高二数学空间向量及运算人教版知识精讲
高二数学空间向量及运算人教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容:
空间向量及运算
二. 教学目标:
1. 理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘运算。 2. 了解空间向量基本定理。
3. 掌握空间向量的数量积的定义及其性质的应用。
三. 重点、难点:
重点:空间向量的基本定理,数量积。 难点:应用向量解决一些立体几何问题。
四. 重要知识点: 1. 共线向量定理:
对空间任意两个向量a 、b (b ≠0) ,a //b ⇔存在λ∈R ,使a =λb . 2. 共面向量定理:
→→→→→
若a ,b 不共线,则向量p 与向量a 、b 共面⇔存在实数x 、y ,使→→→p =x a +y b .
→
→→
→
→
→
→
3. 空间向量基本定理:
→→→→
若a 、b 、c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实→→→→
数组x 、y 、z ,使p =x a +y b +z c .
4. 两空间向量的数量积:
→→→→→→ a ·b =|a ||b |co s
性质:
→→→→→
(1)a ·e =|a |co s →→→→
(2)a ⊥b ⇔a ·b =0 →→→2
(3)|a |=a ·a
运算律:
→→→→
(1)(λa ) ·b =λ(a ·b )
→→→→
(2)a ·b =b ·a
→→→→→→→
(3)a (b +c ) =a ·b +a ·c
【典型例题】
例1. 判断题
→→→→→→
(1)若p =x a +y b ,(x ,y ∈R ) ,则a 、b 、p 共面。 →→→→→→
(2)若a 、b 、p 共面,则存在x ,y ∈R ,使p =x a +y b 。
解:(1)正确。
→→
(2)错。当a 与b 不共线时成立。
→→→→→→→
例2. 若a 、b 、c 是空间三面共面向量, 且x a +y b +z c =0,求x 、y 、z
的值(x 、y 、z ∈R )
→y →z →
c 解:若x ≠0,则a =-b -
x x
→→→
这说明a 、b 、c 共面,矛盾
∴x =0
同理,y =0,z =0,∴x =y =z =0
→→→→→→→→→
例3. 若a 、b 、c 不共面,那么(a +b ) ,(b +c ) ,(c +a ) 共面吗? →→→→→→
解:假设c +b ,c +a ,a +b 共面,则存在实数x 、y →→→→→→
使a +b =x (c +b ) +y (a +c ) →→→→
( c +b 与a +c 不共线)
→→→
即(1-y ) a +(1-x ) b +(x +y ) c =0
1-y 与1-x ,x +y 不可能全为零 →→→
∴a 、b 、c 共面,矛盾
→→→→→→
于是(a +b ) 、(b +c ) 、(c +a ) 不共面
→→→→→→
例4. 若向量a 、b 、c ,t (a +b +c ) 的起点相同,终点在同一平面内, →→→
求t 的值(t ∈R )(a 、b 、c 不共面) 。
→→→→→→
解:设a 、b 、c ,t (a +b +c ) 的起点为O ,终点分别为A 、B 、C 、D →→→
则AB 、BC 、AD 共面
→→→→→
于是存在实数x 、y ,使AB =x BC +y AD (BC 与AD 不共线) →→→→→→→⎤⎡→
即b -a =x (c -b ) +y ⎢t a +t b +t c -a ⎥
⎣⎦
→→→
⇔(yt -y +1) a +(yt -x -1) b +(yt +x ) c =0
⎧1+yt -y =0⎪
令⎨yt -x -1=0
⎪yt +x =0⎩
⇒t =
13
→→→→→→
例5. 已知a 、b 、c 两两之间的夹角为60°,模都为1,求|a -b +2c |. →→→→→→→→→
2
解: |a -b +2c |=(a -b +2c ) ⋅(a -b +2c )
→→→→→→→→→222
=|a |+|b |+4|c |-2|a ||b |co s 60-4|b ||c |co s 60+4|a ||c |co s 60=5 →→→ ∴|a -b +2c |=
→→→
例6. 若O A 、O B 、O C 互相垂直,求证∆ABC 为锐角三角形。
A C
B
→→→→→→
证明: AC ⋅AB =(O C -O A )(O B -O A ) →→→→→→→
2
=O C ·O B -O C ·O A +|O A |-O A ·O B
→
=|O A |2>0
→→
∴c o s 0,于是∠A 为锐角
同理可证∠B 、∠C 均为锐角。 ∴△ABC 为锐角三角形。
例7. 已知在平行六面体ABCD —A ’B’C’D’中,AB=AD=3,AA ’=5,∠BAD=90°,∠BAA ’=∠DAA ’=60°。 (1)求证AC’⊥BD ; (2)AC’的值。
D ’ C ’
C
→→→→→→→ 证:(1) AC ' ·BD =(AB +BC +CC ') ·(AD -AB ) →→→→→→→→→→→
2
=AB ·AD -|AB |+BC ·AD -AB ·BC +CC · AD -CC · AB
→→→→→→→→→→
22
=AB ⋅AD -AB ⋅AD +|BC |-|AB |+|AA '|⋅|AD |cos60-|CC '|⋅AB cos 60=0
∴AC ' ⊥BD
→→→→→→→
2
(2) |AC '|=(AB +BC +C C ') ·(AB +BC +C C ') →→→→→→→→→
222
=|AB |+|BC |+|CC '|+2(AB ·BC +AB ·CC ' +BC ·CC ')
=3+3+5+2(3⨯5cos 60°+3⨯5cos 60°) =73 ∴|AC '|=
73
222
【模拟试题】
基础巩固题
1. 给出下列命题:
(1)a=“从南昌往正北平移6km ”,b=“从北京往正北平移3km ”,那么a=2b; (2)(a +b ) +λc +λ(a +d ) =b +(1+λ) a +λ(c +d )(λ∈R ) ;
(3)把正方形ABCD 平移向量m 到A ' B ' C ' D ' 的轨迹所形成的几何体,叫做正方体; →→
(4)有直线l ,且l //b ,在l 上有点B ,若AB +CA =2b ,则C ∈l 。
其中正确的命题是( )
A. (1)(2) B. (3)(4) C. (1)(2)(4) D. (1)(2)(3)
→
2. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,下列关于AC 1的表达式中错误的是( ) →→→
A. AA 1+A 1B 1+A 1D 1 →→→
B. AB +D D 1+D 1C 1
C. AD +C C 1+D 1C 1 D.
12
→→→(A B 1+C D 1) +A 1C 1
→→→
3. 以下四个命题正确的是( )
→1→1→
A. 若O P =O A +O B ,则P 、A 、B 三点共线
23
B. 若{a 、b 、c }为空间的一个基底,则{a +b 、b +c 、c +a }构成空间的另一个基底 C. |(a ⋅b ) c |=|a |⋅|b |⋅|c |
→→
D. △ABC 为直角三角形的充要条件是A B ·A C =0
4. 给出下列命题
(1)已知a ⊥b ,则a ⋅(b +c ) +c ⋅(b -a ) =b ⋅c ;
→→→
(2)A 、B 、M 、N 为空间四点,若BA 、BM 、BN 不构成空间的一个基底,那么A 、
B 、M 、N 共面;
(3)已知向量a ⊥b ,则a 、b 与任何向量都不能构成空间的一个基底;
(4)已知向量{a ,b ,c }是空间的一个基底,则基向量a 和b 可以与向量m =a +c 构成空间另一个基底。
其中正确命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 如图所示,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ,点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点,则a 是下列哪个向量的数量积?( )
→→
A. 2BA ·AC
2
→→B. 2AD ·BD →→D. 2EF ·C B
→→
C. 2FG ·CA
B D
6. 已知a ,b 是异面直线,A ,B ∈a ,C ,D ∈b ,AC ⊥b ,BD ⊥b ,且AB =2,CD=1,则a 与b 所成的角是( ) A. 30°
强化提高题
7. 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3,M 是CC 1上一点且|CM |=1,N 是DD 1上
→→→
一点且|DN |=2,P 为C A 1的中点,则|M N |+|PM |+|PN |=_______。
B. 45° C. 60° D. 90°
8. 长为4的向量a 与单位向量e 的夹角为___________。
2π3
,则向量a 在向量e 方向上的投影向量为
9. 在空间平移正△ABC 到△A 1B 1C 1得到如图所示的几何体。若D 是AC 的中点。AA 1⊥平面ABC ,A A 1:A B =
2:1,则异面直线AB 1与BD 所成的角是__________。
A A 1
1 B B 1
10. 设OE 是以OA ,OB ,OC 为棱的平行六面体的对角线,OE 交平面ABC 于M ,试用向量法证明M 是△ABC 的重心。
【试题答案】
基础巩固题
1. C 6. C
2. B
3. B
4. C
5. B
→→→→
提示: AB =AC +CD +DB
→→→→→→
∴AB ·C D =(AC +C D +D B ) ·C D =1
→→cos AB ,C D
→→AB ·C D 1==2|AB |·|C D |
适合用直角坐标系求解。
强化提高题
7.
10+
→
8. -2e
9. 60°
解1:设AB =a ,AA 1=
2a
→→→→→→→AB 1·BD =(AB +BB 1) ·BD =AB ·BD +0
=a ·
32
a ·cos 150=-
343
a
2
→→又|AB 1|·|BD |=
3a ·-=
3
2a
2
a =
3212
a
2
→→
∴cos AB 1,BD
432a 2
=-⇒
→→AB 1,BD
=120°
解2:如图所示,∠AB 1E 为所求。
A A 1
E 1 B B 1
→→→→→→
10. 证明:设O A =a ,O B =b ,O C =c →1→
取BC 中点D ,连DA ,取D M ' =D A
3
即M’是△ABC 重心,下面证M’与M 重合
→→→1
→→1⎛1→1→→⎫ O M ' =O D +D M ' =(b +c ) + -b -c +a ⎪
⎭23⎝22
→→→1
=(a +b +c ) 3
→→→→又O E =a +b +c →1→
∴O M ' =O E
3
∴M ' 在O E 上,又M ' ∈平面ABC
∴M ' 与M 重合 故M 是△ABC 的重心。
E