公约数和公倍数

【数学故事】 零国王勇战食数兽

一天，数字王国突然闯进来一个三只脚的怪兽，吓得数字公民纷纷逃走。怪兽张开血盆大口，一口吞下数24，接着它又吞吃了44。数5吓得脚软，奇怪的是，怪兽看也没看它一眼。

零国王见到数字公民逐渐减少，心里非常着急，连夜让1大臣派6、2、34、100去迎战。食数兽正在洞中做美梦，忽然被吵醒，他气坏了，一脚把4个数踢倒在地。忽然，它眼睛一亮，看见了躺在地上的100。“太好了，这100才是我的美餐。”说着，就一口吃了100。狼狈归来的6、2、34向0国王讲述了100的遭遇，零国王陷入了沉思。

第二天，1大臣进宫与国王探讨对策。国王说：“看来，这怪兽似乎并不是什么数都吃。它是不是专吃末位有0的数？”1大臣思索了一会儿说：“不，它吃过24、44呀！”“那它专吃末位是4的数？” “那它怎么不吃34，偏吃了100呢？”1大臣想出了一个好主意：“让魔术师60去挑战！”60来到怪兽跟前，怪兽流着口水，直扑向60。60摇身变成了两个自己的约数20和3。怪兽扑向20，把3丢在一边。60又赶紧变成了12和5，食数兽又向12冲去，最后60又变成了30和2，怪兽一看都不中意，扫兴而离去。60平安地回到王宫，把自己用魔法探测到的结果告诉国王：“食数兽只有3只脚，所以要吃含有公约数4的数，这样它的第4只脚就会渐渐长出来。”国王恍然大悟。“如果食数兽肚子里含有约数4的数都没有，那它就会消失。”魔术师60接着说。

0国王灵机一动，它要亲自迎战食数兽。0国王与食数兽战了三四个回合，突然拽住食数兽头上的尖角，敏捷地跳进怪兽的嘴里欲往它肚子里钻。怪兽挣扎着尖叫道：“快走开呀！我才不要吃你这零鸭蛋国王呢！你给我出来！”零国王却不听：“我偏要你吃下去。”怪兽拼命想把0国王吐出来，0国王牢牢抓住了食数兽的舌头不放，乘着怪兽吸气的当口，一下子钻进怪兽肚子里。一旁的1、99等大臣目睹了这场恶战，吓得心惊胆战，1大臣抽泣着：“我们失去了一个优秀的国王。”突然，奇迹出现了。只见食数兽脸上痛苦的表情，不一会便惨叫一声，消失的无影无踪了。

大臣们正纳闷，只见0国王带着所有被吞食的数字公民走了出来。1大臣忙问：“国王，食数兽为什么会消失呢？”0国王笑着说：“我进了它的肚子，就与所有数一一相乘，食数兽肚子里全是0，支撑它活命含有约数4的数一个都没有，它就消失了。”众数齐呼国王万岁，从此，数字王国更加繁荣兴旺，因为他们有个英勇机智的好国王！

第一讲 最大公约数和最小公倍数

【核心观点】

1. 整数a 能被整数b (b 0) 整除，称a 是b 的倍数，b 是a 的约数. 记作：b |a .

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数. 公约数的个数是有限的，其中最大的一个叫做

这几个数的最大公约数. 随心家教

张老师简介：中国农业大学 教育学 2004年入读 数学金牌教师，曾在多家大型教育机构担任数学部主管及数学带头教师。从2009年开始从事清华龙校，101中学，十一学校，北大

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张老师博客：http://blog.sina.com.cn/u/2165634987 上门家教，免费试听，一对一，一对二，一对多

若a 1, a 2, , a n 这几个数的最大公约数是d ，可记做： (a 1, a 2, , a n ) =d

2. 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数. 公倍数的个数是无限的，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数.

若a 1, a 2, , a n 这几个数的最小公倍数是m ，可记做：[a 1, a 2, , a n ]=m

3. 求最大公约数与最小公倍数的常见方法：列举法，短除法，分解质因数法。

【典型问题】

【问题1】有两根铁丝，一根长54米，一根长36米，现在要把它截成同样长的小段，每段最长是多少米？每段最长时，一共可以截多少段？ 【解析】

【问题2】学校将40支彩色笔和45本笔记本平均将给优秀学生，结果彩色笔多出4支，笔记本少3本。求评出的优秀学生最多有几人？ 【解析】

【问题3】一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它切成同样大的正方形，并使它的面积尽可能大，且没有剩余，正方形的边长最长是多少厘米？正方形的边长最长时，能截多

少个正方形？ 【解析】

【问题4】把两个自然数A 和B 分解质因数得：A ＝2×5×M，B ＝5×7×M，如果A 和B 的最小公倍数是210，那么M 是( )，最大公约数是( ) 【解析】

【问题5】用质因数分解求2520,14850,819的最大公约数与最小公倍数. 【解析】

【问题6】用短除法求42, 168，252的最大公约数与最小公倍数. 【解析】

【问题7】你能将25、26、39、45、65、66、77、91八个数平均分成两组，使每组四个数的乘积相等吗？若能，举出一种符合要求的分组。 【解析】

【问题8】培训学校给优秀学员发放奖品。奖品共有本297个，笔383枝。将这些奖品等分给若干个优秀学员，最后多出3个本和5枝笔。已知每个学员得到的本和笔的总数不超过20，那么优秀学员有 【解析】

【问题9】公共汽车站有三路汽车通往不同的地方，第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车后，最小过多少分钟再同时发车？ 【解析】

【问题10】学校运用队分别按4人、5人、6人分组，结果都多出2人，运动员至少有多少人？ 【解析】

【问题11】一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，那么这个数是多少？ 【解析】

【问题12】甲每13天去公园一次，乙每15天去公园一次. 今年甲在3月30日曾去公园，乙在4月1日曾去公园，他们可能在这公园第一次相遇的日期将是几月几日？

分析：已知甲每13天去公园一次，乙每15天去公园一次，相差的天数是2.. 根据题意，甲3月30日曾去公园，乙4月1日曾去公园，正好相差两天，由此可以假设甲、乙在3月17日这天同时去了公园，问题转化成：“已知甲、乙在3月17日曾在公园相遇，求他们可能再次在公园相遇的日期”。 【解析】

【问题13】有两个100以内的两位数，这两个两位数的最大公约数是16，这两个数分别是多少？ 【解析】

【问题14】三个连续的自然数的最小公倍数是9828，这三个自然数的和是多少？ 【解析】

【问题15】两个数的和是70，它们的最大公约数是7，求这两个数的差是多少？ 【解析】

【问题16】在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是多少？ 【解析】

【问题17】有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米，已知操场跑道每周长400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人可以相聚？ 【解析】

【问题18】已知两个自然数的差为2，它们的最小公倍数与最大公约数之差为142，求这两个自然数. 【解析】

【问题19】两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差 【解析】

【问题20】已知两个自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求这两个自然数各是多少？ 【解析】

【问题21】在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木根等分成10等分，第二种刻度线把木棍等分成12等份，第三种刻度线把木棍等分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？ 【解析】

【试试看】 1． 已知a =440, b =126, c =825，求(a , b , c ) 和[a , b , c ].

2． 写出三个小于10的自然数，使它们三个数中有两个数的最大公约数为1，其余的最大

公约数大于1.

3． 甲数为24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公约数为4，乙数是多少？

4． 现有4个自然数，它们的和是1111，如果要求这4个数的公约数尽可能地大，那么这4

个数的最大公约数是多少？

5． 设A , B 两个数都只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知A 有12个约数，

B 有10个约数，那么A 、B 两数的和等于多少？

6． 已知两个自然数的差为3，它们的最大公约数与最小公倍数之积为180，求这两个自然

数.

7． 写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但其中任两数都不互质.

8． 所有形如abcabc 的六位数，它们的最大公约数是多少？

9． 两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差是多少？

10． 动物园的饲养员给三群猴子分花生，每群猴子的数量不相等，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒，那么平均分给三群猴子，每只猴子可得多少粒花生？

参考答案：