数学期末总复习

第五章 有理数

一. 概念:

1.正数和负数:表示相反意义的量.比如海平面上用”+”,海平面下则用”-“;往东用”+”,往西则用”-“.

2.有理数分类(注: 整数都可以看做是分母为“1”的特殊分数。但对于某个具体的数，其究竟属于整数还是分数时，还是按照整数与分数的分类来确定，比如3，虽然可看做3/1但其实是正整数

).

3.无理数：即为无限不循环小数，比如.

4.相反数：只有―+‖和‖-‖符号不同的两个数，比如+2和-2。互为相反数的两个数之和为零，其在数轴上到原点―0‖的距离相等且对称。0的相反数是它本身。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.

5.绝对值: 绝对值：数a到原点的距离(绝对值)=|a|≥0)

a (a>0) 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数

|a|= 0 (a=0) 正数大于零，零大于负数，正数大于负数

-a (a

6.有理数加法：同号，取原符号绝对值相加；异号，绝对值相等时和为零，绝对值不等时，和等于大绝对值减小绝对值的差，取绝对值大的符号.

7.有理数减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数.

8.有理数乘法：两个数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘.

几个数相乘，绝对值相乘，符号-负因数有奇数个取‖-―，负因数有偶数个取‖+‖.

9.有理数除法：除以一个数，等于乘以这个数的倒数.

10.有理数乘方:=0, =1, =1(n为偶数)，或-1(n为奇数).

11.有理数混合运算：先乘方，后乘除，再加减；同级运算从左到右；如果有括号，先算小括号，后算中括号，再算大括号。括号前带负号，括号内各项变号.

12.科学计数法:

二. 典型题型:

1.相反数和绝对值:

例1: (其中1≤|a|

例

2:

2.数轴和绝对值

:

第六章 一次方程(组)和一次不等式(组) --本学期重点章节

一. 一元一次方程:

1.如下方程，当n=1时，方程称为一元一次方程。

2.对于方程 (n=2,3,4,…). 要使得其为一元一次方程，必须同时满足：

1). a=0，即大于1的次数项必须等于0(0乘以任何数都等于0)；

2). b≠0，即次数为1的项不能等于0.

3.方程的解：未知数取某个值使得方程左右相等，这个未知数的值称为―方程的解‖

4.等式性质：等式两边同加(或同减)同一个数或同一个含字母的式子，仍是等式；等式两边同乘一个数(或同除一个不为零的数)，结果仍是等式。

5.求方程解的过程叫做解方程。解一元一次方程的一般步骤：

去分母—去括号—移项—合并同类项—划1—结论—检验.

6.一元一次方程的应用：1.设未知数；2.列方程；3.解方程；4.检验并做答.

二. 一元一次不等式(组):

1.用不等号‖>‖、―

2.不等式性质：

1).不等式两边同加(或同减)一个数或一个含字母的式子，不等式不变号；

2).不等式两边同成乘以(或同除以)同一个正数，不等号的方向不变；

3).不等式两边同乘以(或同除以)同一个负数，不等式方向改变。

3.在含有未知数的不等式中，能使得不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。不等式解的全体叫做不等式的解集。求不等式解集的过程叫做解不等式。只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。

4.在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。不等式解的全体叫做不等式的解集，可以再数轴上直观表示(含―=‖用实心，不含等号用空心)。求不等式解集的过程叫解不等式。只含一个未知数且未知数次数是一次叫一元一次不等式。解一元一次不等式步骤与解一元一次方程类似，但注意若在不等式两边同乘或同除同一个小于零的负数，不等式方向改变(变号)。

5.一元一次不等式组的解集：在数轴上分别画出每个不等式的解集，然后取所有不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集.

三. 二元一次方程组: 解法要点是通过‖消元‖将二元一次方程变为一元一次方程再求解。

1.带入消元法：

①选一个系数比较简单的方程进行变形，变成 y = ax +b 或 x = ay + b的形式；

②将y = ax + b 或 x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出 x 或 y 值；

④将已求出的 x 或 y 值代入方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数；

⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。

2.加减消元法：

①在二元一次方程组中,若有同一个未知数系数相同(或互为相反数),则可直接相减(或相加),消去一个未知数; ②在二元一次方程组中,若不存在①中的情况,可选择一个适当的数去乘方程的两边,使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数),再把方程两边分别相减(或相加),消去一个未知数,得到一元一次方程;

③解这个一元一次方程;

④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程,求另一个未知数的值;

⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来,这就是二元一次方程组的解. 例：解方程组 x+y=9 ① x-y=5 ②

解法1： ①+②得： 2x=14 ∴x=7 解法2： ①-②得：2y=4 ∴y=2

把x=7代入①得： 7+y=9 ∴y=2 把y=2带入①得：x+2=9 ∴x=7 ∴方程组的解是 x=7 ∴方程组的解是 y=2 3.换元法：

解方程组 x+5)+(y-4)=8

x+5)-(y-4)=4

解：令x+5=m,y-4=n 原方程可写为 m-n=4

解得m=6, n=2 所以 所以 特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程。同样，如果同时含x和y的代数式，比如2x+5y，也可以将其设为一个未知数。

4.设参数法：

解方程组 x:y=1:4 ①

5x+6y=29 ②

解：令x=t, y=4t 方程②可写为：5t+6*4t=29 ∴ 29t=29 ∴ t=1 所以 x=1

y=4

四. 三元一次方程组：

关键还是‖消元‖，三元一次方程组没有固定的解方程方法，需要视方程组的特点，采用代入或加减等方法消元，下面就几类常见的三元一次方程组(从第二类开始为特殊类)，分别介绍解方程办法。

第一类:即普通类.每个方程均含三个未知数.先观察哪个未知数最容易消元,通过对方程做乘(变为相同或相反的系数)和做加减,得到两个方程—消元后的二元一次方程组,求出这两个未知数后再代入原方程组中任一含三个未知数的方程中,最后再求另外一个未知数.

例1： x-2y+z=9

2x+y+3z=10

3x+2y-z=3

第二类:其中一个方程中，可求出某个未知数的解,或是该未知数可用其他两个未知数的表达式来表示,则可将这个未知数的解或表达式代入另外两个方程,将其变为二元一次方程组.

例2： x-y-z=0 例3：z=x+y

4x+8y+z=17 2x-3y+2z=5

Z=1 x+2y-z=3

第三类:其中一个方程含两个未知数,外两个方程含三个未知数,将三个未知数的两个方程做消元,变成一个含两个未知数方程,将消元后的该方程与原两个未知数的方程合并,就成为了二元一次方程组.

例4： 3x+4z=7

2x+3y+z=9

5x-9y+7z=8

第四类:三个未知数成比例(三个未知数连等或两两成比例.如果是两两比例关系,先按比例性质化成三个未知数的比例关系),通过设待定系数k,将三个未知数都用k来表示,再代入方程组中不是比例关系的另外一个含三个未知数的计算式中,计算出k从而就计算出三个未知数的值.

例5：

例6： x:y=3:2

y:z=5:4

x-2y+3z=30 x+y+z=66

第五类:三个方程分别都是两个未知数相加且系数相同,将三个方程相加得到三个未知数相加的等式,再将每个含两个未知数的方程分别带入三个未知数相加的等式,可求出每个未知数的值.

例7：x+y=3 例8： x+y=11

y+z=5 2y+2z=24

x+z=4 第六类:三个方程有两个方程分别是两个未知数相加且系数相同,另外一个方程是两个未知数相减.利用不同方程间的加减无法达到消元目的,或直接把未知数抵消了等式两边都变成常数.需利用两个加法方程的移项,用一个未知数的表达式,分别将第三个减法方程中的两个未知数表示出来(比如例9中,分别用y将x和z表示),再代入减法的方程中,通过减法方程只有一个未知数先计算出该未知数,最后求出另外两个未知数.

例9： x+y=5

y+z=3

x-2z=2

注:其中两个方程式相减且系数相同,另外一个方程式相加,也属于第六类,方法类似,用相减的两个方程移项,用表达式将相加的方程中两个未知数表示出来,代入相加的方程中求解即可.

五. 一元一次方程的应用：

1.答题：

例：六年级各班组队参加学校组织的数学竞赛。竞赛规则是：每队都分别给出50道题，答对一题得3分，不答或者答错扣1分。如果六(1)班代表队最后得分130分，那么六(1)班答对多少题？

解法1：利用一元一次方程求解。设六(1)班答错x题，则答对(50- x)题。由题目得方程

3(50-x) – x = 130 x=5，所以答对50-5=45题

注：此类题目若设未知数，通常设答错(或没答)的题目数。当然，也可以设答对题目数为未知数。 解法2：不利用方程直接求解。请注意此法与利用方程求解的差别。

一共50题，若全部做对，―总应得分‖=50X3=150，而―实际得分‖=130分，―总损失分‖=150-130=20分 为什么损失20分？是因为没做或做错。没做或做错1题的―损失分‖=3(未得到应得的3分)+1(扣的分数)=4 所以，没有做或做错的题目数=20 ÷ 4 =5，做对的题目=50 – 5 =45

2.选项：

例：全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9人；如果增加一条船，每条船正好坐6人。问这个班同学共有多少人？

解法1：设全部同学为x人，根据题目列方程：

，求得x=36.

解法2：设计划需要船y条，根据题目列方程：

9(y-1)=6(y+1)，求得y=5(条)，同学数=(5+1) X 6 =36(人)

注：注意如上两个解法的差别。也可分别将同学人数和船数设为两个未知数，利用二元一次方程组求解。

3.盈亏：

例：盈利=售价(销售价) - 成本(买入价) 亏损=成本(买入价) – 售价(销售价) 盈利率(%)=盈利/成本

4.路程：路程=速度X时间

注：本题也可分别将规定小时和路程设为两个未知数，利用二元一次方程组求解—请见―七.二元一次方程组的应用‖中―2.路程‖中的例4。

注：不论是追及、相遇还是其他与路程有关的题目，先列出2个人(或车)各自的速度、时间和路程(路程=速度X时间)，然后找到他们路程的关系列出等式，从而求得未知的量。

5.水中行船：顺水行驶速度=船速+水速 逆水行驶速度=船速-水速

6.坐出租车：注意出租车分段计价，首先需根据车费测算出里程的大致范围，然后才好列方程式。

7.工作量：工作量=工作效率X工作时间 工作量通常视做―1‖，则工作效率=1/工作时间

8.浓度：

六. 一元一次不等式(组)的应用：

1.答题：与方程式类似，只是由等号变成不等号。求出的解需根据题目做出调整—比如例子中取最小的正整数。

2.门票

某单位计划10月组织员工到某地旅游,人数估计在10-25人之间,甲乙两旅行社服务质量相同,旅游价格都是每人200元,甲旅行社可给游客七五折优惠,乙旅行社表示可免去一位游客的费用,其余游客八折优惠,问该单位应怎样选择,使其支付的旅游综费用较少.

解:设人数为x,根据题目10≤x ≤25, 且x为正整数.

甲旅行社 0.75 X 200x = 150x 乙旅行社 0.8 X 200(x-1) = 160x -160

1). 150x > 160x-160 x

2). 150x = 160x-160 x=16, 所以x=16时,甲乙旅行社总费用一样多

3). 150x 16, 所以x=17,18,19,20,21,22,23,24,25时,甲旅行社总费用较少

3.三角形：

例：一个三角形的三条边分别为4a+5、2a-1、20- a(其中a为整数)，求此三角形的周长。

解： 三条边都是含a的表达式，求周长必须求出a的取值(或范围)。

解题关键在于利用三角形三条边的关系建立不等式，从而确定a的取值。三条边除了都必须大于0外，还有

就是任何一条边必须小于其余两条边之和。所以，列出需满足的不等式组如下：

4a+5>0 2a-1>0 a>1/2

20-a>0 a

4a+5 a

2a-1-26

20-a

三角形周长=4a+5+2a-1+20-a=5a+24 当a=3时，周长=39，当a=4时，周长=44

七. 二元一次方程组的应用：

1.选项：

2.路程：

例：已经一铁路长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到车身过完桥共用时1分钟，整列火车完全在桥上时间为40秒。求火车速度和火车长度。

解：设火车速度为x(米/秒)，火车长度为y(米)，根据题目列方程组

60x=1000+y ①

40x=1000-y ②

①+②得100 x=2000，x=20，代入①得 y=200

3.水中行船：

例1:甲乙两港水路相距80千米,一船顺水由甲港到乙港需要4小时,由乙港逆水返回甲港需要5小时.求船在静水中的速度和水流的速度.

解:设船在静水速度为x(千米/小时),水流速度为y(千米/小时),根据题目列方程组

4(x+y)=80 ①

5(x-y)=80 ②

由①得 x+y=20 ③

由②得x-y=16 ④ ③+④得2x=36, x=18, 代入③得y=2

例2：一客轮逆水行驶，船上一乘客掉了一件物品，浮在水面上，等乘客发现后，轮船立即掉头去追(假设耗时为零)，已知轮船从掉头到追上共用5分钟，问乘客丢失了物品是几分钟后发现的？

解：设t秒后发现，水流速度是x(米/秒)，船行驶速度是y(米/秒)，根据题目列方程:

(y+x)*300-300x=xt+(y-x)t

∴ 300y+300x-300x=xt+yt-xt 300y=yt t=300(s) 即5分钟

注：本质上就是掉头后的“追及”，(y+x)*300是追及过程中船行的距离，300x是追及过程中物品行驶的距离(其实就是水流距离)，xt+(y-x)t则是掉头前船与物品的距离, xt是t秒钟物品随水流行进距离, (y-x)t是t秒钟船逆水行驶的距离,两者之和就是发现物品掉落时,船与物品的距离差, 即追及开始前的距离差(假设掉头不耗时)。

4.种树:

例:在道路两旁种树(含两头),若每隔5米种一棵,则多出48棵树;若每隔4米种一棵,则少52棵树.问这条路长多少米?总共有多少棵树?

解:设这条路长x米,共计有y棵树,根据题目列方程组

由原方程组得到 2x+10=5y-240 ③

2x+8=4y+208 ④

③-④得 2= y-448， y=450，代入④得 x=1000

5.浓度：

例：要配浓度为45%的盐水12千克，现有浓度10%和85%的盐水，问这两种盐水各需要多少千克？ 解：设需10%浓度的盐水x千克，需85%浓度的盐水y千克，根据题目列方程组：

x+y=12 ①

0.1x+0.85y=12 X 0.45 ②

由①得 x=12-y，代入②得，y=5.6, 所以x=6.4

x=6.4

y=5.6

5.动态进出:

例:电信局现有600部已申请电话待装,此外每天另有新申请电话待装.设每天新增待装的电话数相同,如果每天安排3个装机小组,60天恰好装完;如果每天安排5个装机小组,20天恰好装完.问:每天新申请电话多少部?每个装机小组每天安装多少部电话?

解:设每天新申请电话x部,每个小组每天装y部电话,根据题目列方程组

600+60x=3y X 60 ①

600+20x=5y X 20 ②

化简得到 10+x=3y ③

30+x=5y ④

④ -③得 2y=20 y=10 代入③得 x =20

例: 600名旅客在车站候车室等待检票,并且排队的旅客按照一定的速度在增加,检票速度一定.当车站开放一个

检票口,需要半个小时可以将待检票旅客全部检票进站;同时开放两个检票口,只需要10分钟可让旅客全部进站.问每个检票口每分钟可以通过多少旅客?排队的旅客每分钟增加多少人?

解:设计每个检票口每分钟可通过x个旅客,排队旅客每分钟增加y人,根据题目列方程组:

600+30y=30x ①

600+10y=20x ②

②X3-①得 1200=30x, x=40, 代入①得 y=20

注：②右边是2*10x=20x,因为是两个检票口，我们设的未知数x是每个检票口每分钟通过旅客数。

6.数字：

例：已知一个两位数,它的十位上的数字与个位数上的数字之和是3,如果颠倒各位与十位上数字的位置,那么得到的新数比原数小9.求这个两位数.

解:设这个两位数的个位数字为x,十位数字为y,根据题目列方程组：

x+y=3 ①

(10y+x)-(10x+y)=9 ②

由①得 y=3-x，代入②得 x=1，代x=1入①得 y=2. 所以这个两位数是21。

7.配套：

例：车间有工人26人，一个工人平均每天加工甲种零件15个或乙种零件10个，某种仪器每套需要甲种零件2个，乙种零件3个。问：应如何分配工人工作，才能使得每天生产出的零件恰好配套？

解：设安排x个工人生产甲种零件，安排y个工人生产乙种零件，这时每天生产零件刚好配套。列方程组： x+y=26 ①

15x:10y=2:3 ②

由①得 x =26-y ③

由②得 20y=45x ④

代③入④得 65y=1170，y=18，代入③得 x=8

注：注意理解方程式②，15x和10y分别是每天生产甲种类零件和乙种零件的数字，按2:3配套。 例：如下方程式2，最好按12x:18y=1:2 来列，通过比例的性质—对角线相乘，以免列式发生错误。

8.工作量：

例：一工程队承包甲工程，晴天需要12天完成，雨天工作效率下降40%。二工程队承包乙工程，晴天需要15天完成，雨天工作效率下降10%。两队同时开工，同时完工。问两施工队施工了多少天？施工期间下了几天雨？

解：同时开工同时完成，则两个工程队的工作天数相同，而且遇到的下雨天数也相同。 设施工x天，期间下雨y天。则在施工期间晴天的天数是(x-y)天。根据题目列方程式：

解得 x=16

y=10

注：二元一次方程组的解一定要写成大括号形式，上面所列的两个方程式分别是两个工程队的工作量(―1‖)。 9.不等式和方程的混合：

例：某培训班有一批学员，住若干间宿舍。如果每间住4人，则还余19人；如果每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，求宿舍间数和学员人数。

解：本题关键是如何理解每间住6人时，其中一间宿舍―不空也不满‖：―不空‖表示扣除其他宿舍住的人之后，这一间宿舍至少有1人入住(>=1)，―不满‖表示扣除其他宿舍住的人之后，这间宿舍最多住了5个人(

由①得 x=4y+19，代入②得1≤25-2y≤5 所以10≤y≤12 由题目y只能是正整数 当y=10时，x=59；当y=11时，x=63；当y=12时，x=67

注：请特别注意理解②的含义，是表示所有学员扣除(y-1)间宿舍住满6人后剩余在最后一间宿舍的人数。 例:把若干件玩具分给班中小朋友,如果每人分4件,那么还余27件;如果每人分5件,那么有一个小朋友还缺若干件.问这个班级至少有多少个小朋友.

解:关键在于理解‖ 如果每人分5件,那么有一个小朋友还缺若干件‖.0件也是缺,如果是5件则不缺,考虑到玩具个数是非负整数,所以在其他小朋友都是5件的情况下,只有最后这位小朋友的玩具个数是>=0,而且

由①得，y=4x+27,代入②得， 0≤32-x≤4，所以28≤x≤32，这个班级至少有28位小朋友。

注：请注意理解②的含义，是表示所有玩具扣除(x-1)个小朋友各拿5个后，剩余给最后一个小朋友的玩具数。 10.方程组解概念：

2x – y = -5/3

例1：已知方程组 ax + 2y = 4 与 3x +by = 1/2 有相同解。求a、b 的值。 解：因为两个方程有相同解，所以可将不含a和b的两个方程式列为二元一次方程组： 4x + 3y = -5 ① 2x – y = -5/3 ②

② X 3得 6x-3y=-5 ③ , ③+①得，10x=-10, x= -1, 带x= -1入①得，y= -1/3 所以， x= -1 y= -1/3

代这个解进ax + 2y = 4得，a= -14/3 代这个解进3x +by = 1/2得，b= -21/2 例2：已知方程组 x+2y=5

4x-3y=4+a 的解使等式2x+y=1成立。求a的值。

解：根据题目，联立得到方程组： x+2y=5 2x+y=1 求得 x= -1

y= 3 代这个解入4x-3y=4+a，求得a= -17 例3：若方程组 x+y=5m ①

x-y=7m ② 的解满足2x+3y=9，求m的值。 解：①+②得, 2x=12m，所以x=6m，把x=6m代入①得，y= -m 所以， x= 6m

y= -m 代入2x+3y=9得，12m-3m=9, 所以9m=9，m=1 例4：甲乙两人同解方程组 ① 4x - by = -2 ②

甲看错方程①中的a得解 x=-3 ,乙看错方程②中的b得解 x=5 ,求a+b的值。 y=1 y=4 解：甲看错方程①中的a，但没有看错方程②，所以甲求得的解是方程②的解；

同样，乙看错方程②中的b,但没有看错方程①，所以乙求得的解是方程①的解。 代x=-3 入方程②得 b=-10, 代 x=5 入方程①得a=-1 y=1 y=4 所以，a+b= -11

例5：如果方程组 3x-4y=5k+11 ① 的解互为相反数，求k的值以及这个方程组的解。 2x+3y=k-5 ②

解：由②得 2(x+y)+y=k-5 ∵x与y的解互为相反数，∴ x+y=0 ∴y=k-5， x=5-k 将y=k-5， x=5-k代入①得，k=2 ∴ x= 3 y= -3 11.其他：

小明去商店买甲乙丙三种书，若买甲3本、乙2本和丙1本，需要315元；若买甲1本、乙2本和丙3本，需要285元。求买甲乙丙各1本需要多少元？

解：看似三个未知数，只有两个已知条件，好像无法求解。但本题只是求三个未知数各1时的值，并非求三个未知数各自的值。

设买甲1本需x元，买乙1本需y元，买丙1本需z元，由题目列方程组： 3x+2y+z=315 ① x+2y+3z=285 ②

① + ②得，3x+3y+3z=600,所以，x+y+z=200

八. 三元一次方程组的应用： 1.数字：

例：一个三位数，个位和百位上的数字和等于十位上的数，百位上的数的7倍比个位和十位上的数的和大2，且个位,十位和百位上的数和是14，求这个三位数。

解：设这个三位数的个位数字为x,十位数字为y，百位数字为z，由题目列方程式： y=x+z x+y+2=7z x+y+z=14

解得

y=7

，所以这个三位数是275 2.上下坡: 例1：

注：设未知数是去时平路、上坡和下坡的路程，去时与回来不同(去时上坡变成回来时下坡)。 例2：

3.比赛：

注：本题也可根据题目已知，只设一个未知数来求解，设负x场，则胜2x场，平(10-3x)场。 4.其他：

第七章 线段和角的画法 1.两点之间,线段最短.

2.互余：角a + 角b =90度；互补：角a + 角b =180度。

注：如果已知∠AOB并知其余角(或补角)是∠BOC，要在图中画出它的余角(或补角)，由于在共用OB情况

下，存在顺时针和逆时针两种，所以其余角(或补角)有两种画法。 例1：如下，因为共用OB边存在顺时针和逆时针两种，所以∠AOC=20或

80

例2：与角度相似，以B点为线段的一端，可以是向右也可向左，所以线段AC长度是5或1。

例3：如下，因为OC存在两种可能性，所以∠BOP也有两种可能性。

注：如果同时画角AOB余角和补角，因为各有2种可能性，所以，将有4种组合，图略。

3.规律总结：两直线相交，两对角的角度相等；两直线平行并均与一直线相交，同位置的两角的角度相等。

图1 图2

1). 如图1，AB与CD交于O，则∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠COB 2). 如图2，AB与CD平行，EF与AB和CD分别交于P和Q

则∠EPB=∠APQ=∠PQD=∠CQF ∠APE=∠BPQ=∠PQC=∠DQF

4.求线段长度： 例1：见图中第11题：

解题关键在于找到需求长度的线段(未知)与图中已知线段的比例关系，通过比例和已知线段长度求出未知。 解：∵AC=CB, ∴AC=1/2AB

∵BD=2AD, ∴AD=1/3AB

∴DC=AC-AD=1/2AB-1/3AB=1/6AB, ∴AB=6DC=12 例2：如下图，已知EF=10CM，求AD和AB长度。

解：∵AC:CD:DB=2:3:4，E和F分别是中点

∴AD=2EF=20CM

∴AD=5/9AB EF=5/18AB AB=18/5EF=36CM 例3：如下图，已知CD=10CM，求AB的长。

解：∵AD=1/4AB AC=2/3AB ∴ DC=AC-AD=2/3AB-1/4AB=5/12AB AB=12/5DC=24CM

例4：如下图，求序号为24的线段长度。

解：由图得出各线段的长度规律是2,1,3,2,4,3，。。。

其中奇数线段长度为2,3,4,5，。。。，偶数线段长度为1,2,3,4，。。。，

序号24为偶数线段的第12个，长度应为1+11=12

加入求序号为25的线段长度，其为奇数线段的第13位，长度应为2+12=14 4.方位：

例：如下图，由于两直线相交的对角相等，所以，答案应为―南偏西50度‖。

第八章 长方体的再认识 1.多个正方形叠后的表面积：

2个正方形叠在一起，“面”将由原12个减少为10个(有2个面“合并消失”)； 3个正方形叠在一起，“面”将由原18个减少为14个(有4个面“合并消失”)； 4个正方形叠在一起，“面”将由原24个减少至16个(有8个面“合并消失”)。

2.长方体面积和体积的转化：

例：如下，关键是将相邻三个面的面积数字各分解素因数，然后将三个面分解素因数后的数字连乘，依据其结果刚好是长方体的体积的平方，由素因数合并，可得到体积。

3.长方体砍掉一个角，由于砍掉角度的不同，剩下的棱有4种可能。