2016年浙江省衢州市中考数学试卷(解析版)

2016年浙江省衢州市中考数学试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1．在，﹣1，﹣3，0这四个实数中，最小的是（ ）

A ． B ．﹣1 C ．﹣3 D ．0

2．据统计，2015年“十•一”国庆长假期间，衢州市共接待国内外游客约319万人次，与2014年同比增长16.43%，数据319万用科学记数法表示为（ ）

A ．3.19×105 B ．3.19×106 C ．0.319×107 D．319×106

3．如图，是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其俯视图是（ ）

A ． B ． C ． D ．

4．下列计算正确的是（ ）

A ．a 3﹣a 2=a B ．a 2•a 3=a6 C ．（3a ）3=9a3 D ．（a 2）2=a4

5．M 是BC 延长线上的一点， 如图，在▱ABCD 中，若∠A=135°，则∠MCD 的度数是（ ）

A ．45° B ．55° C ．65° D ．75°

6．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，他不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（ ）

A ．众数 B．方差 C．平均数 D ．中位数

2

A ．直线x=﹣3 B ．直线x=﹣2 C ．直线x=﹣1 D ．直线x=0

8．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣k=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）

A ．k ≥1 B ．k ＞1 C．k ≥﹣1 D ．k ＞﹣1

9．AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，如图，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A=30°，则sin ∠E 的值为（ ）

A ． B ． C ． D ．

10．AC=BC=25，AB=30，D 是AB 上的一点B 重合）DE ⊥BC ，如图，在△ABC 中，（不与A 、，

垂足是点E ，设BD=x，四边形ACED 的周长为y ，则下列图象能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（ ）

A ． B ． C ．

D ．

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11．当x=6时，分式

12．二次根式的值等于． 中字母x 的取值范围是．

结果如下表所示：

14

．已知直角坐标系内有四个点

O

（

，

）

，

A

（

3

，0），B （1，1），C （x ，1），若以O ，A ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形，则x=

15．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m ），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 m 2．

16．如图，正方形ABCD 的顶点A ，B 在函数y=（x ＞0）的图象上，点C ，D 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，当k 的值改变时，正方形ABCD 的大小也随之改变．

（1）当k=2时，正方形A ′B ′C ′D ′的边长等于 ．

（2）当变化的正方形ABCD 与（1）中的正方形A ′B ′C ′D ′有重叠部分时，k 的取值范围是 ．

三、解答题（本题有8小题，第17-19小题每小题6分，第20-21小题每小题6分，第22-23小题每小题6分，第24小题12分，共66分，请务必写出解答过程）

17．计算：|﹣3|+﹣（﹣1）2+（﹣）0．

18．如图，已知BD 是矩形ABCD 的对角线．

（1）用直尺和圆规作线段BD 的垂直平分线，分别交AD 、BC 于E 、F （保留作图痕迹，不写作法和证明）．

（2）连结BE ，DF ，问四边形BEDF 是什么四边形？请说明理由．

19．光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其它天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电550度．

（1）求这个月晴天的天数．

（2）已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本（不计其它费用，结果取整数）．

20．为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求扇形统计图中m 的值，并补全条形统计图；

（2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？

（3）已知该校有800名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？

21．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点P ，直线BF 与AD 的延长线交于点F ，且∠AFB=∠ABC ．

（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线．

（2）若CD=2，OP=1，求线段BF 的长．

22．已知二次函数y=x2+x的图象，如图所示

（1）根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x 2+x=1的根在图上近似地表示出来（描点），并观察图象，写出方程x 2+x=1的根（精确到0.1）．

（2）在同一直角坐标系中画出一次函数y=x+的图象，观察图象写出自变量x 取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值．

（3）如图，点P 是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在P 点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P 是否在函数y=x+的图象上，请说明理由．

23．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由．

（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD 两组对边AB ，CD 与BC ，AD 之间的数量关系．

猜想结论：（要求用文字语言叙述）

写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．

（3）问题解决：如图3，分别以Rt △ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接CE ，BG ，GE ，已知AC=4，AB=5，求GE 长．

24．如图1，在直角坐标系xoy 中，直线l ：y=kx+b交x 轴，y 轴于点E ，F ，点B 的坐标是（2，2），过点B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为A 、C ，点D 是线段CO 上的动点，以BD 为对称轴，作与△BCD 或轴对称的△BC ′D ．

（1）当∠CBD=15°时，求点C ′的坐标．

（2）当图1中的直线l 经过点A ，且k=﹣时（如图2），求点D 由C 到O 的运动过程中，线段BC ′扫过的图形与△OAF 重叠部分的面积．

（3）当图1中的直线l 经过点D ，C ′时（如图3），以DE 为对称轴，作于△DOE 或轴对称的△DO ′E ，连结O ′C ，O ′O ，问是否存在点D ，使得△DO ′E 与△CO ′O 相似？若存在，求出k 、b 的值；若不存在，请说明理由．

2016年浙江省衢州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1．在，﹣1，﹣3，0这四个实数中，最小的是（ ）

A ． B ．﹣1 C ．﹣3 D ．0

【考点】实数大小比较．

【分析】根据实数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小）比较即可．

【解答】解：∵﹣3＜﹣1＜0＜，

∴最小的实数是﹣3，

故选C ．

2．据统计，2015年“十•一”国庆长假期间，衢州市共接待国内外游客约319万人次，与2014年同比增长16.43%，数据319万用科学记数法表示为（ ）

A ．3.19×105 B ．3.19×106 C ．0.319×107 D．319×106

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值是易错点，由于319万有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．

【解答】解：319万=3 190 000=3.19×106．

故选B ．

3．如图，是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其俯视图是（ ）

A ． B ． C ． D ．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．

【解答】解：从上面看，圆锥看见的是：圆和点，两个正方体看见的是两个正方形． 故答案为：C ．

4．下列计算正确的是（ ）

A ．a 3﹣a 2=a B ．a 2•a 3=a6 C ．（3a ）3=9a3 D ．（a 2）2=a4

【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．

【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A 、a 3，a 2不能合并，故A 错误；

B 、a 2•a 3=a5，故B 错误；

C 、（3a ）3=27a3，故C 错误；

D 、（a 2）2=a4，故D 正确．

故选：D ．

5．M 是BC 延长线上的一点， 如图，在▱ABCD 中，若∠A=135°，则∠MCD 的度数是（ ）

A ．45° B ．55° C ．65° D ．75°

【考点】平行四边形的性质．

【分析】根据平行四边形对角相等，求出∠BCD ，再根据邻补角的定义求出∠MCD 即可．

【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴∠A=∠BCD=135°，

∴∠MCD=180°﹣∠DCB=180°﹣135°=45°．

故选A ．

6．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，他不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（ ）

A ．众数 B．方差 C．平均数 D ．中位数

【考点】中位数．

【分析】由于其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，共有7名选手参加，故应根据中位数的意义分析．

【解答】解：因为7名学生参加决赛的成绩肯定是7名学生中最高的，

而且7个不同的分数按从小到大排序后，中位数之后的共有3个数，

故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入前3名．

故选：D ．

2

A ．直线x=﹣3 B ．直线x=﹣2 C ．直线x=﹣1 D ．直线x=0

【考点】二次函数的图象．

【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．

【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，

∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2．

故选：B ．

8．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣k=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）

A ．k ≥1 B ．k ＞1 C．k ≥﹣1 D ．k ＞﹣1

【考点】一元二次方程根的分布．

【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣2）2+4k＞0，然后解不等式即可．

【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣k=0有两个不相等的实数根，

∴△=（﹣2）2+4k＞0，

解得k ＞﹣1．

故选：D ．

9．AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，如图，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A=30°，则sin ∠E 的值为（ ）

A ． B ． C ． D ．

【考点】切线的性质．

【分析】首先连接OC ，由CE 是⊙O 切线，可证得OC ⊥CE ，又由圆周角定理，求得∠BOC 的度数，继而求得∠E 的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．

【解答】解：连接OC ，

∵CE 是⊙O 切线，

∴OC ⊥CE ，

∵∠A=30°，

∴∠BOC=2∠A=60°，

∴∠E=90°﹣∠BOC=30°，

∴sin ∠E=sin30°=．

故选A ．

10．AC=BC=25，AB=30，D 是AB 上的一点B 重合）DE ⊥BC ，如图，在△ABC 中，（不与A 、，

垂足是点E ，设BD=x，四边形ACED 的周长为y ，则下列图象能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（ ）

A ． B ． C ．

D ．

【考点】函数的图象．

【分析】由△DEB ∽△CMB ，得==，求出DE 、EB ，即可解决问题．

【解答】解：如图，作CM ⊥AB 于M ．

∵CA=CB，AB=20，CM ⊥AB ，

∴AM=BM=15，CM=

∵DE ⊥BC ，

∴∠DEB=∠CMB=90°，

∵∠B=∠B ，

∴△DEB ∽△CMB ，

∴

∴====， ，

，

）++30﹣x=﹣x+80． =20 ∴DE=，EB=∴四边形ACED 的周长为y=25+（25﹣

∵0＜x ＜30，

∴图象是D ．

故选D ．

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11．当x=6时，分式的值等于1

【考点】分式的值．

【分析】直接将x 的值代入原式求出答案．

【解答】解：当x=6时，

故答案为：﹣1．

12．二次根式中字母x 的取值范围是 ==﹣1．

【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】由二次根式有意义的条件得出不等式，解不等式即可．

【解答】解：当x ﹣3≥0时，二次根式有意义，

则x ≥3；

故答案为：x ≥3．

结果如下表所示：

【考点】加权平均数．

【分析】根据平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数进行计算．

【解答】解： =6.4．

故答案为：6.4．

14．已知直角坐标系内有四个点O （0，0），A （3，0），B （1，1），C （x ，

1

）

，若以

O

，

A

，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形，则x=

【考点】平行四边形的判定；坐标与图形性质．

【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A 、B 、O 的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定C 的位置，从而求出x 的值．

【解答】解：根据题意画图如下：

以O ，A ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形，则C （4，1）或（﹣2，1），

则x=4或﹣2；

故答案为：4或﹣2．

15．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m ），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 432 m 2．

【考点】一元一次不等式的应用．

【分析】要求这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值，可设总占地面积为S ，中间

墙长为x ，根据题目所给出的条件列出S 与x 的关系式，再根据函数的性质求出S 的最大值．

【解答】解：如图，设设总占地面积为S （m 2），CD 的长度为x （m ），

由题意知：AB=CD=EF=GH=x，

∴BH=48﹣4x ，

∵0＜BH ≤50，CD ＞0，

∴0＜x ＜12，

∴S=AB•BH=x（48﹣x ）=﹣（x ﹣24）2+576

∴x ＜24时，S 随x 的增大而增大，

∴x=12时，S 可取得最大值，最大值为S=432

16．如图，正方形ABCD 的顶点A ，B 在函数y=（x ＞0）的图象上，点C ，D 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，当k 的值改变时，正方形ABCD 的大小也随之改变．

（1）当k=2时，正方形A ′B ′C ′D ′的边长等于

．

（

2）当变化的正方形ABCD 与（1）中的正方形A ′B ′C ′D ′有重叠部分时，k 的取值范围是 ．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；正方形的性质．

【分析】（1）过点A ′作AE ⊥y 轴于点E ，过点B ′⊥x 轴于点F ，由正方形的性质可得出

OC ′=ED′”，“A ′D ′=D′C ′，∠A ′D ′C ′=90°”，通过证△A ′ED ′≌△D ′OC ′可得出“OD ′=EA′，设OD ′=a，

OC ′=b，由此可表示出点A ′的坐标，同理可表示出B ′的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于a 、b 的二元二次方程组，解方程组即可得出a 、b 值，再由勾股定理即可得出结论；

（2）由（1）可知点A ′、B ′、C ′、D ′的坐标，利用待定系数法即可求出直线A ′B ′、C ′D ′的解析式，设点A 的坐标为（m ，2m ），点D 坐标为（0，n ），找出两正方形有重叠部分的临界点，由点在直线上，即可求出m 、n 的值，从而得出点A 的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k 的取值范围．

【解答】解：（1）如图，过点A ′作AE ⊥y 轴于点E ，过点B ′⊥x 轴于点F ，则∠A ′ED ′=90°．

∵四边形A ′B ′C ′D ′为正方形，

∴A ′D ′=D′C ′，∠A ′D ′C ′=90°，

∴∠OD ′C ′+∠ED ′A ′=90°．

∵∠OD ′C ′+∠OC ′D ′=90°，

∴∠ED ′A ′=∠OC ′D ′．

在△A ′ED ′和△D ′OC ′中，

，

∴△A ′ED ′≌△D ′OC ′（AAS ）．

∴OD ′=EA′，OC ′=ED′．

同理△B ′FC ′≌△C ′OD ′．

设OD ′=a，OC ′=b，则EA ′=FC′=OD′=a，ED ′=FB′=OC′=b，

即点A ′（a ，a+b），点B ′（a+b，b ）．

∵点A ′、B ′在反比例函数y=的图象上，

∴，解得：或（舍去）．

在Rt △C ′OD ′中，∠C ′OD ′=90°，OD ′=OC′=1，

∴C ′D ′==．

故答案为：．

（2）设直线A ′B ′解析式为y=k1x+b1，直线C ′D ′解析式为y=k2+b2，

∵点A ′（1，2），点B ′（2，1），点C ′（1，0），点D ′（0，1），

∴有和，

解得：和．

∴直线A ′B ′解析式为y=﹣x+3，直线C ′D ′解析式为y=﹣x+1．

设点A 的坐标为（m ，2m ），点D 坐标为（0，n ）．

当A 点在直线C ′D ′上时，有2m=﹣m+1，解得：m=，

此时点A 的坐标为（，），

∴k=×=；

当点D 在直线A ′B ′上时，有n=3，

此时点A 的坐标为（3，6），

∴k=3×6=18．

综上可知：当变化的正方形ABCD 与（1）中的正方形A ′B ′C ′D ′有重叠部分时，k 的取值范围为≤x ≤18．

故答案为：≤x ≤18．

三、解答题（本题有8小题，第17-19小题每小题6分，第20-21小题每小题6分，第22-23小题每小题6分，第24小题12分，共66分，请务必写出解答过程）

17．计算：|﹣3|+﹣（﹣1）2+（﹣）0．

【考点】实数的运算；零指数幂．

【分析】根据绝对值和算术平方根、乘方以及零指数幂的定义进行计算，即可得出结果．

【解答】解：|﹣3|+﹣（﹣1）2+（﹣）0

=3+3﹣1+1

=6．

18．如图，已知BD 是矩形ABCD 的对角线．

（1）用直尺和圆规作线段BD 的垂直平分线，分别交AD 、BC 于E 、F （保留作图痕迹，不写作法和证明）．

（2）连结BE ，DF ，问四边形BEDF 是什么四边形？请说明理由．

【考点】矩形的性质；作图—基本作图．

【分析】（1）分别以B 、D 为圆心，比BD 的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；

（2）连接BE ，DF ，四边形BEDF 为菱形，理由为：由EF 垂直平分BD ，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF ，再由AD 与BC 平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，再由BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．

【解答】解：（1）如图所示，EF 为所求直线；

（2）四边形BEDF 为菱形，理由为：

证明：∵EF 垂直平分BD ，

∴BE=DE，∠DEF=∠BEF ，

∵AD ∥BC ，

∴∠DEF=∠BFE ，

∴∠BEF=∠BFE ，

∴BE=BF，

∵BF=DF，

∴BE=ED=DF=BF，

∴四边形BEDF 为菱形．

19．光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其它天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电550度．

（1）求这个月晴天的天数．

（2）已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本（不计其它费用，结果取整数）．

【考点】一元一次不等式的应用．

【分析】（1）设这个月有x 天晴天，根据总电量550度列出方程即可解决问题． （2）需要y 年才可以收回成本，根据电费≥40000，列出不等式即可解决问题．

【解答】解：（1）设这个月有x 天晴天，由题意得

30x+5（30﹣x ）=550，

解得x=16，

故这个月有16个晴天．

（2）需要y 年才可以收回成本，由题意得

•（0.52+0.45）•12y ≥40000，

解得y ≥8.6，

∵y 是整数，

∴至少需要9年才能收回成本．

20．为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求扇形统计图中m 的值，并补全条形统计图；

（2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？

（3）已知该校有800名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？

【考点】条形统计图；扇形统计图；概率公式．

【分析】（1）根据C 类人数有15人，占总人数的25%可得出总人数，求出A 类人数，进而可得出结论；

（2）直接根据概率公式可得出结论；

（3）求出“实践活动类”的总人数，进而可得出结论．

【解答】解：（1）总人数=15÷25%=60（人）．

A 类人数=60﹣24﹣15﹣9=12（人）．

∵12÷60=0.2=20%，

∴m=20．

条形统计图如图；

（2）抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率==；

（3）∵800×25%=200，200÷20=10，

∴开设10个“实验活动类”课程的班级数比较合理．

21．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点P ，直线BF 与AD 的延长线交于点F ，且∠AFB=∠ABC ．

（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线．

（2）若CD=2，OP=1，求线段BF 的长．

【考点】切线的判定．

【分析】（1）欲证明直线BF 是⊙O 的切线，只要证明AB ⊥BF 即可．

（2）连接OD ，在RT △ODE 中，利用勾股定理求出由△APD ∽△ABF ，

可解决问题．

【解答】（1）证明：∵∠AFB=∠ABC ，∠ABC=∠ADC ，

∴∠AFB=∠ADC ，

∴CD ∥BF ，

∴∠AFD=∠ABF ，

∵CD ⊥AB ，

∴AB ⊥BF ，

∴直线BF 是⊙O 的切线．

（2）解：连接OD ，

∵CD ⊥AB ，

∴PD=CD=， =，由此即

∵OP=1，

∴OD=2，

∵∠PAD=∠BAF ，∠APO=∠ABF ，

∴△APD ∽△ABF ，

∴

∴=

∴BF==， ， ．

22．已知二次函数y=x2+x的图象，如图所示

（1）根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x 2+x=1的根在图上近似地表示出来（描点），并观察图象，写出方程x 2+x=1的根（精确到0.1）．

（2）在同一直角坐标系中画出一次函数y=x+的图象，观察图象写出自变量x 取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值．

（3）如图，点P 是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在P 点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P 是否在函数y=x+的图象上，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）令y=0求得抛物线与x 的交点坐标，从而可确定出1个单位长度等于小正方形边长的4倍，接下来作直线y=1，找出直线y=1与抛物线的交点，直线与抛物线的交点的横坐标即可方程的解；

（2）先求得直线上任意两点的坐标，然后画出过这两点的直线即可得到直线y=x+的函数图象，然后找出一次函数图象位于直线下方部分x 的取值范围即可；

（3）先依据抛物线的顶点坐标和点P 的坐标，确定出抛物线移动的方向和距离，然后依据抛物线的顶点式写出抛物线的解析式即可，将点P 的坐标代入函数解析式，如果点P 的坐标符合函数解析式，则点P 在直线上，否则点P 不在直线上．

【解答】解：（1）∵令y=0得：x 2+x=0，解得：x 1=0，x 2=﹣1，

∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0），（﹣1，0）．

作直线y=1，交抛物线与A 、B 两点，分别过A 、B 两点，作AC ⊥x 轴，垂足为C ，BD ⊥x 轴，垂足为D ，点C 和点D 的横坐标即为方程的根．

根据图形可知方程的解为x 1≈﹣1.6，x 2≈0.6．

（2）∵将x=0代入y=x+得y=，将x=1代入得：y=2，

∴直线y=x+经过点（0，），（1，2）．

直线y=x+的图象如图所示：

由函数图象可知：当x ＜﹣1.5或x ＞1时，一次函数的值小于二次函数的值．

（3）先向上平移个单位，再向左平移个单位，平移后的顶点坐标为P （﹣1，1）． 平移后的表达式为y=（x+1）2+1，即y=x2+2x+2．

点P 在y=x+的函数图象上．

理由：∵把x=﹣1代入得y=1，

∴点P 的坐标符合直线的解析式．

∴点P 在直线y=x+的函数图象上．

23．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由．

（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD 两组对边AB ，CD 与BC ，AD 之间的数量关系．

猜想结论：（要求用文字语言叙述） 垂美四边形两组对边的平方和相等

写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．

（3）问题解决：如图3，分别以Rt △ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接CE ，BG ，GE ，已知AC=4，AB=5，求GE 长．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；

（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；

（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．

【解答】解：（1）四边形ABCD 是垂美四边形．

证明：∵AB=AD，

∴点A 在线段BD 的垂直平分线上，

∵CB=CD，

∴点C 在线段BD 的垂直平分线上，

∴直线AC 是线段BD 的垂直平分线，

∴AC ⊥BD ，即四边形ABCD 是垂美四边形；

（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．

如图2，已知四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，垂足为E ，

求证：AD 2+BC2=AB2+CD2

证明：∵AC ⊥BD ，

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，

由勾股定理得，AD 2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB 2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD 2+BC2=AB2+CD2；

（3）连接CG 、BE ，

∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC ，即∠GAB=∠CAE ，

在△GAB 和△CAE 中，

，

∴△GAB ≌△CAE ，

∴∠ABG=∠AEC ，又∠AEC+∠AME=90°，

∴∠ABG+∠AME=90°，即CE ⊥BG ，

∴四边形CGEB 是垂美四边形，

由（2）得，CG 2+BE2=CB2+GE2，

∵AC=4，AB=5，

∴BC=3，CG=4，BE=5，

∴GE 2=CG2+BE2﹣CB 2=73，

∴GE=．

24．如图1，在直角坐标系xoy 中，直线l ：y=kx+b交x 轴，y 轴于点E ，F ，点B 的坐标是（2，2），过点B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为A 、C ，点D 是线段CO 上的动点，以BD 为对称轴，作与△BCD 或轴对称的△BC ′D ．

（1）当∠CBD=15°时，求点C ′的坐标．

（2）当图1中的直线l 经过点A ，且k=﹣时（如图2），求点D 由C 到O 的运动过程中，线段BC ′扫过的图形与△OAF 重叠部分的面积．

（3）当图1中的直线l 经过点D ，C ′时（如图3），以DE 为对称轴，作于△DOE 或轴对称的△DO ′E ，连结O ′C ，O ′O ，问是否存在点D ，使得△DO ′E 与△CO ′O 相似？若存在，求出k 、b 的值；若不存在，请说明理由．

【考点】相似形综合题．

【分析】（1）利用翻折变换的性质得出∠CBD=∠C ′BD=15°，C ′B=CB=2，进而得出CH 的长，进而得出答案；

（2）首先求出直线AF 的解析式，进而得出当D 与O 重合时，点C ′与A 重合，且BC ′扫过的图形与△OAF 重合部分是弓形，求出即可；

（3）根据题意得出△DO ′E 与△COO ′相似，则△COO ′必是Rt △，进而得出Rt △BAE ≌Rt △BC ′E （HL ），再利用勾股定理求出EO 的长进而得出答案．

【解答】解：（1）∵△CBD ≌△C ′BD ，

∴∠CBD=∠C ′BD=15°，C ′B=CB=2，

∴∠CBC ′=30°，

如图1，作C ′H ⊥BC 于H ，则C ′H=1，HB=，

∴CH=2﹣，

∴点C ′的坐标为：（2﹣，1）；

（2）如图2，∵A （2，0），k=﹣

∴代入直线AF 的解析式为：y=﹣

∴b=，

x+， ， x+b， 则直线AF 的解析式为：y=﹣

∴∠OAF=30°，∠BAF=60°，

∵在点D 由C 到O 的运动过程中，BC ′扫过的图形是扇形，

∴当D 与O 重合时，点C ′与A 重合，

且BC ′扫过的图形与△OAF 重合部分是弓形，

当C ′在直线y=﹣x+上时，BC ′=BC=AB，

∴△ABC ′是等边三角形，这时∠ABC ′=60°，

∴重叠部分的面积是：﹣×22=π﹣；

（3）如图3，设OO ′与DE 交于点M ，则O ′M=OM，OO ′⊥DE ， 若△DO ′E 与△COO ′相似，则△COO ′必是Rt △，

在点D 由C 到O 的运动过程中，△COO ′中显然只能∠CO ′O=90°， ∴CO ′∥DE ，

∴CD=OD=1，

∴b=1，

连接BE ，由轴对称性可知C ′D=CD，BC ′=BC=BA，

∠BC ′E=∠BCD=∠BAE=90°，

在Rt △BAE 和Rt △BC ′E 中

∵，

∴Rt △BAE ≌Rt △BC ′E （HL ），

∴AE=C′E ，

∴DE=DC′+C′E=DC+AE，

设OE=x，则AE=2﹣x ，

∴DE=DC+AE=3﹣x ，

由勾股定理得：x 2+1=（3﹣x ）2，

解得：x=，

∵D （0，1），E （，0），

∴k+1=0，

解得：k=﹣，

∴存在点D ，使△DO ′E 与△COO ′相似，这时k=﹣，b=1．

2016年6月23日