一致矩阵的特征性质
第31卷第5期2009年05月武 汉 工 程 大 学 学 报
J. Wuhan Inst. Tech.Vol.31 No.5
May 2009
文章编号:1674-2869(2009)05-0093-02
一致矩阵的特征性质
胡端平,唐 超
(武汉工程大学理学院,湖北武汉430074)
摘 要:一致矩阵是层次分析的理论基础.本文给出了正互反矩阵A为一致的充分必要条件是rank(A)=1,且aii=1,并且给出了一种新的一致性检验指标KI=条件.
关键词:正互反矩阵;一致矩阵;一致性检验指标中图分类号:O151.21 文献标识码:A
,同时给出了正矩阵为一致矩阵的充分必要
n-1
层次分析的理论基础是两类矩阵和它们的特征值与特征向量,这两类矩阵就是正互反矩阵和一致矩阵.在层次分析中,我们碰到的是正互反矩阵A,A近似为一致矩阵,那么必须检验A的一致性.本文给出了正互反矩阵为一致矩阵的充要条件,并据此给出了一种新的一致性检验的指标.
n,取k=1,并令wi=ai1,1[i[n,故aij=i
,1[i,j[n.wj
充分性.若aij=
ai1
=aj1
iik
,wi>0,有aikakj==wjwkwj
1 定义与引理
设A=(aij)n@m,若aij>0,1[i[n,1[j[m,则称A为正矩阵,特别,当m=1时,称A为正向量.
设A=(aij)n@m为正矩阵,若aij=a,1[i,j[n,则称A为正互反矩阵或比较矩阵.
设A=(aij)n@m为正矩阵,若aij=aikakj,k=1,2,,,n,1[i,j[n,则称A为一致矩阵.
引理
[1-3]
-1
ji
i
=aij,1[i,j,k[n,故A为一致矩阵.wj
可见A为一致矩阵的充分必要条件为
w1
A=
w2swn
推论1 设A为一致矩阵,则rank(A)=1.定理2 设A为正互反矩阵,若rank(A)=1,则A为一致矩阵.
证:A=(aij)n@n,aij>0,aij=aji,1[i,j[n,由rank(A)=1,存在
u=(u1,u2,,,un)T,v=(v1,v2,,,vn)T,使
u1
A=
u2sun
1
aij=uivj,由aii=1有uivi=1,即vi=u-i,1[i[
-1
1-11
(w-1,w2,,,w-n),wi>0,1[i[n.
(满秩分解)设A为n@m矩阵,且
rank(A)=r,则存在n@r的列满秩阵F与r@m的行满秩阵A=FG.
2 一致矩阵的特征性质
以下设A=(aij)n@n为正矩阵.定理1
[4-6]
(v1,v2,,,vn)=(uivj)n@n,
A为一致矩阵的充分必要条件为
T
i
存在正向量W=(w1,w2,,,wn),使得aij=j,
w1[i,j[n.
证:必要性.设A为一致矩阵,则aij>0,aikakj
=aij,有aii=aikaki2ii,于是aii=1,aijaji=aii=1,即aij=aji,从而aij=aikakj=
收稿日期:2009-07-04
-1
u1
n,从而A=
u2s
un
1-1-1-1(u-1,u2,,,un)=(uiuj)n@n,
ik
,k=1,2,,,ajk
并由aij=
i
>0可取ui>0,1[i[n,从而A为一uj
作者简介:(1950-),男,,..
94武汉工程大学学报第31卷
致的.
推论2[7-8] 设A为正互反矩阵,但非一致的,则rank(A)>1.
由此,我们可以建立一种新的一致性检验,称
KI=
n-1
A=
u1u2sun
1-11-1(u-1,u2,,,u-n)=(uiuj)n@n,
从而A为一致矩阵.参考文献:
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为A的一致性的秩检验指标,显然0[KI[1,当
KI越小时,A的一致性越好,否则越差,我们也可以与sauty的一致性检验指标
[1]
联合使用,将
KCR=KI#CR作为A的一致性检验指标.
定理3 A=(aij)n@n为正矩阵,则A为一致矩阵的充分必要条件为uiui=1,且rank(A)=1,1[i[n.
证:必要性显然.下证充分性.由rank(A)=1,则存在(u1,u2,,,un)T和(v1,v2,,,vn)T,ui>0,vi>0,1[i[n,使得
u1
A=
u2sun
1
由aii=1有uivi=1,即vi=u-i,1[i[n,故
(v1,v2,,,vn)=(uivj)n@n,
Thecharacterofconsistentmatix
HUDuan-ping,TANGChao
(SchoolofScience,WuhanInstituteofTechnology,Wuhan430074,China)
Abstract:Theconsistentmatrixistheanalytichierarchyrationale.ThisarticlehasgivenreciprocalmatrixAistheconsistentfullessentialconditionisrank(A)=1,andgivenanewconsistencytest
indicatorwhichisKI=,andalsogivenanecessaryandsufficientconditionwhichispositive
n-1matrixfortheconsistentmatrix.
Keywords:positivereciprocalmatrix;consistentmatrix;consistencytestindicator
本文编辑:萧 宁