一元二次方程与一元二次不等式的解法分析及例题
一元二次方程、二次函数与一元二次不等式总结分析及例题
【基础知识回顾】
1.一元二次方程的一般形式:ax2bxc0a0 ①其中a,b,c为常数,x为未知数。 根的判别式:b24ac
一元二次方程根的个数与根的判别式的关系:0时,方程①无实根; 0时,方程①有且只有一个实根,或者说方程①有两个相等的实根; 0时,方程①有两个不相等的实根。 求根公式:在0时,方程①的实根x1,2
bb24ac
2a
2.二次函数的一般形式:形如yax2bxca0其中a,b,c为常数,x为自变量。
b4acb2b
,顶点坐标为P,其中直线为对称轴, x2a4a2a
(1)a0时,函数yax2bxc的图象开口向下,函数yax2bxc在x
b
2a
取到最大值,即ymax
4acb24acb2,对任意xR,y.
4a4a
b
2a
(2)a0时,函数yax2bxc的图象开口向上,函数yax2bxc在x
取到最小值,即ymin
2
4acb24acb2,对任意xR,y.
4a4a
3.二次函数yaxbxca0与x轴交点个数的判断:
0时,函数yax2bxca0与x轴无交点;
0时,函数yax2bxca0与x轴相切,有且只有一个交点; 0时,函数yax2bxca0与x轴有两个交点。
4.二次函数图象的基本元素:开口方向(即首项系数a的正负)、对称轴、.
2
5.二次不等式的概念:形如axbxc0a0其中连接axbxc与0的不等号可以
2
是,,,或.
【典型例题】
【类型一】一元二次方程ax2bxc0a0的解法 【方法一】求根公式法
步骤:①计算;②若0,则方程无实根;若0,利用求根公式x1,2【例1】求解下列方程.
(1)x24x40 (2)2x2x10
【练习】解下列方程.
(1)2x25x30 (2)x26x8
【方法二】十字相乘法
利用十字相乘法求解方程ax2bxc0a0的前提条件是:0,也就是保证方程
bb24ac
.
2a
ax2bxc0a0必须有实根.
十字分解依据:对于方程axbxc0a0而言,a,b,c均为整数。当ac0时,将
2
ac分解为两个约数之和为b;当ac0时,将ac分解为两个约数之差为b或b.
【例2】求解下列方程
(1)x6x80 (2)x2x150 (3)2x11x150 (4)3x5x20
【练习】解下列方程
(1)x8x20 (2)2x5x20
2
2
2
2
2
2
【方法一】公式法
4acb2b
①a0时,函数yaxbxc在x取到最大值,即ymax,对任意
4a2a
2
4acb2
. xR,y
4a
4acb2b
②a0时,函数yaxbxc在x取到最小值,即ymin,对任意
4a2a
2
4acb2
. xR,y
4a
【方法二】配方法
22
2b2bbb
yaxbxcaxxcax2xc
a2a2a2a
2
b4acb2
ax
2a4a
【例3】求下列函数的最值
(1)yx26x16 (2)y2x23x5 (3)yx25x6 (4)y3x26x5
【练习】求下列函数的最值
(1)yx4x8 (2)y2x5x4
2
2
2
三个两次之间的关系
【例4】解下列不等式
基本步骤:化正-----计算--------求根--------写解集(大于取两边,小于取中间)
(1)3x7x20; (2)6xx20; (3)4x4x10; (4)x3x50
【练习】(1)不等式4x14x的解集是 . (2)不等式2x1x27的解集是 . (3)不等式x9x0的解集是 . (4)不等式2x3x50的解集是 .
2
2
2
2
22
【类型四】分式不等式的解法
解分式不等式的基本思路是将其转化为整式不等式(组):(有分母就要考虑分母不等于零,有根式就考虑大于等于零)
f(x)f(x)
0fxgx0, 0fxgx0且gx0, g(x)g(x)f(x)f(x)
0fxgx0, 0fxgx0且gx0, g(x)g(x)
【例5】解下列不等式
12x
1; (2)0; x32xx11(3)2; (4)0 2
x39xx
(1)
【练习】求解下列不等式 (1)
【课后作业】 1.解下列方程
(1)x6x8 (2)5x11x20 (3)3x7x20 (4)xx60
2.不等式3x16x160的解集是22
2
2
2
12x12; (2)3; xx1
3.不等式x532x6的解集是
A.xx1或x
C.xx
9
.Bx1x29
2
99
或x1 D.xx1 22
16
2的解集是 . x112x
5.不等式1的解集是 .
x1
4.不等式
6.在下列不等式中,解集是的是
A.2x23x20 B.x24x40 C.44xx20 D.23x2x20
7.不等式x25x70的解集是. 8.不等式9x26x10的解集是9.不等式4x4x10的解集是10.解下列不等式或方程
(1)2xx150 ; (2)6x6x10; (3)3x2x80 ; (4)x4x50; (5)
22
11.已知集合Axx6x160,集合Byy2x4x11,则下列式子中正确
2
22
22
x2
3; (6)5; x1x
的是 ( )
A.AB B.BA C.AB D
.A
12.当xy3x12x11取到最.
2
B