[等差数列求和公式]教案
等差数列求和公式
一、教材分析:
数列在生产实际中的应用范围很广,而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材,同时也是学生进一步学习数学的必备的基础知识。
二、学生分析:
数列在对于我们的学生来说是难点,因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础,所以新课的引入非常重要
三、教学目标:
1.与技能目标:掌握等差数列前n 项和公式,能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。
2.过程与方法目标:培养学生观察、归纳能力,应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。
3.情感、态度与价值观目标:体验从特殊到一般,又到特殊的认识事物的规律,培养学生勇于创新的科学精神。
四、教学重点与难点:
等差数列前n 项和公式是重点。
获得等差数列前n 项和公式推导的思路是难点。
课堂系统部分:
五、教学过程
1.问题呈现
泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(见左图),
问题1:你知道这个图案一共花了多少宝石吗?
2:图案中,第1层到第21层一共有多少颗宝石?
也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形,
, 如何将图与高斯的逆序相加结合起来, 让
, 将两个三角形拼成平行四边形.
(1+21) ⨯21s =获得算法: 212
设计说明:
• 源于历史,富有人文气息.
• 图中算数,激发学习兴趣.
这一个问题旨在让学生初步形成数形结合的思想, 这是在高中数学学习中非常重要的思想方法. 借助图形理解逆序相加, 也为后面公式的推导打下基础.
2.探究发现:
问题3:如何求等差数列 {a n }的前n 项和S n ?
由前面的例子,不难用逆序相加法推出
s n =a 1+a 2+a 3+ +a n s n =a n +a n -1+a n -2+ +a 1 n (a 1+a n ) ∴s = n 2
3.公式应用
例题1:
2008年北京奥运会的体育馆已初步建成,其中有一块地的方砖成扇形铺开,有人数了第一排的方砖个数为10个,最后一排的方砖个数为2008个,而且一共有36排,问这一块地的方砖有多少块?
本例提供了许多数据,学生可以从题目条件发现,只告知了首项、尾项和项数,于是从这一方向出发,可知使用公式1,达到学生熟悉公式的要素与结构的教学目的。
通过两种公式的比较,引导学生应该根据信息选择适当的公式,以便于计算。 例题2:
2003年医护人员积极致力于研究人体内的非典病毒,已知一个患病初期的人人体内的病毒数排列成等差数列,且已知第一排的病毒数是2个,后面每一排比前一排多3个,一共有78排,问这个人体内的病毒数有多少个?
本例已知首项,公差和项数,引导学生使用公式2。
事实上,根据提供的条件再与公式对比,
便不难知道应选公式。
例题3:
甲从A 地出发骑车去B 地,前1分钟他骑了了400米,后来每一分钟都比前一分钟多骑5米,当他到达B 地时的那一分钟内骑了500米,问A 地和B 地之间的距离?
本例题欲求AB 间的距离,实质求甲共骑了多少米。已知首项400,公差为5和末项为500,可求出项数为21,然后引导学生使用公式1。
本题需要用到通项公式求项数,作为中间的桥梁。
4.练习:
练习1:
一个堆放铅笔的V 型的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,放了120层,这个V 形架上共放着多少支铅笔?
解:由题意可知,自下而上各层的铅笔成等差数列,且首相为1,项数为120,
公差为1,选用公式1可得结果。
答:V 形架上共放着7260支铅笔
练习2:
工地上放了一堆钢管,已知最下一层为20个,最上面一层为2个,且放了5层 ,问这一堆钢管的个数?
解:钢管由上至下为等差数列,已知首相为2,末项为20,项数为5,选
用公式1可得结果
答:工地上的钢管一共有55个
练习3:
舞蹈队对舞蹈员进行排队,已知第一个身高为1.58m, 后面每个舞蹈员比前面一个舞蹈员高0.2m ,且最后一个舞蹈员为1.72m ,问这些舞蹈员的总身高为多少?
解:舞蹈员由前至后成等差数列,已知首相为1.58,末项为1.72,公差为
0.2,可利用通项公式求出项数为8,选用公式1可得结果
答:这些舞蹈员的总身高为13.2m
课堂小结:
回顾从特殊到一般的研究方法;
体会等差数列的基本元表示方法,逆序相加的算法,及数形结合的数学思想; 掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。