高一数学均值不等式检测考试题2
3.2 均值不等式第二课时 优化训练
11
1．若lg x ＋lg y ＝2，则 ( )
x y
11A. B. 2051C. D ．2
2
1
y
的2＋
ac
a
)
解析：选A. 这是一个和三角函数有关的最值问题，首先要根据三角函数和与差的公式，写出x －y 的一个函数关系式．tan(x －y ) tan x －tan y 3tan y －tan y 2tan y 22＝＝＝＝≤＝1＋tan x tan y 1＋3tan y tan y 1＋3tan 2y 13
3tan y tan y 3ππ3
0
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π
－y 的最大值为6
4．设a ，b ，c ，d ∈R ，a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1，则abcd 的最大值等于________．
解析：因为a 2＋b 2＝1≥2|ab |，c 2＋d 2＝1≥2|cd |，
1
所以1≥4|abcd |，即abcd 的最大值为4
1
513
当且仅当4x －5＝，即x ＝
4x －52
2．(2009年高考天津卷) 设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比
11
中项，则( )
a b
A ．8 B ．4
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a b
1D. 4
解析：选B. 由条件知3a ·3b ＝3，∴a ＋b ＝1， 111111b a b a ＋()·1＝(a ＋b ) ＝2＋＋当且仅当，C ．1
a b a b a b a b
1
即a ＝b ＝
2
3．下列不等式中恒成立的是( )
用三角换元来解．
令a ＝cos θ，b ＝sin θ，x 3cos φ，y ＝3sin φ， 则ax ＋by ＝cos θ·3cos φ＋sin θ·3sin φ 3cos(θ－φ)≤3，故选B.
111
5．设M ＝(1)(1)(1) 且abc ＝1(其中a ，b ，c 均为正数) ，
a b c
则M 的取值范围是( )
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1
A ．[0，8
C ．[1,8) 解析：选
a b c
abc )≥2bc ac ab ＝8abc ＝8(当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等
号成立) ．
1
6．设a ＞b ＞0，那么a ＋( )
2
1
B ．[1)
8
D ．[8，＋∞)
111
D. M ＝(＋abc )(＋abc )(＋
2
，
． ＋2a 9．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则__________．
a b
答案：[4，＋∞)
2
y
10．x ，y ，z ∈R ＋，x －2y ＋3z ＝0，求
xz x ＋3z y 2x 2＋9z 2＋6xz
解：由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝，代入，得
2xz 4xz
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6xz ＋6xz ≥＝3，当且仅当x ＝3z 时，等号成立．
4xz
y 2
的最小值是3. xz
11．如图，某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，在温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植
由
当且仅当2x ＝，
x
即x ＝40∈(4,400)时等号成立，
因此当矩形温室的边长各为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648 m2.
12. 如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个下底宽为2 m 的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，
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设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60 m 2，问当a ，b 各为多少时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(A ，B 孔的面积忽略不计)
k
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