大学物理简谐振动的能量.合成

§3-3简谐振动的能量

下面以弹簧振子为例来说明简谐振动的能量。

O

x

某一时刻 t ：

位移 x =A c o s +ϕ0) (ωt 速度 v =-ωA s i n (ωt +ϕ0)

1212

mv =m ω2A sin (2ωt +ϕ0) 221

=kA 2sin 2(ωt +ϕ0)

2112

ωt +ϕ0) 振动势能 E p =kx 2=kA 2cos (

22

11

∝A 2 振幅反映了振动的强度 总能量 E =E k +E p =kA 2=m ω2A 2

22

简谐振动系统机械能守恒！动能和势能相互转化。 简谐振动的系统都是保守系统。

动能和势能在一个周期内的平均值为

1T 1T 11

E k =⎰E k (t ) dt =⎰kA 2sin 2(ωt +ϕ0)dt =kA 2

T 0T 0241T 1T 11

E p =⎰E p (t ) d t =⎰kA 2cos 2(ωt +ϕ0)dt =kA 2

00T T 2411

E k =E p =kA 2=E

42

动能和势能在一个周期内的平均值相等，都等于总能量的一半。

例3.4：见第一册教材第113页。（不讲）

例：光滑水平面上的弹簧振子由质量为 M 的木块和劲度系数为 k 的轻弹簧

振动动能 E k =

构成。现有一个质量为 m ，速度为 u 0 的子弹射入静止的木块后陷入其中，此时弹簧处于自由状态。（不讲） （1）试写出谐振子的振动方程；

16

（2）求出x =-

A

处系统的动能和势能。 2

O

解：（1）射入过程，水平方向动量守恒。设射入后子弹和木块的共同速度为 V 0 mu 0=(M +m )V 0

m

u 0 M +m

建立坐标系如图，初始条件为

V 0=

x 0=0， v 0=V 0 谐振系统的圆频率为

ω=

3

初相位 ϕ0=π

2

振幅

A ==

v 0

ω

=

⎫

⎪⎪ ⎭

3πo +振动方程

x =2

2

m 2u 0121⎛A ⎫

（2）势能 E p =kx =k ⎪=

22⎝2⎭8M +m 2

17

2

3m 2u 0121232

动能 E k =E -E p =kA -kA =kA =

2888M +m Ex ：质量为10⨯10-3kg 的小球与轻弹簧组成的系统，按x =0. 1cos(8πt +

2π

) 3

(SI )

的规律作谐振动，求：

(1)振动的周期、振幅和初相位及速度与加速度的最大值；

(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?

(3)t 2=5s 与t 1=1s 两个时刻的相位差； 解：(1) A =0.1m,

ω=8π rad/s， ∴T =

2π

ω

=

1

4

秒， v m =ωA =0. 8πm ⋅s -1 =2. 51m ⋅s -1 a m =ω2A =63. 2m ⋅s -2 (2) F m =ma m =0.63N

E =

1mv 2

m =3. 16⨯10-22

J E p =E k =1

E =1. 58⨯10-22J

当E k =E p 时，有E =2E p ，

即 111

2kx 2=2⋅(2

kA 2)

∴ x =±

22

2A =±20

m (3) ∆φ=ω(t 2-t 1) =8π(5-1) =32π

§3-4简谐振动的合成

一、两个同向同频简谐振动的合成

设质点同时参与两个同方向同频率的谐振动 x 1=A 1c o s (ω+t ϕ1)0

x 2=A 2c o s (ω+t ϕ2)0

质点的合位移

x =x 1+x 2=A c 1o (s

ωt +ϕ)10

+A 2c o (s

ωt +ϕ) 2018

ϕ0=2π/3

下面我们用旋转矢量法求合位移：

t =0 时刻，两分振动与 x 轴正方向的夹角分别为 ϕ10 和 ϕ20，以相同的角速

度 ω 逆时针转动。

两旋转矢量的夹角恒定不变！故合矢量 A 的模保持不变，并以同样的 ω 逆时

针转动。

合振动是简谐振动！可写成

ϕ2O

A x

x =A c o s +ϕ0) (ωt 利用几何关系

-ϕ10)

振幅

A =

=

=

19

初相位 t a n ϕ0=

A y A x

其中 A x =A s 10+A 2c ϕo s 21c o ϕ A y =A ϕ10+

A 2s ϕi n 21s i n 讨论：

（1）当 ∆ϕ=ϕ20-ϕ10=±2k π

(k =0,1,2, ) 时 （即两分振动相位相同）

=A 1+A 2 合振幅最大

A =（2）当 ∆ϕ=ϕ20-ϕ10=±(2k +1)π

(k =0,1,2, ) 时 （即两分振动相位相反）

=A 1-A 2 合振幅最小

A =合振动的相位与振幅大者相同！

同向同频谐振动的合成，在后面的机械波和波动光学经常碰到。

例3.5 已知两个谐振动的 x —t 曲线如图所示，它们的频率相同，求它们合振动方程。

5

-5

解： A 1=A 2=0.05 m T =0. 1 s ， ω= ϕ10=

2π

=20π T

3π

， ϕ20=π 2

合振动的振幅

A =1=0. m 2初相位 ϕ0=

5π

4

5π⎛

振动方程

x =0. 2c o s πt 2+

4⎝

⎫⎪

⎭

20

Ex ：试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：

ππ⎧⎧

x =5cos(3t +) cm x =0. 4cos(2t +) m ⎪1⎪1

36(1) ⎨ (2) ⎨ 7π5

⎪x 2=5cos(3t +) cm ⎪x 2=0. 3cos(2t -π) m

36⎩⎩

解：

7ππ

-=2π, (1)∵ ∆φ=φ2-φ1=

33∴合振幅 A =A 1+A 2=10cm (2)∵ ∆ϕ=

π

5

-(-π) =π 66

∴ A 合=A 1-A 2=0. 1m

ϕ0=

π 6

π

其振动方程为 x =0.1cos(2t +) m

6

二、多个同向同频简谐振动的合成

用旋转矢量合成的图解法处理。

21

x

x

将各旋转矢量依次平移，使它们首尾相接。 x =A c o s +ϕ) (ωt

A = t a n ϕ=

A y A x

c ϕo n s

其中 A x =A s 1+A 2c o ϕs 2+ +A 1c o ϕn A y =A ϕ1+A 2s i ϕn 2+ +A 1s i n n

s ϕi n n

三、两个同向不同频简谐振动的合成 拍（了解）

为简单起见，设两分振动振幅相等，初相位相同 x 1=A 1cos (ωt 1+ϕ)0 x 2=A 1c o s +ϕ)0 (ω2t 质点的合位移

x =x c (ω1+x 2=A 1o s

1

t +ϕ)0+A c ω(s 1o

2

t +ϕ)

⎛ω-ω1⎫⎛ω+ω1⎫ =2A 1cos 2t ⎪cos 2t +ϕ0⎪

⎝2⎭⎝2⎭

A (t ) cos (ωt +ϕ0)

若两分振动的频率满足 ω2+ω1 ω2-ω1，可视为振幅缓慢变化的振动。 合振动的特点：

22

（1）合振动的频率 ω=

ω1+ω2

2

≈ω1≈ω2

⎛ω-ω1⎫

（2）合振幅 A (t ) =2A 1cos 2t ⎪

⎝2⎭

在 0—2A 之间随 t 周期性变化，时强时弱，不是谐振动！

描述的是一个高频振动受到一个低频振动调制的运动。这种振幅时大时小的现象叫“拍”。

x 1+x 2

四、两个相互垂直的简谐振动的合成（了解）

为简单起见，设两个振动的频率相同，分别沿x 轴和y 轴振动： x =A 1cos (ωt +ϕ1) y =A 2cos (ωt +ϕ2) 消去参数t ，得轨迹方程 （椭圆方程）

x 2y 22xy 2+2-cos (ϕ2-ϕ1)=sin 2(ϕ2-ϕ1)

A 1A 2A 1A 2注：将两个余弦函数展开，再将两式联立，可得

y ⎧x

cos φ-cos φ1=sin ωt ⋅sin(φ2-φ1) 2⎪A A 2⎪1

⎨

⎪x sin φ-y sin φ=cos ωt ⋅sin(φ-φ)

2121

⎪A 2⎩A 1

将上两式平方后相加即可得该式。

讨论几种特殊情况： （1）ϕ2-ϕ1=2k π 时 y =

A 2

x 线振动 A 1

A =23

（2）ϕ2-ϕ1=(2k +1)π 时 y =-

A 2

x 线振动 A 1

A =（3）ϕ2-ϕ1=±

π

2

时

x 2y 2

2+2=1 椭圆

A 1A 2

A =（4）一般情况下，合振动为斜椭圆。

不同频率, 但有简单整数比时，合成运动又具有稳定的封闭轨迹，称为李萨如图。

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