两点间的距离
7.1 两点间距离
一、 教学目标
1．使学生理解并掌握平面上任意两点间的距离公式． 2．①教学中渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的思想．
②“数”和“形”结合转化思想．
3. 让学生在民主，和谐的共同活动中感受学习的乐趣。 二、 教学重点与难点 重点 猜测两点间的距离公式．
难点 对解析几何的理解，运用解析几何的方法解题 三、 教学过程
(一) 创设情境
1. 一磁铁在方形网格上运动到任意点所处的位置能不能准确说出？
引导学生建立直角坐标系，以此引出解析几何。
平面解析几何能把平面几何图形数字化，即能用数字来描述几何图形
和它的特性；所采用的基本方法，就是把几何图形放置到确定的直角坐标系中，以坐标来描述图形、探求特性． (二) 学生活动
2. 两块磁铁分别在一水平线上和铅垂线上时的距离？
引导回顾直线上两点间的距离
若A , B 都在x 轴(数轴) 上，且坐标为A (x 1,0) B (x 2,0) ，初中我们已经学过，数轴上A , B 两点的距离为
|AB |=|x 2-x 1|．
同理，若A , B 都在y 轴上，坐标为A (0,y 1), B(0,y 2) ，则A , B 间的距离|AB |=|y 2-y 1|
(三) 建构数学
问题3|两磁铁在任意两个位置时的距离？ 推测任意两点间已知两点
A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 间的距离如图1
若A , B 至少有一点不在坐标轴上，设
A , B 的坐标为A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ．过A , B 分别作
x , y 轴的垂线，垂线延长交于C (见图1，不难看出 C 点的坐标为(x 1, y 2) ，则 |AC |=|y 2-y 1|，|BC |=|x 2-x 1|，
由勾股定理
图1
|AB |=
AC
2
+BC
2
=
(x 1-x 2)
2
+(y 1-y 2)
2
．
由此得平面内两点间的距离公式：已知平面内两点A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，则 |AB |=
(x 1-x 2) +(y 1-y 2)
2
2
．
问题4观察此公式的特点？还可以怎么写？
特点：根号下的式子是横坐标减去横坐标的平方与纵坐标减去纵坐标的平方和！ 还可以写为|AB |=
(x 2-x 1) +(y 2-y 1)
2
2
问题5此公式能解决那些问题？
(四) 例题教学
例1 求A (-4,4),B (8,10)间的距离|AB |．
解 x 1=-4, y 1=4；x 2=8, y 2=10，应用公式(7-1-1)， |AB |=
(x 1-x 2)
2
+(y 1-y 2)
=
(-4-8)
2
+(4-10)
2
=
=6
5
．
例2 已知点A (-1,-1), B (b ,5) ，且|AB |=10，求b ． 解：据两点间距离公式， |AB |=
[b -(-1)]
2
+[5-(-1)]
2
=(b +1)
2
+36
=10，
解得 b =7或b =-9．
例3 站点P 在站点A 的正西9km 处，另一站点Q 位于P , A 之间，距P 为5km ，且东西向距A 为6km ，问南北向距A 多少？
解 以A 为原点、正东方向为x 轴正向建立坐标系如
图7-4，则P 的坐标为(-9,0)，|PQ |=9．设Q 坐标为(x , y ) ， 则x =-6，据题意要求出y ．
据两点间距离公式(7-1-1) |PQ |=(-9+6) 2+(0-y ) 2=5， 解有两个，答
案却只有一解得 y =±4， 个，为什么？
即站点Q 在南北向距A 是4km ．
图7-4
例4 如图7-5，点A , B , C , D 构成一个平行四边形， 求点D 的横坐标x ．
解 因为ABCD 是平行四边形，所以对边相等， |AB |=|CD |, |AC |=|BD |．
由距离公式(7-1-1)
|AB |= |AC |= |CD |= |BD |=
(-2+1)
2
怎么会有两个答案呢？解释一下。
+(1-3)
2
=5
； ；
2
(-2-2)
2
+(1-2)
2
+4
图7-5
=(x -2)
2
+(4-2)
2
=(x -2)
(x +1)
2
+(4-3)
2
=(x +1)
2
+1
由|AC |=|BD |得
=
(x +1)
2
+1
，x =-1±4；
由|AB |=|CD |，知x 只能取-1+4=3．
所以当点A , B , C , D 构成一个平行四边形时，点D 的横坐标x =3，即D 的坐标为(3,4)． (五) 巩固练习 1. 求|AB |：
(1)A (8,6),B (2,1)；(2)A (-2,4),B (-2,-2)．
2. 已知A (a ,-5), B (0,10)间的距离为17，求a ．
3. 已知A (2,1),B (-1,2),C (5,y ) ，且∆ABC 为等腰三角形，求y 。
(六) 课堂小结
本节课主要学习了什么？可以解决哪一类的问题？你还有什么疑问？ 学生答教师补充 (七) 布置作业
(1)A (8,2),B (2,6)；(2)A (-2,3),B (5,3)．
2. 已知A (-2,-5), B (a,10)间的距离为17，求a ．
3. 已知A (2,1),B (-1,2),C (5,y ) ，D(3,4) 且∆ABCD 为形，求y