数列求和常见题型
一.由递推公式求通项公式 1. 累加法 递推式为:a n +1
=a n +f (n ),且f (n )可以求和
a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+... +(a 2-a 1)+a 1
=f (n -1)+f (n -2)+.... +f (1)+a 1
11a =a +
例1. 已知{a n }中,a 1=, n +1,求a n n 2
4n -12
2. 累积法,
a n +1
=f (n ),f (n )可以求和 a n
n +2
a n ,且a 1=4, 求a n 例2. 已知{a n }中a n +1=n
3. 构造法:构造成等差或等比数列求解
例3. 已知{a n }中,a n +1=2a n +1,求a n 例4已知{a n }中,a n +1=a n , 求a n 2
例5. 已知{a n }中,
a 1, a a n
1=n +1=2a ,求a n
n +1
例6.已知{a n }中,a 1+2a 2+3a 3+... +na n =n (n +1)(n +2),求a n
51⎛1⎫a =, a =a +例7. 已知{a n }中,1n +1n ⎪
63⎝2⎭
n +1
,求a n
方法:1. 对a n +1=pa n +q (p , q 为常数),可构造数列{a n +x }为等比数列,a n +1+x =p (a n +x ) 2. a n +1=pa n +q n (p , q 为常数)
a +1a n 1⎛q ⎫
常规变形方法有两种:一种是两边同时除以p n +1, 得到n =n + ⎪, n +1
p p p ⎝p ⎭
n
二是两边同时除以q n +1,得到
a n +1p a n 1
=⋅+, q n +1q q n q
二.已知S n ,求a n
例1. 已知下列各项数列{a n }的前n 项和S n ,求{a n }的通项公式 (1)S n =10n -1;(2)S n =n 2+1
1a =S n , n =1, 2,3,... ,求: 例2. 数列{a n }的前n 项和S n ,且a 1=1, n +1
3
(1)a 2, a 3, a 4的值及数列{a n }的通项公式; (2)a 2+a 4+a 6+... +a 2n 的值
数列求和:裂项相消,错位相减,倒序相加
例1. (2010山东)已知等差列:{a n }满足,a 3=7, a 5+a 7=26,数列{a n }的前n 项和S n ,
(1) 求a n 及S n ; (2) 令b n =
1⎛1⎫
例2(2010福建)数列{a n }中,a 1=,前n 项和S n 满足S n +1-S n = ⎪
3⎝3⎭
n +1
1
(n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和T n , 2
a n -1
(n ∈N *)
(1) 求a n 及S n ;
(2) 若S 1,t (S 1+S 2),3(S 2+S 3)成等差数列,求实数t 的取值。