导数求导定积分公式
圆梦教育中心导数和积分知识点总结
一、导数:
①C '=0; x )'=nx ; ( ② ③(sinx ) '=cos x ; ④(cosx ) '=-sin x ; n n -1
x x x x ''(e ) =e ; (a ) =a ln a ; ⑤⑥ ⑦(ln x )'=1
x ; ⑧(l o g a x )'=1log a e x .
' ' ' u ±v ) =u ±v . (
(uv ) ' =u ' v +uv ' .
(Cu ) ' =Cu ' .
⎛u ⎫u ' v -uv ' ⎪⎝v ⎭‘=v 2(v ≠0)。
1、单调区间:一般地,设函数y =
如果
如果f ' (x ) >0,则f (x ) 为增函数; f ' (x )
如果在某区间内恒有
2.极点与极值: f ' (x ) =0,则f (x ) 为常数;
曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;
3.最值:
一般地,在区间[a,b]上连续的函数f (x ) 在[a,b]上必有最大值与最小值。 ①求函数ƒ(x ) 在(a,b) 内的极值;
②求函数ƒ(x ) 在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b);
③将函数ƒ (x ) 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。
二、定积分
(1)概念:设函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a =x0
b ⎰a 小区间长度),把n →∞即△x →0时,和式In 的极限叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作:
即⎰b
a f (x ) dx ,f (x ) dx =lim ∑f n →∞i =1n (ξi)△x 。
这里,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式。
基本的积分公式:
⎰0dx =C ;
1x m +1x dx ⎰=m +1+C (m ∈Q , m ≠-1); m
1⎰x dx =ln x +C ;
⎰e x dx =e +C ; x
x a x a ⎰dx =ln a +C ;
⎰cos xdx =sinx +C ;
⎰sin xdx =-cosx +C (表中C 均为常数)。
(2)定积分的性质
①⎰a b kf (x ) dx =k ⎰f (x ) dx a
b
a b (k 为常数); b a ②⎰a b f (x ) ±g (x ) dx =⎰f (x ) dx ±⎰g (x ) dx
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx c b ;
a c ③⎰a (其中a <c <b ) 。
(3)定积分求曲边梯形面积
由三条直线x =a ,x =b (a
S =⎰f (x ) dx a 面积。
如果图形由曲线y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨设f1(x)≥f2(x)≥0),及直线x =a ,x =b
(a
⎰
b a f 1(x ) dx -⎰f 2
(x ) dx a b 。