人教版初中数学第十七章勾股定理知识点

第十七章 勾股定理

17.1 勾股定理

1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2b2＝c2 勾股定理的证明：

a

bc

a

b

1

方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，4ab(ba)2c2，化简可证．

2

b

cb

a

a

方法二：

D

C

E

b

A

c

B

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

1

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S4abc22abc2

2

Aa

Db

c

大正方形面积为S(ab)2a22abb2∴a2b2c2

111

方法三：S梯形(ab)(ab)，S梯形2SADESABE2abc2，化简得证

222

B

cb

E

aC

17.2 勾股定理的逆定理

222

2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足ab＝c，那么这个三角形是直角三角形.

3、互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等

例、在Rt△ABC中，a=3，b=4，求c．

错解

由勾股定理，得

诊断 这里默认了∠C为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b＞a时，∠B可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况．

当∠B为直角时，

例、已知Rt△ABC中，∠B=RT∠，

c=b. 错解 由勾股定理，得

诊断 这里错在盲目地套用勾股定理“a2＋b2=c2”．殊不知，只有当∠C=Rt∠时，a2＋b2=c2才能成立，而当∠B=Rt∠时，则勾股定理的表达式应为a2＋c2=b2．

正确解答 ∵∠B=Rt∠， 由勾股定理知a2＋c2=b2．

∴

例、若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长为________． 错解 设第三边长为xcm．由勾股定理，得x2=62＋82．

=10 即第三边长为10cm．

诊断 这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，∴第三边可能是斜边，也可能是直角边．

正确解法 设第三边长为xcm． 若第三边长为斜边，由勾股定理，得

=10(cm)

若第三边长为直角边，则8cm长的边必为斜边，由勾股定理，得

=因此，第三边的长度是10cm

或者例、如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，AM是中线，且AM=

1BC=AD.又RT△ABC2

3

的周长是

求AD．

错解 ∵△ABC是直角三角形， ∴AC:AB:BC=3:4:5 ∴AC∶AB∶BC=3∶4∶5．

∴AC=

345

，AB=

，BC=

12

12

12

又∵

11

ACAB=BCAD 22

AC

AB∴AD=

BC2

=5

诊断 我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形

的三边关系．上述解法犯了以特殊代替一般的错误．

正确解法∵

AD ∴

AD

又∵MC=MA，∴CD=MD．

∵点C与点M关于AD成轴对称． ∴AC=AM，∴∠AMD=60°=∠C．

∴∠B=30°，AC=

1BC，

BC 2∴AC+AB+BC=

1BC+BC+BC=6+2

2

∴BC=4．

1

BC

1∵AD，∴

AD=2

例、在△ABC中，a∶b∶c=9∶15∶12，试判定△ABC是不是直角三角形．

错解 依题意，设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)． ∵a2＋b2=(9k)2＋(15k)2=306k2，c2=(12k)2=144k2， ∴a2＋b2≠c2．∴△ABC不是直角三角形．

诊断 我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”．而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理．

正确解法 由题意知b是最长边．设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)． ∵a2＋c2=(9k)2＋(12k)2=81k2＋144k2=225k2． b2=(15k)2=225k2，∴a2＋c2=b2． ∴△ABC是直角三角形．

例、已知在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是高．求证：AB2－AC2=2BC·DE 错证 如图． ∵AE⊥BC于E， ∴AB2=BE2＋AE2， AC2=EC2＋AE2． ∴AB2－AC2=BE2－EC2 =(BE＋EC)·(BE－

EC)

=BC·(BE－EC)．

∵BD=DC，∴BE=BC－EC=2DC－EC． ∴AB2－AC2=BC·(2DC－EC－EC)=2BC·DE．

诊断 题设中既没明确指出△ABC的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形．∴高AE既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意．而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误.剩下的两种情况如图所示.

，

正确证明由读者自己完成．

例、已知在△ABC中，三条边长分别为a，b，c，a=n，

n2n24b=-1，c=(n是大于2的偶数).求证:△ABC是直角三角形.

44

错证1 ∵n是大于2的偶数，∴取n=4，这时 a=4，b=3，c=5． ∵a2＋b2=42＋32=25=52=c2，

∴△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理)． 由勾股定理知△ABC是直角三角形．

n222n4n2n4n2正解∵a+b=n+(-1)=n+-+1=++1

4162162

2

2

2

4

n242n2n22n1)=++1 c=()=(44162

2

由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形. 诊断 证明1错在以特殊取代一般．