二元一次方程组导学案
课题:第五章 二元一次方程组 第一节 认识二元一次方程组 【学习目标】
(1)理解二元一次方程(组)及其解的概念, 能判别一组数是否是二元一次方程(组)的解;
(2)会根据实际问题列简单的二元一次方程或二元一次方程组; 【学习重难点】
重点:(1)掌握二元一次方程及二元一次方程组的概念,理解它们解的含义;
(2)判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.
难点:从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程,体会方程的模型思想. 预习案 一、旧知回顾
1、什么叫方程?什么叫做一元一次方程? 2、什么叫做方程的解?
二、教材助读
1、含有 个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 的整式方程叫做二元一次方程。
2、适合一个二元一次方程的一组 ,叫做这个二元一次方程的一个解. 3、含有两个未知数的两个一次方程所组成的 叫做二元一次方程组. 4、二元一次方程组中各个方程的 ,叫做这个二元一次方程组的解.
探究案
(一)基础知识探究
探究点一:理解二元一次方程和二元一次方程组的概念
例1:在一望无际的呼伦贝尔大草原上,一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着,老牛喘着气吃力地说:“累死我了”,小马说:“你还累,这么大的个,才比我多驮2个”老牛气不过地说:“哼,我从你背上拿来一个,我的包裹就是你的2倍!”,小马天真而不信地说:“真的?!”同学们,你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢?
设老牛驮x 个包裹,小马驮y 个包裹,老牛的包裹数比小马多2个,由此得
方程 ;若老牛从小马背上拿来1个包裹,这时老牛的包裹是小马的2倍, 得方程:
例2 昨天,有8个人去红山公园玩,他们买门票共花了34元. 每张成人票5元,每张儿童票3元. 那么他们到底去了几个成人、几个儿童呢?你能列出方程或方程组吗?
想一想:上面两个问题中,我们得到的这些方程各含有几个未知数?含未知数的项的次数是多少?
归纳总结:含有 未知数,并且所含未知数的项的次数都是 的整式方程叫做二元一次方程。
思考:上面的方程x -y =2,x +1=2(y -1) 中的x 含义相同吗?y 呢?(两个方程中x 的表示老牛驮的包裹数,y 表示小马的包裹数,x 、y 的含义分别相同. )由于x 、y 的含义分别相同,因而必同时满足x -y =2和
x +1=2(y -1)
,我们把
⎧x -y =2, 这两个方程用大括号联立起来,写成⎨,从而得出二元一次方程组
()x +1=2y -1. ⎩的概念:含有_____未知数的两个_____所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.
⎧2x +3y =3, ⎧5x +3y =8,
如:⎨ ⎨
x -3y =0; x +y =8. ⎩⎩
注意:在方程组中的各方程中的同一个字母必须表示同一个对象.
探究点二:二元一次方程(组) 的解:
思考:(1)x=6,y=2适合方程x+y=8吗?x=5,y=3呢?x=4,y=4呢?你还能找到其他x,y 值适合x+y=8方程吗?
(2)x=5,y=3适合方程5x+3y=34吗?x=2,y=8呢?
(3)你能找到一组x,y 值,同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗?
_________,叫做这个二元一次方程的解.
二元一次方程组中各个方程的 解,叫做这个二元一次方程组的解. (二)知识综合应用探究 探究点一:
1、根据下列语句,设适当的未知数,列出二元一次方程(组)
(1)甲数的2倍与乙数的
11的差等于48的. 23
(2)某学校招收七年级学生292人,其中男生人数比女生人数多35人. 2、下列方程有哪些是二元一次方程
(1)x +3y -9=0, (2)3x 2-2y +12=0, (3)3xy=1, (4)
1m
+2y=1, (5)3x (x -2y )=5, (6)-5n =1. x 2
探究点二:
1、以下的各组数值是方程组⎨
⎧x +2y =2
的解的是( )
2x +y =-2⎩
⎧x =2
A. ⎨ ⎩y =-2
B. ⎨
⎧x =-2
y =2⎩
C. ⎨
⎧x =0
y =2⎩
D. ⎨
⎧x =2
y =0⎩
⎧x +my =5⎧x =1
2、已知⎨是方程组⎨的解,则m= , n= .
nx +y =7y =2⎩⎩⎧x =2a -3,
3、已知⎨是方程4x -y =5的一个解,求a 的值
⎩y =3+4a
第五章 二元一次方程组
第2节 求解二元一次方程组 第1课时
【学习目标】
1. 会用代入消元法解二元一次方程组.
2.了解 “消元”思想,初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想. 【学习重难点】
重点:用代入消元法解二元一次方程组.
难点:在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想. 预习案 一、旧知回顾
1、二元一次方程组的概念:含有_____未知数的两个_____所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.
2、二元一次方程组的解的概念:二元一次方程组中各个方程的 ,叫做
这个二元一次方程组的解. 二、教材助读
解二元一次方程组的基本思路是什么?主要步骤有哪些? 探究案
(一) 基础知识探究
探究点:用代入消元法解二元一次方程组.
例1 解下列方程组:
⎧3x +2y =14, ①⎧2x +3y =16, ①(1) ⎨ (2)⎨
x =y +3; ②x +4y =13. ②⎩⎩
解:(1)将②代入①,得:_________________. 解得:y =___.
把y =____代入②,得:x =_____.
⎧x =___,所以原方程组的解为:⎨
⎩y =___. (2)由②,得:x =______. ③ 将③代入①,得:_________. 解得:y =___.
把y =____代入③,得:x =_____.
⎧x =___,
所以原方程组的解为:⎨
y =___. ⎩1. 解二元一次方程组的基本思想是_________,即将“二元”转化为“一元”. 2. 在二元一次方程组中,其中一个方程,将一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,再代入另一方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解. 这种方法叫做___________,简称_________ .
(3)、代入消元法的步骤:__________________________________________ (4)、用代入消元法解二元一次方程组时,尽量选取一个未知数的系数的绝对
值是1的方程进行变形;若未知数的系数的绝对值都不是1,则选取系数的绝对值较小的方程变形.
(5)、解二元一次方程组的基本思路是___________ (二) 知识综合应用探究
⎧x =4-2y , ①1、用代入消元法解方程组: ⎨
2x -y =3; ②⎩
⎧3x -2y =7, ①⎪
2、用代入消元法解方程组:⎨x +3
-y =0. ②⎪2⎩
解法1:由②,得y =将③代人①,得
x +3
③ 2
(同学们把它写完整哈!)
解法2:由①,得2y =3x -7 ③
由②,得x -2y =-3 ④ 将③代人④,解得 将 代人③,得 解得
⎧x =___,
所以原方程组的解是⎨
y =___. ⎩
我的困惑:(你一定要认真思考哦!把它写在下面,好吗?)
第五章 二元一次方程组
第2节 求解二元一次方程组 第2课时
【学习目标】
1.会用加减消元法解二元一次方程组.
2. 在自主探索和合作交流中,进一步理解二元一次方程组的“消元”思想,初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.
3. 通过对具体的二元一次方程组的观察、分析,选择恰当的方法解二元一次方程组,培养的观察、分析能力. 【学习重难点】
重点:用加减消元法解二元一次方程组
难点:加减法解二元一次方程组的关键是必须使两个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等 预习案 一、旧知回顾
1、用代入消元法解二元一次方程组的基本思路是__________. 2、代入消元法的步骤: 二、教材助读
1、加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么?主要步骤有哪些? 2、当方程组中没有系数相等或互为相反数的未知数时,如何用加减消元法解这个方程组? 探究案 (一)
基础知识探究
探究点:用加减消元法解二元一次方程组
怎样解下面的二元一次方程组呢?
①⎧3x +5y =21
⎨
2x -5y =-11②⎩
解法1:把②变形,得:x =________③
把③代入①,得: ,
解得:y =______.
把y =____代入②,得:x =_____.
⎧x
=___,
所以方程组的解为⎨y =___. ⎩解法2:由②得5y =2x +11, ③
将③代入①,得:解得:x =_____.
把x =____代入③,得:y =____.
⎧x =___,
所以方程组的解为⎨.
⎩y =___. 解法3:根据等式的基本性质
方程①+方程②得:5x =10,
解得:x =_____,
把x =_____代入①,解得:y =_____,
⎧x =___,
所以方程组的解为⎨.
y =___. ⎩
1、上面解法3用解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”. 这种通过两式相加(减)消去其中一个未知数,这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法。
2、用加减法解二元一次方程组的方法及一般步骤:
____________________________ (二)知识综合应用探究 例1 解下列二元一次方程组
⑴⎨
⎧2x -5y =7①
2x +3y =-1②⎩
分析:观察到方程①、②中未知数x 的系数相等,可以利用两个方程相减消去未知数x .
解:②-①,得:8y =-8, 解得:y =_____,
把y =______代入①,得: ,
解得:x =_____,
⎧x =___,
所以方程组的解为⎨
⎩y =___.
⎧2x +3y =12①
例2 用加减法解二元一次方程组 ⎨
3x +4y =17②⎩
分析:方程组中x 、y 的系数既不相同也不是相反数,没有办法用加减消元法. 能否用等式的基本性质将这个方程组中的x 或y 的系数化成相等(或互为相反数) 的情形,再用加减消元法,达到消元的目的呢?
解:①×3,得: ,③
②×2, 得: ,④ ③-④,得:y =________. 将y =______代入①,得:x =_______.
⎧x =___,
所以原方程组的解是⎨
y =___. ⎩我的收获:
第五章 二元一次方程组
第3节 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
【学习目标】
1. 初步掌握列二元一次方程组解应用题
2.掌握运用方程组解决实际问题的一般步骤,经历和体验运用方程(组)解决实际问题的过程,进一步体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型,培养抽象、概括、分析解决实际问题的能力; 【学习重难点】
重点:根据等量关系列二元一次方程组解应用题。 难点:根据题意找出等量关系,列出方程。 预习案 一、旧知回顾
1、解二元一次方程组的方法有_____________ 2、用一元一次方程解应用题的一般步骤是什么? 二、教材助读
1、列方程解应用题的关键是什么?
2、你能用列一元一次方程的方法解决本节的鸡兔同笼问题吗?与列方程组解题有何不同? 探究案
(一) 基础知识探究
探究点:应用二元一次方程组——鸡兔同笼
今有雉(鸡)兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何? (1).用一元一次方程求解
解:设有鸡x 只,则有兔(35-x )只, 得
2x +4(35-x ) =94.
x =23. 35-x =12.
所以有鸡23只,兔12只. (2).用二元一次方程求解: 解:设有鸡x 只,兔y 只,则
⎧x +y =35
① ⎨ ⎩2x +4y =94 ②
⎧x =___,
解得⎨
⎩y =___. 所以有鸡23只,兔12只.
例:以绳测井,若将绳三折测之,绳多五尺,若将绳四折测之,绳多一尺,绳长、井深各几何?
提问:1." 将绳三折测之,绳多五尺" ,什么意思?
2." 若将绳四折测之,绳多一尺" ,又是什么意思?可以让学生演
示.
(二) 知识综合应用探究
1、 用一根绳子环绕一棵大树。若环绕大树3周,则绳子还多4尺;若环绕大树4周,则绳子又少了3尺。这根绳子有多长?环绕大树一周需要多少尺?
2、列方程解古算题:" 今有牛五、羊二,值金十两;有牛二、羊五,值金八两. 牛、羊各值金几何?
我的收获:
第五章 二元一次方程组
第4节 求应用二元一次方程组——增收节支
【学习目标】
1. 会正确地运用表格分析与“增收节支”相似一类问题的数量关系,会列二元一次方程组解这类问题。
2.培养分析问题和解决问题的能力。
3. 进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程,体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型,培养数学应用能力。 【学习重难点】
重点:能借助表格分析较复杂问题中的数量关系。
难点:将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型;根据题意运用列表分析数量关系。 预习案 一、旧知回顾
1、增长率=___________
2、利润=________---_____________ 3、利润率=_________ 二、教材助读
如何用表格的形式表示题目中的数量并进一步列出等量关系? 探究案
(一) 基础知识探究
探究点:应用二元一次方程组——增收节支
某工厂去年的利润(总产值—总支出)为200万元,今年总产值比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元,去年的总产值、总支出各是多少万元?
分析:关键:找出等量关系.
⎧去年的总收入-去年的总支出=200万元
⎨
⎩今年的总收入-今年的总支出=780万元
今年的总收入=去年总收入×(1+20%) 今年的总支出=去年的总支出×(1—10%)
数量关系真多,画个表格来表示它们吧! 设去年的总产值为x 万元,总支出为y 万元,则有
根据题意得:
⎧________________,
⎨
________________. ⎩
⎧x =___,解得⎨
⎩y =___.
答:去年的总产值为________万元,总支出__________万元,
例 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品.每克甲原料含0.5单位
蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质.若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要? 分析:找出等量关系.
量+每餐乙原料中含蛋白质量=35, ⎧每餐甲原料中含蛋白质
⎨
⎩每餐甲原料中含铁质量+每餐乙原料中含铁质量=40. 每餐甲原料中含蛋白质量=0.5×每餐甲原料的质量, 每餐乙原料中含蛋白质量=0.7×每餐乙原料的质量, 每餐甲原料中含铁质量=1×每餐甲原料的质量, 每餐乙原料中含铁质量=0.4×每餐乙原料的质量,
由于相等关系中的数量关系复杂,所以可以选取用列表格的方法来表示各数量关系之间的关系,有利于根据相等关系列方程。
解:设每餐需要甲、乙两种原料各x , y克,则有下表:
由上表可以得到的等式:
⎧________________,
⎨
________________. ⎩
化简得:
⎧________________,
⎨
________________. ⎩
⎧x =___,
解得⎨
y =___. ⎩
答:每餐需甲原料_____克,乙原料_____克。
关系。
(二) 知识综合应用探究
1、一、二班共有100名学生,他们的体育达标率(达到标准的百分率)为81%,如果一班的学生的体育达标率为87.5%,二班的达标率为75%,那么一、二班的学生数各是多少?
2、甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行,如果甲比乙先走2时,那么他们在乙出发2.5时后相遇;如果乙比甲先走2时,那么他们在甲出发3时后相遇,甲、乙两人的速度各是多少? 我的收获:
第五章 二元一次方程组
第5节 应用二元一次方程组——里程碑上的数
【学习目标】
1、用二元一次方程式组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题
2、归纳用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
3. 进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程,体会模型思想,发展应用意识。
【学习重难点】
重点:用二元一次方程组刻画数字问题和行程问题,体会列方程组解决实际问题的步骤。
难点:将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。 预习案 一、旧知回顾
1、一个两位数,个位数字是a ,十位数字是b ,则这个两位数用代数式表示为 ;若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数,用代数式表示为 .
2、一个两位数,个位上的数为x ,十位上的数为y ,如果在它们之间添上一个0,就得到一个三位数,这个三位数用代数式可以表示为 . 3、有两个两位数a 和b ,如果将a 放在b 的左边,就得到一个四位数,那么这个四位数用代数式表示为 ;如果将a 放在b 的右边,将得到一个新的四位数,那么这个四位数用代数式可表示为 . 二、教材助读
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的? 探究案
(一) 基础知识探究
探究点:应用二元一次方程组——里程碑上的数
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶,小明每隔一小时看到的里程碑上的数字情况如下:12∶00时,这是两位数,它的两个数字之和为7,13∶00时,十位与个位数字与12∶00时看到的正好颠倒了;14∶00时,比12∶00时看到的两位数中间多了个0,你能确定小明在12∶00时看到的里程碑上的数字吗?
如果设小明在12∶00时看到的十位数字是x ,个位数字是y ,那么
(1)12:00时小明看到的数可表示为 ,根据两个数字和是7,可列出方程 ;
(2)13:00时小明看到的数可表示为 ,12:00~13:00间摩托车行驶的路程是 ;
(3)14:00时小明看到的数可表示为 ,13:00~14:00间摩托车行驶的路程是 ;
(4)12:00~13:00与13:00~14:00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系?你能列出相应的方程吗?
例 两个两位数的和是68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数;在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数,已知前一个四位数比后一个四位数大2178,求这两个两位数。 分析:
设较大的两位数为x ,较小的两位数为y 。
问题1:在较大数的右边接着写上较小的数,所写的数可表示为 问题2:在较大数的左边写上较小的数,所写的数可表示为
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤:___________________
(二)
知识综合应用探究
1、一个两位数,减去它的各位数字之和的3倍,结果是23;这个两位数除以它的各位数字之和,商是5,余数是1,这个两位数是多少?
2、有一个三位数,现将最左边的数字移到最右边,则比原来的数小45;又知百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3,试求原来的三位数.
我的收获:
第五章 二元一次方程组 第6节 二元一次方程与一次函数
【学习目标】
1. 理解二元一次方程和一次函数的关系;
2.掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系; 3. 掌握二元一次方程组的图像解法。 【学习重难点】
重点:理解二元一次方程和一次函数的关系;能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解.
难点:能从“形”的角度理解二元一次方程与一次函数的关系 预习案 一、旧知回顾
1、一次函数的图象是 ,在一次函数y =kx +b 中,当k >0时,y 的值随x 值的增大而 ;当k 0时,直线必过 象限 当b
2、当k >0时,k 的值越大,直线与x 轴的正方向所成的锐角 . 3、 同一平面内,不重合的两条直线l 1:y 1=k 1x +b 1与l 2:y 2=k 2x +b 2
(1) 当k 1=k 2(2)当l 1与l 2相交,(3)当时,
l 1⊥l 2
4、解二元一次方程组的基本方法是 和 二、教材助读
1、任意一个二元一次方程都可以转化成一次函数的形式吗?一定有一条直线与这个二元一次方程对应码?该直线上的任意一点的坐标都是这个二元一次方程的解吗?
2、两直线的交点坐标与对应方程组的解之间有什么关系? 3、图象法求解二元一次方程组有哪些优缺点?
4、一个二元一次方程组的解有哪些情况,所对应的两条直线的位置关系分别是什么? 探究案
(一) 基础知识探究
探究点一:二元一次方程与一次函数的关系
⎧x =0, ⎧x =5, ⎧x =2, 问题:(1).方程x +y =5的解有多少个?⎨是这个方程的解⎨⎨
y =5; y =0; y =3⎩⎩⎩吗?
(2).点(0,5),(5,0),(2,3)在一次函数y =-x +5的图像上吗?
(3).在一次函数y=-x +5的图像上任取一点,它的坐标适合方程x+y=5吗?
(4).以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y =-x +5的图像相同吗?
(1) 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的 ;
(2) 一次函数图像上的点的坐标都适合相应的 .
探究点二:二元一次方程组与一次函数的关系
⎧x +y =5, 1.解方程组⎨
2x -y =1. ⎩
2.上述方程移项变形转化为两个一次函数y=-x +5和y=2x -1, 在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图像.
3.方程组的解和这两个函数的图像的交点坐标有什么关系?
注意:利用图像法求二元一次方程组的解是近似解,要得到准确解,一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.
探究点三:二元一次方程组的解与函数图像之间的关系
在同一直角坐标系内, 一次函数y = x + 1 和 y = x - 2 的图象(教材124
⎧x -y =-1
页图5-2)有怎样的位置关系?方程组⎨解的情况如
⎩x -y =2何?你发现了什么? 归纳总结:
(二)知识综合应用探究
1.已知一次函数 y = 3x - 1 与 y = 2x 图象的交点是(1,2),
⎧3x -y =1求方程组⎨的解.
⎩y =2x
2.有一组数同时适合方程 x + y = 2 和 x + y = 5 吗?一次函数y =2-x 与
y =5-x 的图象之间有什么关系?
3.求两条直线y =3x -2与y =-2x +4和x 轴所围成的三角形面积.
4.如图,两条直线l 1与l 2的交点 坐标可以看作哪个方程组的解?
1.二元一次方程和一次函数的图像的关系:
以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上;
第4题
一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程. 2.二元一次方程组和对应的两条直线的关系: 方程组的解是对应的两条直线的交点坐标; 两条直线的交点坐标是对应的方程组的解; 3.解二元一次方程组的方法有3种: (1)代入消元法; (2)加减消元法;
(3)图像法. 要强调的是由于作图的不准确性,由图像法求得的解是近似解.
第五章 二元一次方程组
第7节 用二元一次方程组确定一次函数表达式
【学习目标】
1、了解待定系数法,会用二元一次方程组确定一次函数的表达式。
2、在利用一次函数图象求二元一次方程组近似解和利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的过程中,体会数形结合研究数学问题的方法。 【学习重难点】
重点:用待定系数法确定一次函数的表达式。 难点:建立数形结合的思想。
预习案: 一、旧知回顾
1、以一个二元一次方程的解为 组成的图象与相应的 的图象 ,是一条直线。
2、一般地,从图形的角度看,确定两条直线交点的坐标,相当于求相应的 ;解一个二元一次方程组相当于确定相应 。
3、二元一次方程组的解法: 、 和_______________。 二、教材助读
1、什么是待定系数法?
2、待定系数法求一次函数解析式的步骤有哪些?
探究案
(一) 基础知识探究
探究点:用二元一次方程组确定一次函数的表达式
阅读理解:
待定系数法:先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,
从而得到函数的表达式的方法,叫待定系数法。
待定系数法求函数表达式的一般步骤是:
⑴设——设出函数表达式(如y=kx+b(k ≠0));
⑵代——把已知条件代入表达式中得到关于k 、b 的方程组;
⑶求——解方程组,求未知数k 、b ;
⑷写——写出函数的表达式。
注意:待定系数法的步骤可总结为“ 、 、 、 ”
例 已知点A (1,2)和点B (-2,5),试写出一个一次函数,使它的图象经过
A 、B 两点。
解:设经过A 、B 两点的一次函数为
∵经过A (1,2)和点B (-2,5)
∴⎨⎧____________ ____________⎩
⎧k =_____ b =_____⎩ 解这个方程组得⎨
所以这个一次函数的表达式为 。 “ 、 、 、 ”
(二) 知识综合应用探究
1、某长途汽车客运站规定,乘客可以免费携带一定质量的行李,但超过该
质量则需购买行李票,且行李费y (元)是行李质量x (千克) 的一次函数. 现知李明带了60千克的行李,交了行李费5元,张华带了90千克的行李,交了行李费10元.
(1)写出y 与x 之间的函数表达式;
(2)旅客最多可免费携带多少千克的行李?
2、某市自来水公司为鼓励居民节约用水,采取按月用水量分段收费办法,若某户居民应交水费y (元)与用水量x (吨)的函数关系如图所示.
(1) 分别写出当0≤x ≤15和x >15时,y 与x 的函数关系式;
(2) 若某用户十月份用水量为10吨,则应交水费多
少元?若该用户十一月份交了51元的水费,则
他该月用水多少吨?
我的收获
第五章 二元一次方程组
第8节 三元一次方程组
【学习目标】
1、了解三元一次方程、三元一次方程组及其解的概念。
2、能解简单的三元一次方程组,进一步体会“消元”思想。
3、会利用三元一次方程组解决实际问题,进一步提高分析问题、解决问题的能力。
【学习重难点】
重点:三元一次方程组的概念及三元一次方程组的解法。
难点:利用三元一次方程组解决实际问题。
预习案
一、旧知回顾
1、二元一次方程:含有 个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组:含有 个未知数的两个 所组成的一组方程,叫做二元一次方程组。
3、二元一次方程组的解法: 和 ;它们都是通过 使方程组转化为一元一次方程。
二、教材精读
1、三元一次方程的概念
例如:方程x+y+z=5、x-y+2z=0的特点是:
①都是 式方程;
②都含有 个未知数;
③未知数的项的次数都是 。 个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 ,这样的整式方程叫做三元一次方程。
注意:理解三元一次方程的定义时一定要注意以下几点:
(1)在方程中的“元”是指未知数,“三元”就是指方程中有且只有 个未知数;
(2)含有未知数的项的次数都是 ;例如:2xy +z =0中含有 个未知数,且未知数的次数都是1,但含有未知数的项“2xy ”的次数是 ,所以 三元一次方程;
(3)三元一次方程的左右两边都是整式。例如:方程
方程,因为它的左边不是 式。
2、三元一次议程组的概念
概念:共含有 个未知数的 个一次方程所组成的一组方程,叫做三元一次方程组。
注意:满足三元一次方程组的条件是:
①方程组中一共含有 个未知数
②含未知数的项的次数都是 ;
③方程组中共有 个整式方程。
例1 下列方程组中,是三元一次方程组的是( )
⎧x +y =3⎧x +y +z =3⎧x +y +z =0⎧x +y +z =3⎪1⎪⎪⎪⎪A 、⎨y +z +3w =4 B、⎨y +2yz =10 C、⎨x -y +z =0 D、⎨y +=4 z ⎪⎪x +z +w =5⎪x -2z =11⎪x =z +4⎩⎩⎩⎪⎩x +z =5345++=1不是三元一次x y z
解析:A 选项中含有 个未知数;B 选项中2yz 项的次数是 ;D 选项中的这一项不是 。故选 。
3、三元一次方程组的解
概念:三元一次方程组中各个方程的 解,叫做这个三元一次方程组的解。
注意:三元一次方程组的解满足三元一次方程组中的每一个方程,但每一个方程的解不一定都是三元一次方程组的解,只有各方程的公共解才是三元一次方程组的解。
4、三元一次方程组的解法
阅读并完成下列解三元一次方程组的解法 1z
⎧3x -y +2z =3⎪ 例2 解方程组:⎨2x +y -3z =11
⎪x +y +z =12⎩
解:①+②得 ④
①+③得 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组⎨
⎧x =____ y =____⎩⎧_________________, ⎩_________________解这个方程组得⎨
把⎨⎧x =____代入 得y=
⎩y =____
⎧x =____⎪所以方程组的解是⎨y =____ ⎪z =____⎩
把“三元”化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而再转化为解一元一次方程。这与解二元一次方程组的思路是一样的。
⎧x -2y =-9⎪实践练习:解方程组⎨y -z =4
⎪2z +x =47⎩
解:
5、三元一次方程组的实际应用
阅读:列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤:
(1)明确题意和题目中的数量关系,用字母表示题中的三个未知数;
(2)找出表示应用题全部含义的三个相等关系;
(3)根据找出的三个相等关系列出所需的代数式,从而列出方程组;
(4)解方程组;
(5)检验所得的解是不是方程组的解,并且检验其是否符合题意,不符合
要舍去;
(6)写出答案,包括单位名称。
例3 某市在同庆节前夕举办了庆国庆建国周年足球赛活动,这次足球赛共11轮,胜一场记3分,平一场记1分,负一场记0分,某校队所负的场数是胜的场数的,结果共得20分。问该队胜、平、负各多少场?
分析:等量关系有:① ② ③ 解:设该校队胜x 场、平y 场、负z 场,根据题意得
⎧________________⎧x =______⎪⎪ ⎨________________解这个三元一次方程组得⎨y =______
⎪________________⎪z =______⎩⎩12
答: 。
我的困惑:(你一定要认真思考哦!)
第五章 二元一次方程组
回顾与思考
【学习目标】
①能熟练、准确解二元一次方程组,会用二元一次方程组解决实际问题;
②能掌握体会二元一次方程组与一次函数的关系;
③能够把握各知识点间的联系,进一步感受方程(组)模型的重要性; ④如何在现实问题中,找到等量关系,并把它们转化成方程(组)组.
【学习重难点】
重点:能熟练地解二元一次方程组,会用二元一次方程组解决实际问题; 难点:找出等量关系列出二元一次方程组。
第一环节 构建知识网络
内容:
1.课前练习(要求学生上课之前完成,上课时交流订正).
(1)写出方程2x -3y =11的2个解.(答案不唯一,只有满足要求即可)
⎧x +2y =4(2)用合适的方法解方程组⎨
⎩3x +2y =8
(3)某宾馆有单人间和双人间两种房间,入住3个单人间和6个双人间共需1020元,入住1个单人间和5个双人间共需700元,则单人间和双人间每间的价格是多少元?
(4)某车间每天能生产甲种零件120个,或者乙种零件100个,或者丙种零件200个.甲、乙、丙3种零件分别取3个,2个,1个,才能配成一套,要在30天内生产最多的成套产品,问甲、乙、丙3种零件各应生产多少天? 问题1:上面题目你在解决过程中用到了哪些知识点?
问题2:本章的重要内容有哪些? 它们之间有怎样的联系?
2.知识点梳理
(1)二元一次方程:含有 个未知数,并且所含未知数的项数的次数都是一次的 .
二元一次方程的一个解:适合二元一次方程的 组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解.
二元一次方程的解集:由这个二元一次方程的 解组成的集合叫做这个二元一次方程的解集.
(2)二元一次方程组:一般的,由二个 次方程组成,并含有 个未知数的方程组叫做二元一次方程组.
三元一次方程组:一般的,由三个 次方程组成,并含有 个未知数的方程
组叫做三元一次方程组.
(3)二元一次方程组的解:适合二元一次方程组里各个方程的 对未知数的值叫做这个方程组里各个方程的 解,也叫做这个方程组的解.
三元一次方程组的解:三元一次方程组中各个方程的 解,叫做这个三元一次方程组的解.
(4)解方程组:求出方程组的解或确定方程组没有解的过程叫做解方程组.
(5)解一元二次方程组的基本方法是 和 .
(6)列二元一次方程组解应用题的步骤 .
目的:利用课前练习,引导学生回顾本章主要内容,体会各知识点之间的联系,构建知识网络结构.
第二环节 典型例题
内容:
例1 求方程2x +y =7的正整数解.
例2 如图,求直线l 1:y =x +1和直线l 2:y =2x -1的交点坐标.
⎧x +2y =7+k 例3 如果关于x ,y 的方程组⎨的解满足3x +y =5,求k 的值.
⎩2x -y =8-2k
例4如图,长青化工厂与A 、B 两地有公路、铁路相连.这家工厂从A 地购买一批每吨1000元的原料运回工厂,制成每吨8000元的产品运到B 地.已知公路运价为1.5元/(吨·千米),铁路运价为1.2元/(吨·千米),且这两次运输共支出公路运输费15000元,铁路运输费97200元.求该工厂从A 地购买了多少吨原料?制成运往B 地的产品多少吨?
例5为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密);接收方由密文→明文(解密). 已知加密规则为:明文a ,b ,c ,对应密文,a +2b ,2b +c ,a +c .当接收方收到密文14,9,7时,求解密得到的明文是多少?
目的:这一环节是本节课重点所在,这5个例题层次递进,对本章重要知识点进行有效复习和巩固,强化学生对本章重点知识理解与运用.
第三环节 课堂反馈练习
内容:
1.如果函数y =x -2与y =-2x +4的图象的交点坐标是(2,0),那么二元一次
⎧x -y =2方程组⎨的解是___________. 2x +y =4⎩
2.体育文化用品商店购进篮球和排球共20个,进价和售价如表,全部销售完后共获利润2602元.
求购进篮球和排球各多少个?
目的:这个环节为了评价本节课的教学效果, 检验教学目的达成情况. 第四环节 课堂小结
内容:
1.本节课哪些已遗忘的知识得到巩固?
2.哪些知识有了新的认识?
3.本章主要蕴涵了哪些数学思想方法?
4.你还有哪些疑问?