Stirling公式的证明综述
第27卷 第2期 2008年3月许昌学院学报
JOURNAL OF XUCHANG UN I V ERSI TY Vol . 27. No . 2
Mar . 2008
文章编号:1671-9824(2008) 02-0138-05
Stirling 公式的证明综述
郭常超
(解放军外国语学院数学教研室, 河南洛阳471003)
(2n n
摘 要:综述了分析学中的Stirling 公式:n! ～的三种证明方法, 以期对理论
研究中n! 阶的估计、数列极限等问题的简便的算法、方法论的探讨及教学实践有所帮助.
关键词:Stirling 公式; 幂级数; Euler 积分中图分类号:O17 文献标识码:A 估计n! 的阶在理论研究中常常是必要的, 2n
e
n
是这个问题的
著名答案. 在应用上, 容, 1 基于J. 2
π引理1(J. WALL I S ) =li m .
2n →+∞2n +(2n -1) ! 引理1的证明参见[1]、[2].
引理2 Πn ∈N , 1n +1≤1.
2n 12n (n +1)
证明 在幂级数展开式
2k
ln =2x x , x ∈(-1, 1) 1-x k =02k +1
∞
中令
x =
2n +1
∞
(n ∈N ) ,
可得
ln =,
n 2n +1k =02
k +1(2n +1) 2k
整理得
n +1+
∞
=1+
k =1
(2k +1) (2n +1)
n +
2k
≤1+
3
∞
k =1
(2n +1)
2
k
=1+
2n (n +1)
.
从上式第一个等号易见
≥1.
1+证毕.
定理1 n! =
收稿日期:2007-09-03
作者简介:郭常超(1958—) , 男, 陕西西安人, 副教授, 硕士, 主要研究方向:泛函分析的算子谱理论.
2
e
n e , ≤1.
12n
第27卷第2期
证明 先证, 存在常数a 使
n!
郭常超:Stirling 公式的证明综述
139
=a e
n θ
e , θ=φ(n ) ∈(0, 1) .
12n (1)
成立. 其实, 构造数列{a n }n
n 2
, 从引理2得e 1n
n +2
≤e
1+12n (n +1)
.
再由
a a n +1
112
,
推出
1a a n +1
e
12n
12(n +1)
.
从而数列{a n }递减、有下界. 不妨设a =li m a n , a n n →+∞
-12n
. a n e
-12n
-12n
故存在θ=θn ∈(0, 1) , 适合
a =a n e
,
即有
n!
=a n
2e
-12n
, θ=θn ∈(0, 1) .
θ其次, 求常数a 的值. 将式(1) 和式
(2n ) !
=a
e
2n
e , (≤1) ,
24n
代入WALL I S 公式, 得
2n π=li m
2n →=∞2n +(2n ) !
2
=li m a n →+∞2n +2
e
24n
2
212n
=li m e a . N →+∞2(2n +1) 4
2
π. 证毕. 故a =注1 该证明基于对数函数的幂级数展开式、引理2的证明和WALL I S 公式, 无需更多的预备知识. 此外, 只依定积分结果也可导出引理2. 从而得到基于定积分的证法(参见[2]) .
2 基于Γ—函数的证明
利用Euler 积分
Γ(x ) =
并注意
Γ(n +1) =n! , (n ∈N ) ,
可以得到Stirling 公式的推广
Γ(x ) ～x
x -2
∫
t
+∞
x -1
e d t 和B (x, y ) =
-t
∫
t
x -1
1
(1-t )
y -1
d t,
e
-x
π(x →∞) . 引入以下记号:
①[x ]=max{n ∈Z :
n ≤x}; ②{x}=x -[x ];
③f (x ) =O (g (x ) ) , x ∈某集I (若对函数f (x ) , 有正值函数g (x ) 及常数A ≥0, 使f (x ) ≤A g (x ) ) .
n
引理3
k =1
k
～ln n, n →+∞.
140
许昌学院学报2008年3月
证明
Πk ∈N , 1+n
=
k
+c k 2
,
]
k =1
k
n
=
k =1
∑
1+n
+
k =1
∑
2
k γ=
k =1
∑c k
∞
ln n +γ+.
证毕.
引理4 (Legendre 倍元公式)
Γ(x ) Γ(x +1) 证明 由
B (x, x ) =
2
2x -1
(2x ) .
t (1-∫
x -1v
1
t )
1
x -1
d t =2
-4
2
-2
2x -1
x -1
d t
及两类Euler 积分关系式
-t 22
2
2x -1
v 0
-2
(1-v )
x -1
d v =(x, ()
,
(+)
再利用2
=, . .
ln n -n +c . 2
k +1k
Γ(n ) n -引理5 存在c ln
n
Γ(n ) =ln (n -1) ! =证明 ln
=
k =1
ln k d t ∑∫
t
1
1
∫
n
ln t d t -
k =1
ln ∑k
n -1k =1n -1
n -1
1
d t
d t =n ln n -n +1-=n ln n -n +1-引理3
1+∑0
k =1
2k
+2
n ln n -n -
ln n +c +.
n 2
证毕.
+
引理6 对x ∈R 及常数a >0, 有
Γ(x ) Γ-1(x +a ) =x -a +O (x -a -1) .
引理6的证明见参考文献[4]P30.
Γ(x ) ～x 2e -x π, x →+∞定理2
+
证明 设x ∈R -N , 则由引理5及引理6得Γ(x ) =ln ([x ]+{x}) =ln Γ([x ]) +{x}
ln [x ]+ln
=[x ]-由引理4得
Γ(2x ) +ln =(2x -1) ln Γ(x ) +ln 1ln
从而
, 2
[x (2)
x -ln [x ]-[x ]+c +{x}ln [x ]+=x -ln x -x +c +2[x 2x
第27卷第2期
2x -
郭常超:Stirling 公式的证明综述
ln (2x ) -2x +c +ln +2x
=(2x -1) ln2+x -ln x +x x +-2x -+2c +22x 2
x
141
]2x
+c -
+x 2
=ln
π+2
x
令x →+∞, 在上式两端取极限得
c =ln
π. 2
代入(2) 即得公式.
若x ∈N , 由(2) 式两端函数的连续性知, 此时(2) 亦真. 证毕.
π推论 n! ～2
e
n
.
证明 一方面, 由定理2的证明有
n!
=(n +1)
n +2
n +2
e
-(n +1)
1+2
n
.
另一方面
(n +1)
n +2
=n
n +2
1+
=n
n +2
1+
n
e
n
m +e
+n
1+.
n
]n! =n +-n
π2
1+n
证毕.
注2 从ΓStirling 渐近估式
Γ(x ) ～x
但证明冗长, 且估值精度不高.
x -2
e
-x
π, x →+∞. 2
3 基于广义积分的简短证明
引理7 存在c ∈R , 使n! ～c n
+
e
n
.
证明 ln n! =
k =1
∑
n
ln k =
k =1
∑x
1
n
k
d x =
1
-x
k
d x x
=
1
n +
+{x}-2x
d x
=n +ln n -n +1+1
x 因为
1{x}-d x ≤(ΠA ≥1) ,
8n
{x}-
d x .
且
x
↓0, 据D irichlet 法则可见, 积分
+∞
{x}-x
1
d x
收敛. 故有c ∈R , 满足
c ～1+
1
+∞
{x}-x
d x, n →+∞.
142
许昌学院学报2008年3月
从而
ln n! ～n +
ln n -n +c .
证毕.
注3 从引理7立得, c 2n 引理8 若f (x ) ∈C
n +1
n
2n
c n (k )
.
(R ) , 则
n
f (x ) =
k =0
k x +R n (x ) , R n (x ) =k! n!
∫
f
x
(n +1)
(t ) (x -t ) d t .
n
证明 由分部积分, 对n 归纳易得.
π. 引理9 引理7中的c =22n +1
证明 置f (x ) =(1+x ) , 由引理8得:
1
R (1) 2n
(2n +1) …(n +1) (1-t ) d t =2n +12n +1
22n! 0
∫
t n
nC 2n
n
2
n →+∞
2n
1+
2c
1-2n
d u
∫
e
-∞
-u 2
d u =
. c 2
2n +1
n
另一方面
(1)
2
2n +1
=f (1) -
k =0
(k )
() k!
=
. 2
π. 证毕. 结合前式可推出c =2
注4 ①本证明无需深入的预备知识, 且行文不长, 可用于教学实践; ②Stirling 公式还可由概率论方法加以证明, 但要做进一步知识准备. 参考文献:
[1] 菲赫金哥尔茨. 微积分学教程(2卷2分册) [M].北京:人民教育出版社, 1978:363-365. [2] 菲赫金哥尔茨. 微积分学教程(2卷3分册) [M].北京:人民教育出版社, 1978:712-716. [3] 张筑生. 数学分析新讲(第3卷) [M].北京:北京大学出版社, 1999:415-432. [4] 何 琛. 数学分析(第3卷) [M].北京:高等教育出版社, 1985:177-191. [5] 潘承洞. 阶的估计[M].济南:山东科学技术出版社, 1983:26-36.
[6] Dan Rom ik . Stirling ’s App r oxi m ati on for n! [J ].The American Mathe maticalMonthly, 2000(6-7) :556-557.
Provi n g of Sti rli n g Formul ar
G UO Chang 2chao
(M athe m
a tics Teaching and R esearch Section, PLA U niversity of Foreign L anguages, L uoyang 471003, China )
n
e
n
Abstract:This article su m s up three methods of p r oving Stirling f or mular n! ～of mathe matic
analytics, which hel p s the esti m ati on of the order of n! in theoretical research and p r ovides si m p le algorith m s for the li m it of sequence of number .
Key words:Stirling fomular; power series; Euler integral
责任编辑:周 伦