万有引力双星与三星问题
专题：“双星”及“三星”问题
【前置性学习】
1. 甲、乙两名溜冰运动员m甲=70kg,m乙=36 kg，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演（如图1），两人相距0.9 m，弹簧秤的示数为21 N，下列判断正确的是（ ）
A．两人的线速度相同，约为1 m/s B．两人的角速度相同，为1 rad/s
C．两人的运动半径相同，为0.45 m
图1
D．两人的运动半径不同，甲为0.6 m,乙为0.3 m ★学习目标 1.
★新知探究
一、 “双星”问题：
两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。双星问题是万有引力定律在天文学上的应用的一个重要内容，现就这类问题的处理作简要分析。 1.要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源
双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提 供。由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。
2.要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系
两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等 的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。 3.要明确两子星圆周运动的动力学关系。
设双星的两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角 速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：
M1： GM1M2=Mv1=Mrω2
11112
L
r1
2
M2：
2
M1M2v22 G=M2=M2r2ω2
2Lr2
2
2
在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星
间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。 4.“双星”问题的分析思路 质量m1，m2；球心间距离L；轨道半径 r1 ，r2 ；周期T1，T2 ；角速度ω1，ω2 线速度V1 V2；
角速度相同：（参考同轴转动问题）ω1 =ω2
（由于在双星运动问题中，忽略其他星体引力的情况下向心力由双星彼此间万有引力提供，可理解为一对作用力与反作用力）
m1ωr1=m2ωr2
m1r1=m
2r2 r1:r2=m2:m1 线速度之比与质量比相反：（由半径之比推导） V1
=ωr1 V2=ωr2
V1:V2=r1:r2=m2:m1
二、 “三星”问题 有两种情况：
第一种三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R的圆轨道上运行，周期相同；
第二种三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的外接圆轨道运行，三星运行周期相同。
★例题精析
【例题1】在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为量分别为
和
，试计算：
，质
（1）双星的轨道半径； （2）双星的运行周期； （3）双星的线速度。
分析：双星系统中，两颗星球绕同一点做匀速圆周运动，且两者始终与圆心共线，相同时间内转过相同的角度，即角速度相等，则周期也相等。但两者做匀速圆周运动的半径不相等。
，周期为
解：设行星转动的角速度为 （1）如图，对星球
同理对星球
有：
，由向心力公式可得：
两式相除得： 又因为 所以 （2）因为 （3）因为
，
（即轨道半径与质量成反比）
，
，所以，所以
说明：处理双星问题必须注意两点（1）两颗星球运行的角速度、周期相等；（2）轨道半径不等于引力距离（这一点务必理解）。弄清每个表达式中各字母的含义，在示意图中相应位置标出相关量，可以最大限度减少错误。
【例题2】（01北京.08宁夏卷）两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。（引力常量为G）
【例题3】宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设三颗星质量相等,每个星体的质量均为m。
（1）试求第一种情况下，星体运动的线速度和周期
(2)假设第二种情况下星体之间的距离为R,求星体运动的线速度和周期
★自我测评
1.两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是：
A、它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比。 B、它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比。 C、它们做圆周运动的半径与其质量成正比。 D、它们做圆周运动的半径与其质量成反比。
解析：两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等。由v=rω得线速度与两子星圆周运动的半径是成正比的。因为两子星圆周运动的向心力由两子星间的万有引M1M2222可知：力提供，向心力大小相等，由GM1M2=M1r1ω2，，Mrω=MrωG=Mrω112222
L2L2
所以它们的轨道半径与它们的质量是成反比的。而线速度又与轨道半径成正比，所以线速
度与它们的质量也是成反比的。正确答案为：BD。
2.(2010·全国卷Ⅰ)如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常数为G.
(1)求两星球做圆周运动的周期；
(2)在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的
2422
运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×10 kg和7.35×10 kg.求T2与T1两者平方之比．(结果保留3位小数)
解析：(1)设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R
，相互作用的引
力大小为f，运行周期为T.根据万有引力定律有f＝G
R＋r2π2
由匀速圆周运动的规律得f＝m(r ②
Mm
2
①
T
f＝M2π
T
R ③
2
由题意有L＝R＋r ④ 联立①②③④式得T＝2π
L3
⑤
GM＋m(2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心，月球做圆周运动的周
L′3
期可T1＝2π⑥
GM′＋m′式中，M′和m′分别是地球与月球的质量，L′是地心与月心之间的距离．若认为月球
M′m′2π2
在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则G＝m′()L′ 2
L′T2
⑦
式中，T2为月球绕地心运动的周期．由⑦式得
L′3
T2＝2π⑧
GM′T22m′
由⑥⑧式得)＝1＋ ⑨
T1M′
代入题给数据得(＝1.012
T2
T1
2
3. 用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我
们对宇宙中物质存在的形式和分布有了较深刻的认识，双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度都小于两星体间的距离，一般双星系统距离其它星体很远，可以当做孤立系统处理，现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。
（1）计算该双星系统的运动周期T计算。
（2）若实验上观测到的运动周期为T观测，且T
观测：T计算=1观测
，为了解释T
与T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在这两个星体边线为直径的球体内均匀分布着暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。
解析：（1）双星绕它们的连线中点做圆周运动，由万有引力提供向心力，根据万有引力
222π和牛顿第二定律得：GM=MωL，而
ω=
。解得：T计算＝π
2
TL2
（2）因为T观测计算＜T计算，这个差异是以双星连线为直径的球体内均匀分布着的暗物质引起的，设这种暗物质质量为M′，位于两星连线中点处的质点对双星的影响相同，
这时双星做圆周运动的向心力由双星的万有引力和M′对双星的万有引力提供，所以有：
G
Mω观测MMM
＋G=22L2(L/2)
2
/
2
L，又ω观测=
2π
T观测
4L3
解得暗物质的质量为：M/＝（N－1）M/4而暗物质的体积为：V＝π（）
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M/
=3(N-1)M/(2πL3)V
4.（2006天津理综卷第25题）．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。
（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m’的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m’ 的表达式（用m1、m2表示）；
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式； （3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞。若
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可见星A的速率v＝2.7×10m/s，运行周期T＝4.7π×10s，质量m1＝6ms，试通过估算来
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判断暗星B有可能是黑洞吗？（G＝6.67×10N·m/kg，ms＝2.0×10kg）
所以暗物质的密度为：ρ＝