点B 1,B 2,B 3在射线OB 上,且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3,A 2B 1∥A 3B 2∥A 3B 3.若△A 2B 1B 2,△A 3B 2B 3的面积分别为1,4,则图中三个阴影三角形面积之和为 .
9. 已知:在等腰梯形 ABCD 中,AD ∥BC ,直线MN 是梯形的对称轴,P 是MN 上的一点.直线BP 交直线DC 于F ,交CE 于E ,且CE ∥AB .
(1)若点P 在梯形的内部,如图①.求证:BP =PE ·PF ;
(2)若点P 在梯形的外部,如图②,那么(1)的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
2
10. 如图,已知:
AB AC BC
==,求证:AB ⋅CE =AC ⋅BD .
AD AE DE
C
11. 已知,如图,梯形 ABCD 中,AB ∥DC ,梯形外一点 P ,连结 PA 、PB 分别交 DC 于 F 、G ,且 DF = FG,对角线 BD 交 AF 于 E ,求证:AP ∶PF = AE∶EF.
D
G
C
A
B
12. 如图△ABC 中,边BC=60,高AD=40,EFGH 是内接矩形,HG 交AD 于P ,设HE=x,⑴求矩形EFGH 的周长y 与x 的函数关系式;⑵求矩形EFGH 的面积S 与x 的函数关系式.
B
F