含参数二次函数区间最值问题的优化解法
GZSLH
圆圈圃圈
含参数二次函数区I司最值问题是一种常见题型.解这类题目的常规方法是根据函数图像的对称轴与定义域区间的相对位置对参数进行讨论,若按这一方法处理,有时计算量大,容易出错.但在解题时若能充分挖掘题目的隐含条件,抓住问题的本质,可避免讨论或减少讨论的环题途径.
1舍弃细节。整体分析
例1函数厂(z)一口一+(2以一1)z+1
在,说明理由.
在区间[一号,2]上的最大值为3,求实数以
的值.
分析按常规需分类讨论:①n是否为o;②口≠o时,抛物线开口方向;③对称轴
分析厂(z)一一专(z+1)2+专,按常
规,需分m<一l<咒,优<行<一1,一1<m<卵等3种情形讨论.但若考虑到
厂(z)一一昙(z+1)z+丢≤丢,
,
是否穿过区间[一号,3];④对称轴过区间
厶
时,还要看对称轴与区间端点的距离,须分7种情况.但若从整体角度去分析,则有如下结论:二次函数在闭区间上的最值必在区间的端点或抛物线的顶点处取得,可有如下解法.
则有n≤寺,所以区间[m,n]恒在对称轴左
z
侧,因而,(z)在[m,行]为增函数・
L-广(z)-Jm-n一,【mJ—m’
L.广oz)_|一一,L刖一",
解二次函数的最大值只能在一芸、2、即一专m2一m一优,一专行2一咒一,z・
銎}处取得,而厂(一导)一3,则以一一导.
9
又m<以<专,故m一一4,孢一o・
点评先对定义域区间对称轴位置作出判断是避免讨论的常用方法.
7
此时厂(z)一一亏z2一言z+1・
对称轴z一丢<一扣一号符合3繁詈嚣耋言州扎n函数
题意.若厂(2)一3,则口一告,厂(z)一吉z2+l
。,,
1
厂(z)一z2+(&一4)z+4—2口的值恒大于o,试求z的取值范围.
符合题意.若厂(气≯)一3,则a一一专,此不在定义域内,以一一丢不符合题意.
6n
1
蝴加一专弘2州鹏轴z一鬈麓望薯鬻翟萋凳鬻
解令g(口)一(z一2)口+≯一4z+4,则
有g(一1)>0且g(1)>0,即扩一5z+6>0
分析由于思维定势的影响,将函数看
综上可得以一一寺或n一告.
2直觉判断,定位分析
且z2—3z+2>o.
所以z>3或z<1即为所求・
高中数理化2005—01
—5一
万方数据
含参数二次函数区间最值问题的优化解法
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):
鲁文敏
河北省承德实验高中,067400高中数理化
GAOZHONG SHU-LI-HUA2005(1)
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