§实验7用扭摆法测定物体转动惯量
§实验7用扭摆法测定物体转动惯量
一、实验目的
1．学会扭摆法测量物体转动惯量的基本原理和实现方法。
2．理解“对称法”验证平行轴定理的实验思想，学会验证平行轴定理的实验方法。
3．学习间接比较法测量转动惯量的实验方法，掌握定标测量思想方法。
4．学会光电转换测量时间的累积放大法。
5．掌握直接测量和间接测量不确定度的估算方法。 6．学会判断理论和实验是否相符的作图法。
二、实验器材
（1）转动惯量测试仪：通过扭摆摆动测量转动惯量，验证平行轴定理；光电门：通过光电传感器测量物体摆动的周期。
（2）电子天平、托盘天平：测量待测物体的质量。 （3）米尺、卡尺：测量待测物体的长度和直径。
（4）待测物体：金属载物盘，塑料圆柱，金属圆筒，金属细杆，金属滑块等。
三、实验原理
1. 转动惯量:转动惯量是表征转动物体惯性大小的物理量，是研究、设计、控制转动物体运动规律的重要工程技术参数。如钟表摆轮、精密电表动圈的体形设计、枪炮的弹丸、电机的转子、机器零件、导弹和卫星的发射等，都不能忽视转动惯量的大小。因此测定物体的转动惯量具有重要的实际意义。刚体的转动惯量与刚体的质量分布、形状和转轴的位置都有关系。对于形状较简单的刚体，可以通过计算求出它绕定轴的转动惯量，但形状较复杂的刚体计算起来非常困难，通常采用实验方法来测定。
2. 实验方法及测量公式简介:转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定形式运动，通过表征这种运动特征的物理量，与转动惯量的关系，进行转换测量。本实验使物体作扭转摆动，由于摆动周期及其它参数的测定计算出物体的转动惯量。
扭摆的构造如图1所示，在垂直轴1上装有一根薄片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。在轴的上方可以装上各种待测物体。垂直轴与支座间装有轴承，以降低摩擦力矩，3为水平仪，用来调整系统平衡。
将物体在水平面内转过一角度θ后，在弹簧的恢复力矩作用下，物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。根据虎克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M 与所转过的角度θ成正比，即：
M =-k θ( k为弹簧的扭转常数)
（2-7-1）
根据转动定律M =I β( I为物体绕转铀的转动惯量，β为角加速度) ，即β=
（2-7-2）
令ω=
2
M
I
k
，且忽略轴承的摩擦阻力矩，由以上两式（2-7-2）可得：
I
d 2θk 2
=-θ=-ωθ β=2
I dt
（2-7-3）
上述方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性，角加速与角位移成正比，且方向相反，此方程的解为：
θ=A cos(ωt +φ)
式中，A 为谐振动的角振幅，φ为初相位角，ω为角速度。此谐振动的周期为：
T =
2π
ω
=2π
I
k
（2-7-4）
由（2-7-4）式可知，只要实验测得物体扭摆的摆动周期，并在I 和k 中任何一个量已知时即可计算出另一个量。
四、仪器装置简介
实验中出主要仪器为转动惯量测试仪，下面简单介绍组成及使用方法。 1. 转动惯量测试仪
由主机和光电传感器两部分组成。主机采用新型的单片机作控制系统，用于测量物体转动和摆动的周期，以及旋转体的转速，能自动记录、存贮多组实验数据并能够精确地计算多组实验数据的平均值。光电传感器主要由红外发射管和红外接收管组成，将光信号转换为脉冲电信号，送入主机工作。因人眼无法直接观察仪器工作是否正常，但可用遮光物体往返遮挡光电探头发射光束通路，检查计时器是否开始计数和到预定周期数时，是否停止计数。为防止过强光线对光探头的影响，光电探头不能置放在强光下，实验时采用窗帘遮 光，确保计时的准确。
3. 仪器使用方法
（1）调节光电传感器在固定支架上的高度，使被测物体上的挡光杆能自由往返地通过光电门，再将光电传感器的信号传输线插入主机输入端（位于测试仪背面）。
（2）开启主机电源，摆动指示灯亮，参量指示为“P1、数据显示为„┈‟”。
（3）本机默认扭摆的周期数为10，如要更改，可参照仪器使用说明3，重新设定。更改后的周期数不具有记忆功能，一旦切断电源或按“复位”键，便恢复原来的默认周期数。
（4）按“执行”键，数据显示为“000.0”，表示仪器已处在等待测量状态，此时，当被测的往复摆动物体上的挡光杆第一次通过光电门时，由“数据显示”给出累计的时间，同时仪器自行计算周期C1予以存贮，以供查询和作多次测量求平均值，至此，P1（第一次测量）测量完毕。
（5）按“执行”键，“P1”变为“P2”，数据显示又回到“000.0”，仪器处在第二次待测状态，本机设定重复测量的最多次数为5次，即（P1，P2…P5）。通过“查询”键可知各次测量的周期值C 1（I ＝1，2…5）以及它们的平均值CA 。
五、实验内容
1. 预习准备
熟读实验原理，认真设计实验内容。熟悉实验仪器的使用方法和注意事项。自行设计实验步骤和实验数据表格。拟定实验数据处理方法，，预习并复习不确定度计算方法。写好预习实验报告，准备实验。 2. 实验前准备
明确实验内容！（1）调节扭摆水平和转动惯量测试仪处于测量状态。（2）测定扭摆的仪器常数即弹簧的扭转常数。（3）测量塑料圆柱体、金属圆筒和木球的转动惯量，并与理论值比较，计算百分误差。4）测量滑块位置不同时的转动惯量，验证转动惯量平行轴定理。
观察实验仪器，了解仪器结构和原理，看是否与自己预习的相同。 3. 开始实验
按预习报告设计好的实验步骤及现场观察有条不紊的进行实验。以下实验步骤仅供参考：
1．测出塑料圆柱体的外径、金属圆筒的内、外径、木球直径、金属细长杆长度及各物体质量（各测量3-6次）。
2. 调整扭摆基座底脚螺丝，使水平仪的气泡位于中心。
3. 弹簧的扭转常数及塑料圆柱体、金属圆筒和木球转动惯量的测量
（2-7-5）
其中I 1' 为塑料圆柱体的转动惯量的理论值，T 0、T 1为金属载物盘空转和放入塑料圆柱后共同摆动时的摆动周期。思考：为什么用此公式计算扭转常数k ，如何推导？怎样测量？
4. 分别测量金属载物盘、塑料圆柱. 金属圆筒和木球的转动惯量的摆动周期，各测6次。在计算木球的转动惯量时，应扣除支架的转动惯量）。
5. 验证平行轴定理：取下其他待测物，在支架上装上金属细杆（金属细杆中心必须与转轴重合）。测定摆动周期。（在计算金属细杆的转动惯量时，应扣除支架的转动惯量）。再将滑块对称放置在细杆两边的凹槽内，分别测出滑块质心离转轴的距离分别为5.00、10.00、15.00、20.00、25.00厘米，的摆动周期T 。验证转惯量平行轴定理。（在计算转动惯量时，应扣除支架的转动惯量）。 注意事项
1．扭摆的基座应保持水平状态。
2．光电探头宜放置在挡光杆的平衡位置处，挡光杆不能和它相接触，以免增大摩擦力矩。
3．在安装待测物体时，其支架必须全部套入扭摆主轴，将制动螺丝旋紧，否则扭摆不能正常工作。
4．在测定各种物体的摆动周期时，扭摆的摆角应在900附近。 5．在称金属细长杆和木球的质量时，必须取下支架和夹具。 6．扭摆的弹簧有一定的使用寿命和强度，千万不要随意玩弄。 4．转动惯量平行轴定理
理论分析证明，若质量为m 的物体绕通过质心轴的转动惯量为I 0时，当转轴平行移动距离x 时，则此物体的转动惯量变为I 0+mx 2。称为转动惯量的平行轴定理。
I ' 1
k =4π2
2
T -T 10
2
六、实验数据及其处理
1. 原始数据
2. 数据处理
2.1各测量量的平均值x 和不确定度σ（要有计算过程，结果填入表格，不确定度
σ=
∑(x
i =1
n
i
-x ) 2
）
n (n -1)
2.2弹簧的扭转常数
（1）塑料圆柱的转动惯量理论值（数据仅做为举例使用）
1
I 1'=m 2=8. 895⨯10-4(kg . m 2)
8
⎛2σ⎫' ⎛σ⎫=0. 009⨯10-4(kg . m 2) 估算不确定度：σI ' =I 1 m ⎪+ ⎪ ⎪1
⎝m ⎭⎝⎭
'=(8. 895±0. 009) ⨯10-4(kg . m 2) 塑料圆柱转动惯量理论值结果表示：I 1
（2）测量扭转系数
仪器弹簧的扭转系数k ：
' I 18. 895⨯10-42
k =4π=4π=3. 5470⨯10-2(kg . m 2. s -2=N . m ) 2222
1-01. 2400-0. 74000
2
22
估算不确定度：
4π2
σk =2
1-02
σI 2
' 1
⎛2I 1' 11
+ 2
2 1-0
⎝⎛2I 1' 0σ⎫
0⎪+ 22⎪ 1-0
⎭⎝
2
⎫
⎪=0. 004⨯10-2(N . m ) ⎪⎭
-2
2
扭转常数k 的结果表示：k =(3. 547±0. 004) ⨯10(N . m ) 2.3测量金属载物盘、塑料圆柱. 金属圆筒和木球的转动惯量
（1）金属载物盘的转动惯量I
I 1=
=
2
k 023. 547⨯10-2⨯0. 74000
==4. 925⨯10-4(kg . m 2) 22
44⨯3. 14
（2）塑料圆柱的转动惯量测量值
k 123. 547⨯10-2⨯1. 242
-I =-4. 925⨯10-4=8. 904⨯10-4(kg . m 2) 022
4π4⨯3. 14
'I 1
8. 895
'8. 904-8. 相对百分误差：B =I 1-I 1 ⨯100%=⨯100%=0. 1%
（3）金属圆筒的转动惯量 11理论值：I 2'=m (D 2+d 2) =⨯0. 6902⨯(99. 972+93. 932) ⨯10-6=1. 623⨯10-3(kg . m 2)
8
8
测量值：I 2=1kT 22-I 0=1⨯3.547⨯10-2⨯1. 542-4. 925⨯10-4=1. 640⨯10-3(kg . m 2)
4π24π2
相对百分误差：B =
'I 2-I 2. 640-. ⨯100%=⨯100%=1%
'I 21. 623
（4）木球的转动惯量
11理论值：I 3'=mD 2 =⨯0. 7235⨯136. 12⨯10-6=1. 340⨯10-3(kg . m 2)
10
10
测量值：I 3=1kT 2-I 球支架=1⨯3.547⨯10-2⨯1. 222-0. 179⨯10-4=1. 339⨯10-3(kg . m 2) 22
4π
4π
'. 339-1. 相对百分误差：B =I 3-I 3
⨯100%=⨯100%=0. 07%
'I 3
1. 339
2.4. 验证平行轴定理
表2-7-5 滑块在不同位置x 时的转动惯量
滑块质量0.4587kg 。
（1）作I x ～x 2图线
x
I x 与x 2的线性拟合关系为
I x ＝0.0482x 2+0.0277，其中单位的I x 为10-3kg.m 2；x 2的为10-4m 2。
由此可知，两个金属滑块的质量m ＝0.482kg ；两个金属滑块绕质心轴的转动惯量I c ＝0.277×10-4kg.m 2。
（2）金属细杆转动惯量的理论值和实验值
‘
金属细杆的转动惯量理论值I 杆：
'=I 杆
14π
2
11
mL 2=⨯0. 1335⨯0. 61002＝4. 140⨯10-3(kg . m 2) 1212
14π
2
金属细杆的转动惯量测量值I 杆：
I 杆=
kT 42-I 杆支架=
⨯3.547⨯10-2⨯2. 152-0. 232⨯10-4＝4. 134⨯10-3(kg . m 2)
相对百分误差：B =
'I 杆-I 杆
'I 4
⨯100%=
4. 134-4. 4. 140
⨯100%=0. 14%
3. 实验结果与结论
在常温常压条件下，测量结果为：
1．扭转常数
k =(3. 547±0. 004) ⨯10-2(N . m ) B =0. 12%
2．金属载物盘、塑料圆柱. 金属圆筒和木球的转动惯量
3．验证平行轴定理实验结果与理论相符。
七、问题与讨论（根据学生能力选答）
1. 预习思考题
(1)扭摆的基座为什么要保持水平？
(2)弹簧的扭转常数测量公式如何得到？ 2. 分析思考题
(1)计算金属圆筒的转动惯量测量值时为什么要减去载物金属盘的转动惯量？ (2)验证平行轴定理时为什么要I x =I 杆块-I 杆？
k =4π
2
I ' 1
T 12-T 02