北航 线性系统 第20讲

基于观测器的状态反馈与

动态输出反馈系统

1

结论:以上分析表明，(5-45)、(5-46)确实给出了一个n-q 维的状态观测器。现将以上结论总结如下：

定理5-18若（A, C）可观测，rank C=q ，则对(A, B,

C ）可构造n −q 维状态观测器(5-45),(5-46)(5-45)(5-46)，而且观测器的极点可任意配置。若再假定（A, B）可控，则该观测器具有最小维数。

事实上，若假定（A, B）可控，定理5-12的基本条件：(条件(A, B, ）可控、控(F , E ) 可观测满足。此时，根据观测满时根据定义5−1可知，当K=I时就构成了一个(n −q ) 维的状态观测器，而定理定5−17表明，它是一个最小维观测明个维器。

利用(5-46)，可得

ˆ=w =⎢x I ⎢⎣n −q

⎡0⎤⎡1⎢⎥⎢=⎢−1⎥z +⎢−g 1

⎢⎥⎢1⎣⎦⎣g 1−1⎡−C 1C 2⎤⎥z +⎢⎥⎦⎣0⎤⎥1−g 2⎥y g 2⎥⎦−1⎡C 1(I q −C 2G 2) ⎤⎥y G 2⎦

最后，需要指出，K x 观测器的维数可能会比

n −q 低，究竟低到什么程度则尚不清楚。最小阶K x 观测器的设计仍是一个困难的问题。

状态观测器小结

1）当((A,B,C), , ) 可控、可观测时，则一定存在系统的基本全维状态观测器和Kx 状态观测器。

2）当((A,B,C), , ) 可控、可观测且

rank C=q

时，可求得其最小维状态观测器。

3）最小维Kx 状态观测器存在性问题？

例题系统方程为

⎡−210⎢0−21A =⎢⎢00−1⎢⎣−100

⎡1000⎤C =⎢⎥⎣0010⎦0⎤⎥0⎥1⎥⎥0⎦⎡0⎤⎢0⎥B =⎢⎥⎢0⎥⎢⎥⎣1⎦

当取K =[ 0 1 0 1 ]=[0101]时，时K x 观测器为

z =−3z −[25]y +u

w =z +[13]y

其维数小于n −2=2。其维数

§5-3利用观测器构成的状态反馈系统

一、基于观测器的状态反馈系统的构成

设原系统(对象) 方程为

=A x +B u , x y =C x (5-48)()

且(A , B , C ) 可控、可观。若状态x 不可测量，很自然想到：是否可用x ˆ来代替x 形成状态反馈？即

ˆu =v +K x

n 维状态观测器的方程为：维状态观测器的方程为

ˆ=(A −G C ) x ˆ+B u +G y x (5-49)15

由对象、观测器和状态反馈组合而成的闭环系统的方块图, 如下图所示。如下图所示

v u =Ax +Bu x

y =Cx y

观测器

K ˆx

ˆ+v ，闭环系统为组合系统：此时，u =K x

=A x +B u =A x +BK x ˆ+B v ⎧x ⎪ ˆ=(A −GC ) x ˆ+G y +B u =(A −GC +BK ) x ˆ+G y +B v ⎨x

⎪y =C x ⎩

二、基于观测器的状态反馈系统的特性

1.组合系统的矩阵表达形式

这里考虑n n 维状态观测器。组合系统：

=A x +B K x ˆ+B v , y =C x x

ˆ=(A −G C +B K ) x ˆ+G y +B v x (S-1)(S-2)

图5-5所示的闭环系统是一个所的闭系统个2n 维的系统。根据根据(S-1)式和(S-2)式可得到闭环的动态方程式为

⎤⎡A ⎡x BK ⎤⎡x ⎤⎡B ⎤+⎢⎥v ⎢ ⎥=⎢⎥⎢⎥ˆGC A −GC +BK x ˆx ⎣⎦⎣⎦⎣B ⎦⎣⎦

⎡x ⎤y =[C 0]⎢⎥ˆ⎦⎣x (5-50)

2. 组合系统的可控性：分离性原理

将(5-50) 式的动态方程进行如下的坐标变换

⎡x ⎤⎡I =⎢⎢x ⎥⎣ ⎦⎣I

⎡I 0⎤P =⎢⎥⎣I −I ⎦0⎤⎡x ⎤⎥⎢⎥ˆ⎦−I ⎦⎣x P −1⎡I 0⎤=⎢⎥⎣I −I ⎦

变换后，所得到的动态方程为

⎤⎡A +BK −BK ⎤⎡x ⎤⎡B ⎤⎡x v =+⎢x ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎦⎣0⎦A −GC ⎦⎣x ⎣⎦⎣0

⎡x ⎤y =[C 0]⎢⎥ ⎦可控性分解⎣x (5-51)

=x −x ˆ。其中，x

注意到上式是可控性分解的形式，不可控部分

A −GC （这说明观测器的所有模态均是不可控的模态）在传递函数的计算过程中将被消去，闭环系统的传递函数由可控部分决定，所以可得

G f (s ) =C [s I −(A +BK )]B −1

ˆ代替x 这说明用x x 作反馈未影响系统的输入输出关系，也即：

观测器的引入不改变原系统的转递函数阵。

从(5(5-51)51) 式可知，这时闭环系统矩阵的特征式可计算如下

⎧−BK ⎤⎫⎡A +BK ⎪⎪d t ⎨s I 2n −⎢de ⎬⎥A −G C ⎦⎪⎪⎣0⎩⎭

=det[s I n −(A +BK ) ]det[s I n −(A −GC )]

上式表明：状态反馈系统的动态特性和观测器的动态特性是相互独立的。这一特性的意义在于：

观测器的引入不影响由状态反馈阵K 所配置的极点

{λi (A +BK ), i =1,2, " , n }

状态反馈也不影响设计好的观测器的特征值

{λi (A −GC ), i =1,2, " , n }

分离性原理：若系统(A , B , C ) 可控、可观，对于基于观测器的状态反馈系统状态反馈律的设基于观测器的状态反馈系统，状态反馈律的设计和观测器的设计可独立地分开进行。

因此，若系统是可控、可观的，则可按闭环极点配置的需要选择反馈增益阵K ，然后按观测器的动态要求选择G ，G 的选择并不影响的选择并不影响已配置好的闭环传配好的闭环传递函数的极点。

通常把反馈增益阵和观测器一起称为控制器，这一控制器的输入是对象(A , B , C ) 的输入信号和输出信号，控制器的输出是状态估计值的线性函数，它作为反馈信号构成闭环控制，如图所示。

v u =Ax +Bu x

y =Cx y

观测器

k ˆK ˆx

控制器

由对象的输入经过观测器形成一个反馈信号，另反馈信号由对象的输出经过观测器所形成, 另一反馈信号由对象的输出经过观测器所形成这种结构称为种结构称为输入、输出反馈结构，是动态补偿是动态补偿器的一种形式。

3. 采用K x 观测器构成的反馈系统

问题：用K x 观测器来实现状态反馈时，分离特性是否成立？

组合系统结构图如下：

v

w u =Ax +Bu x y =Cx y

K x 观测

器w

K x 观测器构成的闭环系统

组合系统数学描述：

=A x +B u , x y =C x

r

p =F z +N u +G y , z ∈R z w =E z +M y , w ∈R

u =v +w

进一步写成：

=A x +B (v +w ) =A x +B (v +E z +M C x ) x

=(A +BM C ) x +B E z +B v

=(G C +NM C ) x +(F +N E ) z +N v z

y =C x

用矩阵表示： ⎡x ⎤⎡A+BMCBE ⎤⎡x ⎤⎡B ⎤=⎢+⎢⎥v ⎢z ⎥⎥⎢⎥⎣ ⎦⎣GC+NMCF+NE⎦⎣z ⎦⎣N ⎦

⎡x ⎤y =[C 0]⎢⎥⎣z ⎦

r ×n 根据定理5-12，存在P ∈R ：

(2)() PA −FP =GC

(3)N =PB

(4)K =EP +MC

进行如下的标变换进行如下的坐标变换

⎡x ⎤⎡I ⎢e ⎥=⎢P ⎣⎦⎣0⎤⎡x ⎤⎥⎢⎥−I r ⎦⎣z ⎦I 0⎡⎤ P =⎢⎥⎣P −I ⎦P −1⎡I 0⎤=⎢⎥⎣P −I ⎦

⎤⎡A+BK−BE ⎤⎡x ⎤⎡B ⎤⎡x =⎢+⎢⎥v ⎢e ⎥⎥⎢⎥F ⎦⎣e ⎦⎣0⎦⎣ ⎦⎣0

⎡x ⎤y =[C 0]⎢⎥, e =P x −z ⎣e ⎦

可见，分离性原理依然成立。

4.含观测器的状态反馈系统的缺点

一般说来，包含观测器的状态反馈系统在鲁棒性上较直接状态反馈系统来得差（可参见J.C. J C Doyle and G. Stein, Robustness with observers, IEEE AC 1979No 4) 。通常，应使观测器的特征IEEE AC, 1979, No.4)通常应使观测器的特征值的负实部是A +BK 的2到3倍，即

Re λi (A −GC ) =(2∼3) Re λi (A +BK )

事实上，若观测器的极点的实部与系统所要配置的ˆ接近于对象状态x 实部相差不大，则观测器状态x

ˆ代替x 的效果自然就不好。的速度就慢，用x

5.设计举例

⎡−100⎤⎡10⎤⎡100⎤⎢⎥⎢⎥A =⎢011⎥, B =⎢01⎥, C =⎢⎥011⎦⎣⎢⎢⎣001⎥⎦⎣01⎥⎦

要用状态反馈将系统的特征值配置到{−1, −2, −3}，并且用降维观测器来实现所需要的反馈。并且用降维观测器来实现所需要的反馈

根据分离性原理设计可分两部分进行根据分离性原理，设计可分两部分进行。

利用(5-46) 可得

−1−1⎡−C 1⎤⎡C 2C 1(I q −C 2G 2) ⎤

ˆ=w =⎢x ⎥z +⎢⎥y

I G ⎢⎥n −q ⎣⎦2⎣⎦

0⎤⎡0⎤⎡10⎤⎡0⎤⎡1

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−1z +⎢−g 11−g 2⎥y =⎢−1⎥z +⎢0−4⎥y ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥1g 1052⎦⎣⎦⎣1⎣⎦⎣⎦

⎡100⎤

C =⎢⎥

⎣011⎦

C 1

C 2

=(1−g 2) z −g 1u 1+(1−2g 2) u 2+z

2

(2g 1−g 1g 2) y 1−g 2y 2

0⎤⎡0⎤⎡1

⎢⎥⎢⎥ˆ=w =−1z +−g 11−g 2y x ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥1g g 2⎦⎣⎦⎣1

=−4z −9u 2−25y 2z

=−4z −9[01]u −25[01]y

⎡0⎤⎡10⎤⎢⎥⎢⎥ˆ=w =−1z +0−4y x ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥105⎣⎦⎣⎦

3). 包含状态反馈和降维观测器的闭环系统方程为：

⎡−100⎤⎡10⎤

⎡100⎤⎢⎥⎢⎥ =011x +0−4u , y =⎢x x ⎥⎢⎥⎢⎥011⎦⎣⎢⎢⎣001⎥⎦⎣05⎥⎦

=−4z −9u 2−25y 2=−4z −9[01]u −25[01]y z

⎡0⎤⎡10⎤⎡010⎤

⎡z ⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ˆ=w =−1z +0−4y =−10−4⎢⎥x ⎢⎥⎢⎥⎢⎥y ⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥105105⎣⎦⎣⎦⎣⎦

⎡0−125⎤

ˆ+v =⎢ˆu =K x x +v ⎥0−125⎦⎣

K

v

u

⎡10⎤⎢01⎥⎢⎥⎢⎣01⎥⎦

∫

⎡−100⎤

⎢011⎥⎢⎥⎢⎣001⎥⎦

x

⎡100⎤

⎢011⎥⎣⎦

y

C

−25[01]

−9[01]

∫

z

−4

K

⎡0−125⎤

⎢0−125⎥⎣⎦

ˆ=w x

⎡0⎤

⎢−1⎥⎢⎥⎢⎣1⎥⎦

⎡10⎤

⎢0−4⎥⎢⎥⎢⎣05⎥⎦

*G 1(s )

G 0(s )

y

*G 2(s )

1

G 0(s )

y

*G 1(s )

1

*G 2(s )

进而，对以上结构图作等效变换，有：

v

u G 1(s )

u

G 0(s )

' u 1

*G 2(s )

这里，

G 1(s ) =(I

*−1−G 1(s ))

这说明：从输入输出的关系看，基于观测器的状态这说明从输入输出的关系看基于观测器的状态反馈其效果相当于加入了一个串联校正和反馈校正。因此对观测器的讨论使我们对控制器设计有了更因此，对观测器的讨论使我们对控制器设计有了更深入的认识。

§5-3§53状态反馈、静态输出反馈、动态输出反馈态反馈、静态输反馈、动态输反馈

一、状态反馈

B

x

∫

A

C

K

K : p ×n

系统方程控制律闭环系统方程

=A x +B u x

y =C x

u =K x +v

=(A +BK ) x +B v x

二、静态输出反馈

B

x

∫

A

C

K : p ×q

K

系统方程控制律

闭环系统方程

x y u x

=A x +B u =C x =K y +v

=(A +ΒΚC ) x +B v

若C 是可逆方阵，就成为状态反馈的情况。

三、动态输出反馈

v

w

C 1B

x

∫

A

C

系统方程

=Ax +Bu x

y =Cx

x

1

∫

A 1B 1

D1

控制律

补偿器

u =w +v

1=A 1x 1+B 1y A 1∈R x

w =C 1x 1+D 1y

m ×m

m 阶动态输出反馈

闭环系统方程n m

⎤⎡A +BD 1C BC 1⎤⎡x ⎤⎡B ⎤⎡x

=⎢+⎢⎥v ⎢x ⎥⎥⎢⎥A 1⎦⎣x 1⎦⎣0⎦⎣ 1⎦⎣B 1C

⎡x ⎤

y =[C 0]⎢⎥(S-1)

⎣x 1⎦

动态输出反馈的设计问题可以化为一个静态输出反馈问题来讨论。态输出反馈问题来讨论

观测器问题的进一步讨论

本章讨论了参数确定的定常线性系统的观测器设计，但在实际控制系统设计中这些条件很难满足可但在实际控制系统设计中，这些条件很难满足。可能出现的问题有：

1. 对象参数不确定，甚至完全未知时的观测器设计：

=A x +B u , x

y =C x

2. 带有未知和不可测量干扰d 的定常系统观测器设计：

=A x +B u +F d , x

=A x +Φ(x , u ) , x

y =C x

3. 非线性系统的观测器设计，例如：

y =C x

其中，Φ(x , u ) 是某个非线性函数。

4. 时变性系统、一般非线性系统的观测器设计，等等。

作业：P 173-174，5.7-5.11