导数复习-切线问题
导数复习-切线问题
一、导数定义
f (x 0-2∆x ) -f (x 0) Δy
lim 1)导数定义:函数y =f (x ) 在x =x 0处的瞬时变化率Δlim 为函数y =f (x ) 在x =x 0
x →0Δx ∆x →0∆x
处的导数,
Δy f
记作f ′(x 0) 或y ′|x =x 0,即f ′(x 0) =Δlim =lim x →0Δx Δx →0
x 0+Δx
Δx
f x
2) 几何意义:函数f (x ) 在点x 0处的导数f ′(x 0) 的几何意义是在曲线y =f (x ) 上点(x 0,f (x 0)) 处的切线的斜率. 1. 已知函数f(x)在R 上可导,且f '(x 0) =2,则lim
f (x 0+2h ) -f (x 0)
= ;4
h →0h
2. 已知函数f(x)在R 上可导,且f '(x 0) =2,则lim
f (x 0-2∆x ) -f (x 0)
= ;-4
∆x →0∆x
f x 0+h
h
D .0 =2f ′(x 0) .
若函数y =f (x ) 在区间(a ,b ) 内可导,且x 0∈(a ,b ) ,则lim h →0A .f ′(x 0) (2)lim h →0
B .2f ′(x 0) C.-2f ′(x 0)
f x 0-h
的值为( )
f x 0+h
h
f x 0-h
2×lim h →0
f x 0+h
2h
f x 0-h
3. 求下列函数的导数:
1) y =sin (2x +
π1121122
(1)(理) y =sin (2x +) =cos(4x +π) 故设y =-u ,u =4x ,
322322312
则y x ′=y u ′·u x ′=sin u ·4=2sin u =2sin(4x +π) .
232) 答案:y ′=
1-x ln x x e x
x
x
x
x
2
π
3
) ; 2) y =
ln x x
x ; 3)y =e ·cos x ; e
3) 解:(1)y ′=(e) ′cos x +e (cos x ) ′=e cos x -e sin x . 二.导数与切线问题(一定要抓住切点,不知切点设切点找切线斜率)
1)导数的几何意义
函数y=f(x)在点x 0处的导数,就是曲线y=(x)在点P (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率.即k =f ' (x 0) 2)利用导数求曲线的切线方程.具体求法分两步:
(1)求出函数y=f(x)在点x 0处的导数,即曲线y=f(x)在点P (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率; (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为y -y 0=f ' (x 0)(x -x 0)
特别地,如果曲线y=f(x)在点P (x 0, f (x 0)) 处的切线平行于y 轴,这时导数不存在,根据切线定义,可得切线方程为x =x 0
(3)求切线问题的基本步骤:1)找(切)点 2)求导(数)得斜率 3)最后写方程 1. 求切线方程
1)函数f (x ) =x e 的图象在点(1,f (1))处的切线方程是________.
解析: ∵f (x ) =x e ,∴f (1)=e ,f ′(x ) =e +x e ,
∴f ′(1)=2e ,∴f (x ) 的图象在点(1,f (1))处的切线方程为y -e =2e(x -1) ,即y =2e x -e. 答案:y =2e x -e
x
x
x
x
2)已知f (x ) =x -2x +x +6,则f (x ) 在点P (-1,2) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )
25
A.4 B.5 C.
4
3
2
2
32
D.
132
解析:选C ∵f (x ) =x -2x +x +6,∴f ′(x ) =3x -4x +1,∴f ′(-1) =8, 故切线方程为y -2=8(x +1) ,即8x -y +10=0,
51525
令x =0,得y =10,令y =0,得x =-S =×10=.
424416) 作曲线y =f (x ) 的切线,求此切线方程. 3)已知函数y =x 3-3x ,过点A (0,
16) 不在曲线上. 解:曲线方程为y =x 3-3x ,点A (0,
设切点为M (x 0,y 0) ,则点M 的坐标满足y 0=x 03-3x 0. 因f '(x 0) =3(x 02-1) ,故切线的方程为y -y 0=3(x 02-1)(x -x 0) .
16) 在切线上,则有16-(x 03-3x 0) =3(x 02-1)(0-x 0) .化简得x 03=-8,解得x 0=-2. 点A (0,
-2) ,切线方程为9x -y +16=0. 所以,切点为M (-2,
2. 求切点坐标
1) 若曲线y =x ln x 上点P 处的切线平行于直线 2x -y +1=0,则点P 的坐标是________.
1
解析:由题意得y ′=ln x +x ·1+ln x ,直线2x -y +1=0的斜率为2. 设P (m ,n ) ,则1+ln m =2,解
x
得m =e ,所以n =eln e=e ,即点P 的坐标为(e,e) .
答案:(e,e) 3. 求参数的值
a ln x b
+,曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处的切线方程为x +2y -3=0。求a 、b 的值; x +1x x +1
⎧f (1) =1⎧b =1a (-ln x )
b ⎪⎪-解:(Ⅰ) f '(x ) =,由题意知:即⎨⎨a 11∴a =b =1 22
(x +1) x f '(1) =--b =-⎪⎪2⎩22⎩
1)已知函数f (x ) =
2)(15国Ⅰ) 已知函数f (x ) =ax +x +1的图象在点(1,f (1))处的切线过点(2,7),则a =________.
解析:∵f ′(x ) =3ax +1,∴f ′(1)=3a +1. 又f (1)=a +2,
∴切线方程为y -(a +2) =(3a +1)(x -1) .∵切线过点(2,7),∴7-(a +2) =3a +1,解得a =1. 答案:1 4. 导数与倾斜角
23
1) 设点P 是曲线y =x -3x +上的任意一点,P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )
3
2
3
⎡π⎡5π⎫⎡2π⎫⎡π⎫⎡2π⎫⎛π5π A. ⎢0,∪⎢,π⎪ B. ⎢π⎪ C. ⎢0,⎪∪⎢π⎪ D. ,
2⎭⎣62⎭⎣36⎣⎭⎣3⎭⎣⎭⎝2⎦
⎡π⎫⎡2π⎫2
解:选C 因为y ′=3x -3≥-3,故切线斜率k ≥-3,所以切线倾斜角α的取值范围是⎢0,⎪∪⎢π⎪.
2⎭⎣3⎣⎭
5. 导数与坐标
1) 设P 为曲线C :y =x 2+2x +3上的点,且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎢0⎥,则点P 横坐标的取值范围为( A ) A .⎢-1,-
⎡π⎤
⎣4⎦
⎡⎣1⎤ 2⎥⎦
B .[-10,] C .[01,]
1⎥ D .⎢,
⎡1⎤
⎣2⎦
2) 对正整数n ,设曲线y =x n (1-x ) 在x =2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ,则数列⎨
是 解:y
/x =2
⎧a n ⎫
⎬的前n 项和的公式⎩n +1⎭
=-2n -1(n +2), 切线方程为:y +2n =-2n -1(n +2)(x -2) ,令x=0,求出切线与y 轴交点的纵坐标为
n
21-2a a ⎧⎫
y 0=(n +1)2n ,所以n =2n ,则数列⎨n ⎬的前n 项和S n ==2n +1-2
n +11-2⎩n +1⎭
()
6. 公切线问题(直线与抛物线相切利用△=0)
12
1)若函数f (x ) -ax +ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是________.[2,+∞)
2121
解析 ∵f (x ) =-ax +ln x ,∴f ′(x ) =x -a 2x
11
∵f (x ) 存在垂直于y 轴的切线,∴f ′(x ) 存在零点,即x +a =0有解,∴a =x +≥2.
x x
2)已知曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y =ax +(a +2)x +1 相切, 则a .
2
【答案】8
【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及直线与曲线相切问题 由y '=1+
1
可得曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线斜率为2, 故切线方程为y -1=2(x -1)即y =2x -1, 把x
y =2x -1与y =ax 2+(a +2)x +1 联立消去y 得ax 2+ax +2=0, 显然a ≠0, 所以由直线y =2x -1与
y =ax 2+(a +2)x +1相切得∆=a 2-8a =0⇒a =8.
3)(16国Ⅱ) 若直线y =kx +b 是曲线y =ln x +2的切线,也是曲线y =ln(x +1) 的切线,则b = .
16.1-ln2. 解答题:
1. 已知函数f(x)=x -3x .
1) 求曲线f(x)在点x=2处的切线的方程;
2)若过点A(1,m)(m ≠2) 可以做f(x)的三条切线,求实数m 的取值范围。
3