回眸一笑百媚生1

安徽省教育学会2013年教育征文登记表

阜阳 市 颍州 县（区）

回眸一笑百媚生

--------------------- 新课改一眸 -------------------阜阳五中 马文政

关键词：对偶放缩。平方放缩。构造函数法。数列归纳法。

论文摘要：当学生思维有一个台阶上升到另一个台阶，便会出现“海阔鱼跃、天空任

鸟飞”的感觉，

新课改是国内必走的一步棋，大家对此有很多想法。在

一节习题课中，我很受益匪浅，很受启发。下面是在自习课上写在黑板上的一道题目。

求证：

大家都在课下争相讨论，都在思考这道题目如何去求

解，讨论很激烈。我在旁边思考学生的思维走势会是怎样的。二十分钟过去后，我开始宣布。展示自我的机会到了。 第一位同学发言：我们可将左右两边分别看做两个数列的前n项和，要比较大小也就是比较两者的通项公式。 令

而要证：

需证：即证：即证：

显然成立

我很惊讶，怎么会表达那么好，而思路也那么清晰，这时班里也响起了掌声。

第二位同学用的是均值不等式 利用

得

当第二位同学讲完自己的想法与解题步骤我很震撼。 点评：基础扎实、思路开阔、勇于创新。

第三位同学站起来说：他们的方法虽好，但不易掌握。我介

绍的是用数列归纳法证明：

当当即：当

时

而又

（完全平方式）

成立

时命题成立

根据

得到命题得证

时

命题成立

时命题成立

我对第三位同学的点评：稳扎稳打、化繁为简。其中大家都发现方法一与第三位同学的方法是相通的。 第四位同学，提出一个问题，老师我是这样想得 第

一

步

：

第二步:利用这样得到

为何不等式方向发生了变化，后面我就不会了。

点评：善于思考、思维发散。我们来看看这位同学发现的问题我们证明：

证明方向为“”的放缩过程，试想一下可否这样去构造题目

.

这时学生思维方式不一样，题型也随之变化，横看成岭侧成峰的感觉，大家在看

1

n(2)

n 2n1

而且注意：1111lnnc 这个常数c0.57721

2

3

n

向两个方向均可自由放缩，当学生思维有一个台阶上升到另一个台阶，便会出现“海阔鱼跃、天空任鸟飞”的感觉，我留了一份作业，征集一道高考题的解法

468

357

2n2n1

 2n12

对一切大于1的自然函数都成

立。

第二天大家都想展示一下他们的构思，我找了几种:

第一位同学： 令

4682n 3572n15792n1B 4682nAA2AB

2n1

3

A

2n12n1



23

评注：此种方法称之为对偶放缩。 第二位同学：

426282(2n)22n1



325272(2n1)24

而

4262(2n)2412621(2n)22n12n1



3252(2n1)23252(2n1)234

评注：此种方法称之为平方放缩。 第三位同学：

AnBn

an

an

2n

(n2) 2n1

bn

bn

2n12n1

an2n2n14n2



bn2n12n14n21

评注：左边看做前n项的积，右边也这样去看，比较通项，称之为比较法

第四位同学： 令

f(n)

462n1

 352n12n1462n21 352n12n3

f(n1)

而

f(n1)f(n)



4n28n4

1 2

4n8n3

f(n)在

n属于N上为单调增函数

12

f(n)minf(2)

命题得证

评注：这个题为恒成立题构造函数求最值利用单调性；此种方法称之为构造函数法

第五位同学用的是数学归纳法证明 证明：1.当n=1时命题成立 2当.n=k时假设命题成立 即：46

35

2k2k1

 2k12

当n=k+1 时

462k22k12k2k1



352k122k12k1k12k1

4k28k41 2k34k28k32

由

462k2k22k3352k12k12

当n=k+1时命题成立

根据12得命题成立

点评：数学归纳法与构造函数学法，方法为一样，为同一原

理。但与放缩法有何区别时，看下面的问题就知道了： 若468

357

2n2n1

t

2n12

对一切大于1的自然函数都成立，

求t 的取值范围。放缩法不一定是临界值，而数学归纳法与构造函数学法可找到所对应的上界。 当然几个不等式大家都学过： 均值不等式 柯西不等式 例如：

111

22

111a12a2an

na1a2ann

111n2

a1a2ana1a2an

111n2

1.22222

12n12n2111n22. 12n12n

111

2221113.n

12nn

如何尽可能地提高学生在课堂45分钟的学习效率，首先要求自己对高中数学知识有整体的认识和把握；其次要了解学生的认知结构；再次要处理好课堂教学中教师的教和学生的学的关系。课堂教学是学生在校期间学习文化科学知识的主阵地，也是对学生进行思想品德教育的主渠道。新课改调动了学生的积极性，加大了课堂容量，学生加入了学习，我参与其中，很震撼。高效课堂，冲破现有的思维，用运动的观点看问题，有借“剑”还有“亮剑”。

[主要参考文献]