相交线与平行线中的解题思路
相交线与平行线中的数学思想
郑坤苓
同学们，在“相交线与平行线”这一章里，包含着很多数学思想方法，大家注意到了吗？下面我们就来归纳一下。
1、方程思想
几何中常有一些求线段的长度或求角的大小的问题，对于这一类问题，我们可以借助题中的已知量与未知量之间的关系，想办法建立方程进行求解。
例1 如图1，已知FC//AB//DE，∠α：∠D ：∠B=2：3：4，求∠α、∠D 、∠B 的大小。
图1
分析：由已知∠α：∠D ：∠B=2：3：4，可以分别设∠α、∠D 、∠B 为2x °、3x °、4x °，再利用已知条件列出方程进行求解。
解：设∠α=2x°，∠D=3x°，∠B=4x°
因为FC//AB//DE，所以∠2+∠B=180°，∠1+∠D=180°。从而有∠2=180°－∠B=180°－4x °，∠1=180°－∠D=180°－3x °。
又因为∠1+∠2+∠α=180°，所以有
（180－3x ）+（180－4x ）+2x=180
解得x=36
所以∠α=2x°=72°，∠D ＝3x °＝108°，∠B=4x°＝144°
评注：解决这类问题，不仅要熟悉图形的性质，还要善于进行等量代换，把未知量和已知量逐步联系起来．当解决问题的过程比较复杂时，思路要清晰，语言表达要严密．
2、转化思想
在几何推理中，已知条件和要求的结论之间常常需要转化．转化条件、转化问题是常用的推理形式，必要时还要添加辅助线进行转化．
例2、如图2，BD ⊥AC 于D ，FG ⊥AC 于G ，ED//BC．试判断∠1与∠2的关系，并说明理由．
图2
分析：观察图形，我们不能迅速找到∠1和∠2的关系，但由BD ⊥AC 于D ，FG ⊥AC 于G ，可得BD//FG，则∠2＝∠3。由ED//BC，可得∠1＝∠3．∠1和∠2都与∠3有关，我们可以借助∠3进行转化．
解：因为BD ⊥AC ，FG ⊥AC ，所以∠BDC=∠FGC ＝90°．故BD//FG，从而可知∠2＝∠3．
因为ED//BC，所以∠1＝∠3．
故∠1＝∠2．
评注：这道题涉及“相交线与平行线”这一章中的重要知识点，大家要能灵活运用平行线的性质、判定定理．要看准“三线八角”，分清平行线的判定与性质，并能通过图形将条件灵活转化．
例3 如图3，一条公路GA 修到湖边时，要拐弯绕湖而过．第一次拐弯形成的角是∠A ，且∠A ＝120°；第二次拐弯形成的角是∠ABC ，且∠ABC=150°；第三次拐弯形成的角是∠C ，这时的道路CD 恰好和第一次拐弯之前的道路GA 平行．你知道∠C 是多少度吗？
图3
分析：解答此题需要借助辅助线把这三个角联系起来．既然题目中有平行关系，那么我们就要想办法把平行线和角联系起来．
解：如图3，过点B 作EF//GA，则∠1＝∠A ＝120°．
因为∠ABC=150°，所以∠2＝∠ABC －∠1=150°－120°＝30°．
因为GA//CD，EF//GA，所以EF//CD．
故∠2＋∠C ＝180°．
从而可得∠C=180°－∠2=180°－30°=150°
评注：在解题的过程中，有时仅利用现有条件不容易得出结果，这时我们就要巧妙添加辅助线，将问题与条件进行转化。
3、分类讨论思想
在几何题中，有些题目未给出图形，这时我们就要结合题意画出图形，再解决问题。这一过程常具有多样性，我们需要分类讨论。
例4 在∠ABC 和∠DEF 中，DE//AB，EF//BC，请你尝试探索∠ABC 和∠DEF 的关系。
分析：这道题的图形有很多种不同的画法，但题中的两个角的关系只有两种，如图4（1）和图4（2）。
解：如图4，有两种不同的情况。
在图4（1）中，因为DE//AB、EF//BC，所以∠ABC=∠1，∠1=∠DEF 。故∠ABC=∠DEF 。
在图4（2）中，因为DE//AB，所以∠ABC+∠1=180°。又因为EF//BC，所以∠1=∠DEF 。故∠ABC+∠DEF=180°。
评注：题中没有给出图形，我们画图时要考虑可能存在的所有情况，以免漏解。