数列压轴题1
数列压轴题
1、 设关于x 的一元二次方程a n x 2-a n +1x +1=0(n ∈N ) 有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3。
(1)试用a n 表示a n +1;
2⎫⎧(2)求证:数列⎨a n -⎬是等比数列; 3⎭⎩
(3)当a 1=
2、已知数列{a n }满足a 1=0,对任意m , n ∈N +有a 2m -1+a 2n -1=2a m +n -1+2(m -n ) 2 a 2=2,
(1)求a 3,a 5;
(2)设b n =a 2n +1-a 2n -1(n ∈N +) ,证明:{b n }是等差数列;
(3)设c n =(a n +1-a n ) q n -1(q ≠0, n ∈N +) ,求数列{c n }的前n 项和S n 。
7时,求数列{a n }的通项公式。 6
1、解:(1)根据韦达定理,得α+β=a n +11,α•β=, 由6α-2αβ+6β=3 a n a n
a 211得 6⋅n +1-=3, 故a n +1=a n + a n a n 23
2
21112(2)证明:因为=1, a n +1-=a n -=(a n -), 所以323232a n -3a n +1-
2、(1)由题意,令m=2,n=1,可有a 3=2a2﹣a 1+2=6
再令m=3,n=1,可有a 5=2a3﹣a 1+8=20
*(2)当n ∈N 时,由已知(以n+2代替m )可有
a 2n+3+a2n ﹣1=2a2n+1+8
于是[a2(n+1)+1﹣a 2(n+1)﹣1]﹣(a 2n+1﹣a 2n ﹣1)=8
即b n+1﹣b n =8
∴{bn }是公差为8的等差数列
(3)由(1)(2)解答可知{bn }是首项为b 1=a3﹣a 1=6,公差为8的等差数列 则b n =8n﹣2,即a 2n+1﹣a 2n ﹣1=8n﹣2
另由已知(令m=1)可有
a n =﹣(n ﹣1). 2
∴a n+1﹣a n =
n ﹣1﹣2n+1=﹣2n+1=2n 于是c n =2nq.
当q=1时,S n =2+4+6++2n=n(n+1)
012n ﹣1当q ≠1时,S n =2•q +4•q +6•q +…+2n•q .
两边同乘以q ,可有
qS n =2•q +4•q +6•q +…+2n•q .
上述两式相减,有
(1﹣q )S n =2(1+q+q+…+q
=2•﹣2nq n 2n ﹣1123n )﹣2nq n
=2
•
∴S n =2• 综上所述,S n = .