物理微积分

微积分的运用

——雨雾整理试用稿。（所有信息来自互联网。）

微积分知识自从2001年引入高中数学教材，并把它作为高考数学必考内容

以来，一直到今天，高中物理教材编纂者、高考物理命题者、高中物理知识传授者对微积分知识采取的不是把它作为一种处理物理问题的方法传授给学生，而采取的是回避态度。这一方面说明了高中物理编纂者、高考物理命题者、高中物理知识传授者思想的严重滞后，另一方面也不能真正体现数学这一学科的工具性。 一． 教材编写者不要回避微积分：

在现行高中物理教材中，教材编写者在解释某些概念和推导某些公式时，为了避开微积分，致使概念含混不清，给高中学生的正常学习带来了误解。

例如：在人民教育出版社物理室编著的全日制普通高级中学教科书(必修加选修)2002年审查通过的版本中，关于变压器原、副线圈电压关系的推导过程是这样的：

推导：设原线圈的匝数为n 1，副线圈的匝数为n 2，穿过闭合铁心的磁通量为Φ，原、副线圈中产生的感应电动势分别为E 1、E 2（如图1所示）。

E 1=n 1E 2=n 2

∆Φ

………………………⑴ ∆t

∆Φ

………………………⑵ ∆t

图1

由于是理想变压器，原、副线圈的电阻可忽略不计，故：

U 1=E 1……………………………⑶ U 2=E 2……………………………⑷

由以上四式得

U 1n 1

，此即为理想变压器原副线圈的电压与线圈匝数的关系=

U 2n 2

式。

这种方法的推导，笔者认为存在不足：由⑴⑵两式求得的感应电动势是平均值，变压器的输入、输出电压是交流电的有效值，平均值等于有效值存在知识性错误。笔者认为正确的方法应引入微积分，推导如下：

推导：如上图所示，因为变压器输入的是正弦交流电，所以穿过原、副线圈的磁通量随时间按下列规律变化：

对⑸求导得∆Φ

∆t

=BS ωcos ωt

Φ=BS sin ωt ………………⑸

……………………⑹

由⑴⑵⑹得：E 1=n 1BS ωcos ωt …………………⑺

E 2=n 2BS ωcos ωt …………………⑻

由此可知，变压器输入、输出均为正弦交流电。又由正弦交流电有效值U 和

n 1BS ωεm 可知：最大值ε的关系……………………⑼

m

U =

2

U 1=

2

U 2=

n 2BS ω2

……………………⑽

由⑶⑷⑼⑽得

U 1n 1

= U 2n 2

当然，编者可能认为在利用⑴⑵两式时，取∆t →0，笔者认为也不妥，因为这样求得的是感应电动势的瞬时值，有效值跟瞬时值也不是一个概念。 二．高考命题者不要回避微积分：

高考命题者在高考命题时，故意避开微积分，命的题实在避不开微积分，设计的答案也是取的一些中间过程或一些特殊情况，对高中学生的正常学习是一种错误引导。

例如：（2003年高考物理江苏卷）如图2所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r 0=0. 1Ω⋅m ，导轨的端

点P 、Q 用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离

l =0. 20m 。有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感应强度B 与时间t 的关系为B =kt ，比例系数k =0. 020T /s ，一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑

图2

动，在滑动过程中保持与导轨垂直，在t =0时刻，金属杆紧靠在P 、Q 端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t =6. 0s 时金属杆所受的安培力。

命题者设计的答案：此题的关键是解出t 时刻感应电动势的表达式。以a 表示

1

金属杆运动的加速度，在t 时刻，金属杆与初始位置的距离L =at 2①，此时杆

2

的速度v =at ②，这时，杆与导轨构成的回路面积S =lL ③，回路中的感应电动

∆B ∆B k (t +∆t ) -kt

S +Blv ④，其中==k ⑤，将①②③⑤式代入④式得势E =∆t ∆t ∆t 3

E =klat 2。

2

∆B

S +Blv ；这样的解法，存在两点误区：⑴为什么感应电动势可以写成E =∆t

∆B

S 解出的应该是感应电动势的平均值，而题目中要求的是t 时刻的瞬时值。⑵ ∆t

再解：由感应电动势的导数形式可得d φd (BS ) dB dS dB E ===S +B =S +B ⑥l 。v 将①②③⑤式代入⑥式可得

dt dt dt dt dt 3

E =klat 2。

2

∆B dB

S 解出是定值，∆t dt

的感应电动势的平均值与瞬时值相等，命题者设计的答案利用了这一特殊性。可这样的处理对高中物理教学起不到好的指导作用，如高考命题者设计答案时，利用微积分处理，一方面显得更简单明了，另一方面对高中物理教学能起到更好的引导作用。

三．高中物理教师课堂不能回避微积分：

直到今天，绝大多数的高中物理教师在课堂上碰到微积分知识处理物理问题时，采取的不是把它作为一种解决物理问题的方法教授给学生，而是采取了回避态度，这直接影响了学生理解物理问题的深度和广度。 例如：（2000广东高考）面积很大的水池，水深为H ，水面上浮着一正方体木块。木块边长为a ，密度为水的1/2，质量为m 。开始时，木块静止，有一半没入水中，如图所示。现用力F 将木块缓慢地压到池底。不计摩擦。求

⑴从木块刚好完全没入水中到停在池底的过程中，池水势能的该

图3

变量。

⑵从开始到木块刚好完全没入水的过程中，力F 所做的功。 教师在给学生讲解此高考题时，只给学生讲解该题提供的标准答案，殊不知，这严重地束缚了学生知识面的拓展，不利于素质教育的推行。笔者以第⑵问为例采用另一种更具有普遍意义的方

法分析：从开始到木块刚好没入水的过程中，对木块运用动能定理得：

a

W F +mg ⨯-W 0①，只需求出浮力做的功即可，浮=

2

由于磁感应强度B 随时间均匀变化（B =kt ），所以

W 浮=⎰F 浮ds =a ρ水ga 2sds =

2

a

113

ρ水ga 4-ρ水ga 4=mga ②，将②代入①得力F 所284

1

mga 。 4

在国家推行素质教育的今天，大力推广新课标，作为一名物理教育工作者，应紧跟时代步伐，充分调动学生的积极性和主观能动性。这就要求高中物理教材编纂者、高考物理命题者把好航标，高中物理知识传授者紧紧把握航标，充分应用数学这一工具，进一步拓展学生理解问题的深度和广度。

伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。 微积分（Calculus ）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用" 微元" 与" 无限逼近" ，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。 微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。

做的功W F =

1、解决变速直线运动位移问题

匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢？

例1、汽车以10m/s的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m/s2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？

【解析】 现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式v =v 0+at

12

at 就可以求得汽车走了0.025公里。 2但是，高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分。在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即‚无限求和‛，则总的位移就可以知道。现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与

1

时间轴所围图形的‚面积‛，即x =v 0t +at 2。

2

【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系x =v 0t +

v =v 0+at =10-2t ，从开始刹车到停车的时间t=5s， 所以汽车由刹车到停车行驶的位移

5a

x =⎰v (t ) dt =⎰(v 0+at ) dt =(v 0t +t 2) =(10t -t 2) =0. 025km

00020

5

5

5

小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直线运动，

只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出v －t 图像，找‚面积‛就可以。或者，利用定积分就可解决.

2、解决变力做功问题

恒力做功，我们可以利用公式直接求出W =Fs ；但对于变力做功，我们如何求解呢？

例2：如图所示，质量为m 的物体以恒定速率v 沿半径为R 的竖直圆轨道运动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为μ，求物体从

轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做了多少功。 【解析】物体沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，在不同位置与圆环间的正压力不同，故而摩擦力为一変力，本题不能简单的用W =F ⋅s 来求。 可由圆轨道的对称性，在圆轨道水平直径上、下各取两对称位置A 和B ，设OA 、OB 与水平直径的夹角为θ。在∆S =R ∆θ的足够短圆弧上，△S 可看作直线，且摩擦力可视为恒力，则在A 、B 两点附近的△S 内，摩

擦力所做的功之和可表示为：

∆W f =-μN A R ∆θ+(-μN B R ∆θ) 又因为车在A 、B 两点以速率v 作圆周运动，所以：

m v 2

N A -m g sin θ=

R m v 2

N B +m g sin θ

=

R

综合以上各式得：∆W f =-2μmv 2∆θ

故摩擦力对车所做的功：W f =∑∆W f =∑-2μmv 2∆θ=-2μmv 2∑∆θ=-πμmv 2 【微积分解】物体在轨道上受到的摩擦力F f =μN ，从最低点运动到最高点摩擦力所做的功为

π

W f =⎰(-μN A R -μN B R ) d θ=⎰2-2μmv 2d θ=-πμmv 2

小结：这题是一个复杂的变力做功问题，利用公式直接求功是难以办到的。利用微积分思想，把物体的运动无限细分，在每一份位移微元内，力的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在恒力作用下的运动；接下来把所有位移内的功相加，即‚无限求和‛，则总的功就可以知道。

在高中物理中还有很多例子，比如我们讲过的瞬时速度，瞬时加速度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想，所有这些例子都有它的共性。作为大学知识在高中的应用，虽然微积分高中不要求，但他的思想无不贯穿整个高中物理。‚微积分思想‛丰富了我们处理问题的手段，拓展了我们的思维。我们在学习的时候，要学会这种研究问题的思想方法，只有这样，在紧张的学习中，我们才能做到事半功倍。

求解在立体斜面上滑动的物体的速度

一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数μ恰好满足μ=tg α，α为斜面的倾角。今使物体获得一水平速度V 0而滑动，如图一，求：

物体在轨道上任意一点的速度V 与φ的关系，设φ为速度与水平线的夹角。

解：物体在某一位置所受的力有：重

力G ，弹力N 以及摩擦力f 。摩擦力f 总是与运动速度V 的方向相反，其数值

f =μN =μmg cos α=tg αmg cos α=mg sin α

重力在斜面上的分力为G 1，如图二，

将G 1分解为两个分力：G 1''是G 1沿轨迹切线

力，

''=G 1sin φ=mg sin αsin φ ；G 1'是沿轨G 1

法

向

的

分

力

，

方

向

的

分

迹

'=G 1cos φ=mg sin αcos φ，如图三。 G 1

根据牛顿运动定律，得运动方程为

''-f =ma τ （1） G 1

'=ma n （2） G 1

由（1），

1

a τ=(mg sin αsin φ-mg sin α) =g sin α(sinφ-1)

m 而

dV a τ=, 得到

dt

dV =g sin α(sinφ-1) dt , （3）

式中φ是t 的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在φ与t 中消去一个变量，才能积分，注意到

dt =

dS 1ds =d φ （4） V V d φ

而

ds

表示曲线在该点的曲率半径ρ，根据（2）式， d φ

mg sin αcos φ=m

V 2

ρ

（5）

由式（3）（4）（5），可得到 dV

=(tg φ-sec φ) d φ, V V dV φ

=⎰V 0V ⎰0(tg φ-sec φ) d φ，

积分，得到

ln

V

=-ln cos φ-ln(secφ+tg φ) =-ln(1+sin φ) ， V 0

V 0

.

1+sin φ

V =

运用积分法求解链条的速度及其时间

一条匀质的金属链条，质量为m ，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为L 1，另一边长度为L 2, 而且0

解：设金属链条的线密度为λ=

m

. 当一边长L 1+L 2

度为L 1+x ，另一边长度为L 2-x 时受力如图二所示，则根据牛顿运动定律，得出运动方程

(L 1+x ) λg -T =(L 1+x ) λa , T -(L 2-x ) λg =(L 2-x ) λa . 则a =

(L 1-L 2) +2x

g .

L 1+L 2

dV dV dx VdV

==，所以 dt dx dt dx

因为a =

VdV (L 1-L 2) +2x =g , dx L 1+L 2

⎰

V

VdV =⎰

x

(L 1-L 2) +2x

gdx

L 1+L 2

V =

2g

(L 1-L 2) x +x 2.

L 1+L 2

令x ≈L 2, 可以求得链条滑离钉子时的速度大小

V =

2L 1L 2g

L 1+L 2

再由V =

dx

, 得到 dt

dx =dt

2g

(L 1-L 2) x +x 2

L 1+L 2

⎰

x

dx

L 1-L 2）x +x 2

=⎰

t

2g

dt , L 1+L 2

积分，得到

x

ln[2x +(L 1-L 2) +2(L 1-L 2) x +x 2]0=

2g

t , L 1+L 2

2g

t , L 1+L 2

ln

2x +(L 1-L 2) +2(L 1-L 2) x +x 2

L 1-L 2

=

令x=L 2, 可以求得链条滑离钉子所需的时间为

t =

L 1+L 2L 1+L 2+2L 1L 2

ln =2g L 1-L 2

L +L 2L 1+L 2

ln 1. 2g L 1-L 2

求解棒下落过程中的最大速度

在密度为ρ1的液体上方有一悬挂的长为L, 密度为ρ2的均匀直棒，棒的下端刚与液面接触。今剪断细绳，棒在重力和浮力的作用下下沉，若ρ1

棒下落过程中的最大速度。

解：剪断细绳后，直棒在下沉过程中受到重

力G 和浮力F 的作用，如图一所示。根据牛顿运动定律，有

dV

. （1） dt

随着棒往下沉，浮力逐渐增大。当直棒所受mg -F =m

合力为零，即F =mg 时，棒的加速度为零，

速度

最大。设棒达到最大速度时，棒浸入液体中的长度为L 1，设棒的截面积为S ，则有

ρ1SL 1g =ρ2SLg ,

解得，

L 1=

ρ2

L . （2） ρ1

取x 坐标如图所示，则（1）式可以写为

dV

ρ2SLg -ρ1Sxg =ρ2SL .

dt dV dV dx dV

==V , 代入上式，得到 做变量代换，令dt dx dt dx

(1-

x ρ1

) gdx =VdV ; L ρ2

两边积分，得到

⎰

L 1

V 1x ρ1

(1-) gdx =⎰VdV

0L ρ2

得到，gL 1-

ρ1g 121(L 1) =V 12 ρ2L 22

将（2）式代入（3）式，得棒的最大速度为V 1=

运用微分法求解阻尼平抛

ρ2

Lg . ρ1

质量为m 的物体，以初速为V 0，方向与地面成θ0角抛出。如果空气的阻力

不能忽略，并设阻力与速度成正比，即f =-k V ，k 为大于零的常数。求：

物体的运动轨道。

解：根据受力情况，列出牛顿运动定律方程 m g +f =m a

其分量式，f x =-kV x =ma x , （1）

mg -kV y =ma y （2） 将a x =

dV x

代入式（1），得 dt

-kV x =m

dV x

, dt

dV k

改写成x =-dt ,

V x m 两边积分，得到

k -t m

⎰

V x

V 0x

t dV x k

=⎰-dt , 0V x m

V x =V 0x e =V 0cos θ⋅e

k

-t m

.

可见由于空气阻力的存在，x 方向的速度不再是常数，而随时间逐渐衰减。

dx

, 再积分，并以t=0时x=0,代入得到 由于V x =dt

-t -t V m V cos θ0

x =0x (1-e m ) =0(1-e m ). （3）

k k

k

k

同理，由于a y =

dV y dt

dV y dt

, 式（2）转化为

=g -

dV y k k k mg

=-dt . V y =(-V y ),

m g m m m k

-V y k

积分，并以t=0时，V y =V 0y =V 0sin θ0代入，得到

mg -m t mg

V y =(V 0sin θ0+) e -.

k k

k

可见，y 方向的速度也不再是匀减速的。再将上式对时间积分，并以t=0时

y=0代入，得到

-t m mg mg

y =(V 0sin θ0+)(1-e m ) -t . （4）

k k k

k

由（3）（4）两式消去t, 得到有阻力时的轨道方程

mg m 2g k m 2g k y =(tg θ0+) x +2ln(1-) x +2ln(1-x ).

kV 0cos θ0mV 0cos θ0mV 0cos θk k

显然由于空气阻力的作用，抛体的轨道不再是简单的抛物线了，实际轨道将比理想轨道向左下方偏离，如图一。

例如：以初速620m/s,仰角450发射的步枪子弹的射程，没有空气阻力时应为40km, 而实际射程只有4km.

求解飞机的滑行距离

飞机以V 0的水平速度触地滑行着陆。滑行期间受到空气的阻力为C x V 2，升力为C y V 2，其中V 是飞机的滑行速度。设飞机与跑道间的摩擦系数为μ，试求：

飞机从触地到停

止所滑行的距离。

解：取飞机触地点

为坐标原点，取飞机滑

行方向为x 轴。飞机在

水平方向上受力为：摩

擦力f =μN ，空气阻

力为f '=C x V 2；在竖

直方向上受力为：重

力、支持力和升力

F =C y V 2, 如图一所

示，应用牛顿第二定

律，得到

dV -μ

N -C x V 2=m dt

N +C y V 2-mg =0.

由上两式消去N ，得到

dV m =-μmg -(C x -μC y ) V 2. dt

dV dV dx dV ==V , 利用dt dx dt dx

dV =-μmg -(C x -μC y ) V 2. 得到mV dx

分离变量，积分

⎰V

V 0x mVdV =-dx ， 2⎰0μmg +(C x -μC y ) V

μm g +(C x -μC y ) V 2m ]. 得到x =-22(C x -μC y ) μm g +(C x -μC y ) V 0

在飞机触地的瞬间，V =V 0, 支持力N=0,由运动方程，得到

C y V 02=mg . 于是x =-C y V 02

2g (C y -μC y ) ln[μC y V 02+(C x -μC y ) V 2

C x V 2

0].

这就是飞机从触地到停止所滑行的距离。 社V 0=90km /h ,

x=221m.

求解阻尼自由落体和阻尼竖直上抛的相遇问题

两小球的质量均为m ，小球1从离地面高度为h

处由静止下落，小球2在小球1的正下方地面上以初

速V 0同时竖直上抛。设空气阻力与小球的运动速率成

正比，比例系数为k(常量) 。试求：

两小球相遇的时间、地点以及相遇时两小球的速

度。

解：两小球均受重力和阻力作用，取坐标如图一

所示，两小球的运动方程可统一表示为

d 2y m 2=-kV -mg ,

dt C y C x ，μ=0. 10。代入数值计算后，得到 =5（升阻比）

它们运动状态的差别仅由于初始条件的不同而

引起的，故

dV k =-V -g , dt m

分离变量

dV

k -V -g m =dt .

对于小球1，初始条件为t =0时，V 10=0, y 10=h , 故

⎰V 1

0t dV =⎰dt , 0k -V -g m

-t mg V 1=-(1-e m ). (1) k k

对于小球2，初始条件是t=0时，V 20=V 0, y 20=0, 故

⎰V 1

V 0t dV =⎰dt , 0k --g m

-t mg mg 得到V 2=（V 0+）e m -. （2） k k k

由（1）式，得到

-t dy 1mg =-(1-e m ), dt k k

-t mg dy 1=-(1-e m ) dt k k

⎰y 1

h -t mg dy 1=⎰-(1-e m ) dt 0k t k

积分，得到

-t m 2g mg y 1=h +2(1-e m ) -t . k k k

由式（2）得到

dy 2mg -m t mg =(V 0+) e -, dt k k k

mg -m t mg dy 2=[(V 0+) e -]dt k k k

⎰y 2

0mg -m t mg dy 2=⎰[(V 0+) e -]dt 0k k t k

积分，得到

m mg -m t mg y 2=(V 0+) e -t k k k k

两小球相遇时，y 1=y 2, 相遇时间为t *，由（3（4）两式，得到

-t *-t *m kh m h =V 0(1-e ) ，e m =1-, k mV 0k k

故t *=-m kh ln(1-), k mV 0

把上述结果代入（3）或者（4），得到两小球相遇的地点

mg m 2g kh y =(1+) h +2ln(1-). kV 0mV 0k *

代入（1）（2），得到两小球相遇时的速度

V 1*=-mg kh gh [1-(1-)]=-; k mV 0V 0

V 2*=(V 0+mg kh mg gh kh )(1-) -=(V 0-) -. k mV 0k V 0m

讨论：（1）当阻力很小时，即当k →0时，利用展开式

x 2

ln(1-x ) =-x -, 2

上述结果简化为

t *=h *gh gh *gh *; y =h -; V =-, V =V -. 120V 0V 0V 02V 02

这正是不考虑空气阻力时的结果。

（2）当考虑如提设的空气阻力时，由上述结果可知，只在下述条件下

kh , mV 0>kh , 或者V 0>m

两小球才有可能相遇。

在非惯性系中求解球环系统的运动情况

一轻绳的两端分别连接小球A 和小环B ，球与环的质量相等，小环B 可在拉紧的钢丝上作无摩擦的滑动，如图一。现使小球在图示的平面内摆动。求：

小球摆离铅垂线的最大角度θ时小环和小球的加速度。

解：当小球摆动时，小环沿钢丝做加速运动。以小环B 为参考系，则小球受重力和绳子拉力外，还受惯

性力F 惯=ma B 的作用，如图

二。其加速度a 'A 沿圆弧的切

线方向。在最大摆角为θ时

的运动方程为

T +F 惯sin θ-mg cos θ=0,

mg sin θ+F 惯cos θ=m a 'A

小环B 在水平方向的运动方程为T sin θ=ma B .

解方程，得到

a B =g sin 2θ2g sin θ'。 , a =A 2(1+sin 2θ) (1+sin 2θ)

小球A 相对地的加速度

a A =a '+a A B ，取如图二所示的坐标

系，则有

a Ax =a 'A cos θ-a B =sin 2θg , 2(1+sin 2θ)

a Ay 2sin 2θ=a 'g . A sin θ=2(1+sin θ)

（在使用过程中有疑问，欢迎加我，与讨论。）