7.1直线的倾斜角和斜率(2)

兴义市天赋中学数学必修二教案： 7.1直线的倾斜角和斜率（2）

教学目的：

1.在理解直线的倾斜角和斜率概念的基础上，掌握过两点的直线的斜率 公式并牢记斜率公式的特点及适用范围；

2.进一步了解向量作为数学工具在进一步学习数学中的作用；

3.培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的培养；

4.充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于x轴倾斜程 度的两个量这一事实，培养学生数形结合的数学思想教学重点：斜率概念理解与斜率公式教学难点：斜率概念理解与斜率公式授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：

一、复习引入：

1.直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.

2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.

倾斜角的取值范围是0°≤＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示.

3．概念辨析：①当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是0°≤＜180°；③倾斜角是90°的直线没有斜率. 提问:

⑴哪些条件可以确定一条直线？

⑵在平面直角坐标系中，过点P的任何一条直线l，对x轴的位置有哪些情形？如何刻划它们的相对位置？

⑶给定直线的倾斜角，如何求斜率？

⑷设是直线的倾斜角，k为其斜率，则当k0及k0时，与之相应的取值范围是什么 ⑸判断正误：

①直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan（ ）

②直线的斜率值为tan，则它的倾斜角为（ ）

③因为所有直线都有倾斜角，故所以直线都有斜率（ ）

④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在 （ ） 二、讲解新课：

4.斜率公式：经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式： k

y2y1

x2x1

(x1x2)

推导：设直线P1P2的倾斜角是，斜率是k，向量P1P2的方向是向上的(如上图所示).向量P1P2的坐标是(x2x1,y2y1).过原点作向量OPP1P2，则点P

的坐标是

(x2x1,y2y1)，而且直线OP的倾斜角也是，根据正切tan

y2y1x2x1

函数的定义，

(x1x2)

yy1

即k2

x2x1

(x1x2)同样，当向量P2P1的方向向上时也有同样的结论.

当x1x2,y1y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角＝90，没有斜率

5．斜率公式的形式特点及适用范围：

①斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒；

②斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角；

③斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且会灵活运用;

④当x1x2,y1y2时，直线的倾斜角＝90，没有斜率6.确定一条直线需要具备几个独立条件:需要知道直线经过两个已知点；需要知道直线经过一个已知点及方向（即斜率）等等三、讲解范例：

例1求经过A（－2，0）、B（－5，3）两点的直线的斜率和倾斜角.

解：k

30

1，就是tan1

5(2)

0180, 135

因此，这条直线的斜率是－1，倾斜角是135.

点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角. 例2求过下列两点的直线的斜率k及倾斜角

①P1(2,3)、P2(2,8); 斜率不存在，90 ②P1(5,2)、P2(2,2); k0，0 ③P1(1,2)、P2(3,4) k

33

，arctan 22

点评：结合反三角的知识写出斜率在不同取值范围内所对应的倾斜角表

达式：①当k0时，arctank；②当k0时，0；

③当k0时，arctank例3 若三点A(2,3)，B(3,2)，C(,m)共线，求m的值 解：kABkAC

12

23m321

m

132222

例4 已知三角形的顶点A(0,5)，B(1,2)，C(6,m)，BC中点为D，当AD的斜率为1时，求m的值及AD的长解：D点坐标为D

5m2

,，kAD

22

m2

5

1m752

AD

5552()2(5)2222

四、课堂练习：

1.若直线l过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l的斜率为倾斜角为2.已知直线l1的倾斜角为1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角2为. 3.已知直线l过A(－2,(t+)2)、B(2,(t－)2)两点，则此直线斜率为倾斜角为___1t1t

4.已知两点A(x,－2),B(3,0),并且直线AB的斜率为

1

，则x= 2

5.斜率为2的直线经过(3，5)、(a,7)、(－1,b)三点，则a、b的值是( ) A.a=4,b=0 B.a=－4,b=－3 C.a=4,b=－3 D.a=－4,b=3

6.已知两点M(2，－3)、N(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是( ) 3333

或k≤－4 B.－4≤k≤ C. ≤k≤4 D.－≤k≤4 4444

7.已知两点A(－3,4)、B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点.

(1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围.

8.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直

A.k≥

线l的斜率.

9.过P(－1,2)的直线l与x轴和y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线的斜率和倾斜角参考答案：

1.－1；135°

2.当1=0时, 2＝0，当0°＜1＜180°时，＝180°－1

3.－1;135° 4.－1 5.C 6.A 7.（1）k≤－1或k≥3

13

－ 9. 2 ，arctan2

34

(2)arctan3≤≤

六、课后作业：

七、板书设计（略）