指数函数和三角函数
第20卷第3期
湖北师范学院学报(自然科学版)
Journal of H ubeiN o r m al U niversity (N atural Science )
V o l 120N o 13, 2000
指数函数e x 和三角函数sinx 、co sx 一种新的定义
李必文1, 陈德刚2
(1. 湖北师范学院数学系, 湖北黄石 435002; 2. 黄石市化建公司, 湖北黄石 435000)
摘要:本文给出了用常微分方程定义的指数函数e x sinx sx 算公式。
关 键 词:常微分方程; 指数函数; 三角函数; 中图分类号:O 174:10092) 0320079204
, :。这些函数早在中学数, 在数学分析中也曾用幂级数定义过。下面我们给出用常微分方程定义指数函数e x 和三角函数sinx , co sx 的定义。
1 指数函数e x 的定义
定义:设函数E (x ) 是微分方程=E (x ) 的满足初始条件:E (0) =1的解, 则称E (x ) 为指数
d x
函数。
下面讨论它的性质和运算公式性质1:指数函数E (x ) 的定义域为R 性质2:指数函数E (x ) 在定义域R 上连续。性质3:E (0) =1, 即为初始条件。
性质4:对任意x , y ∈R , 有E (x +y ) =E (x ) E (y )
证明:设任取x , y ∈R , 且若令x =0
则E (x +y ) =E (y ) , E (x ) E (y ) =E (0) E (y ) =E (y )
且E (x +y ) 、=E (x ) 的解, 从而由于它们满足相同的初始条件, 由解的E (x ) E (y ) 显然是
d x
唯一性定理知E (x +y ) =E (x ) E (y )
性质5:对任意x ∈R 有E (x ) E (-x ) =1
证明:由性质4有E (x ) E (-x ) =E (x -x ) =E (0) =1
-1
性质6:对任意x ∈R 有E (x ) ≠0, 且E (-x ) =〔E (x ) 〕证明:由性质5就知性质6成立
()
性质7:对任何自然数n , 都有E n (x ) =E (x )
收稿日期:2000206220作者简介:李必文(1967-) , 男, 博士生, 讲师
・79・
证明:设E (x ) 是方程=E (x ) 的解, 两边对x 求导就有
d x
(E (x ) ) ==E (x ) d x d x d x
(x ) 是原方程的解。从而知E ′
(x ) 也是解, 且E ″(x ) =E (x ) , 如此进行下去, 对任何自然数n 都有对(1) 式再求导也知E ″
(n ) (n )
E (x ) 是解, 且E (x ) =E (x )
定理:E (x ) =e x
证明:由于E (x ) 是=E (x ) 的解
d x
(x ) ∴E ′E (x ) =1
x x 从而有0() d t =0d t
E x
∴In E (x ) =x 即E (x ) =e x
(1)
ΘΘ
2 三角函数sinx 、co sx 的定义
(+(x ) 0E ′(0) =1的一个解, 那么定义1:设E (x ) 是微分方程H ″E (x ) 为正弦函数。
+(x =0满足初始条件:F (0) =1, F ′(0) =0的一个解, 那么称定义2:F ) H F (x ) 。
E (x ) , F (x ) 的性质:
性质1:正弦函数E (x ) 和余弦函数F (x ) 的定义域为R 。
性质2:正弦函数E (x ) 和余弦函数F (x ) 在定义域R 内连续。
(x ) =F (x ) , F ′(x ) =-E (x ) 性质3:E ′
(x ) +E (x ) =0, 求导得证明:由E ″
(x ) =0E (x ) +E ′
(x ) 也是该微分方程的解。同理由F ″(x ) +F (x ) =0可证F ′(x ) 也是该微分方程的解。这说明E ′
(0) =1, E ″(0) =-E (0) =0又由于E ′
(x ) 与F (x ) 满足初始条件相同, 由解的唯一性定理知:E ′(x ) =F (x ) 于是E ′
(x ) =-E (x ) 同理可证F ′
性质4:E 2(x ) +F 2(x ) =1
(x ) +F (x ) F ′(x ) =0证明:由性质3有E (x ) E ′
(E 2(x ) +F 2(x ) ) =0d x
积分得:E 2(x ) +F 2(x ) =C
又由初始条件E (0) =0, F (0) =1有
即
22
E (x ) +F (x ) =1
性质5:F (x ) 有零点
证明:由性质4知相轨线为单位园E 2(x ) +F 2(x ) =1于是必可取得(1, 0) , 即F (x ) 有零点。
性质6:设a 是F (x ) 在正半轴上的第一个零点, 则E (x ) , F (x ) 都是以4a 为周期的周期函数。
(x ) =证明:设a 为F (x ) 在正半轴上的第一个零点即F (a ) =0, 于是由E 2(x ) +F 2(x ) =1及E ′
(x ) =-E (x ) 知E (a ) =1, F ′(a ) =-1, E ′(a ) =0, 又显然可以证得:E (x +a ) -F (x ) 仍为方F (x ) , F ′
程的解, 且当x =0时E (x +a ) -E (x ) =E (a ) -F (0) =1-1=0
[E (x +a ) -F (x ) ]′ x =0=[F (x +a ) +E (x ) ] x =0=F (a ) +E (0) =0+0=0・80・
故由解的唯一性定理知:E (x +a ) ≡F (x )
同理可证:F (x +a ) =-E (x )
因而有E (x ) =-F (x +a ) =-E (x +2a ) =F (x +3a ) =E (x +4a ) 此式说明:E (x ) 是以4a 为周期的周期函数。同理可证:F (x ) 也是以4a 为周期的周期函数。性质7:对任意x . y ∈R , 有
E (x +y ) =E (x ) F (y ) +F (x ) E (y ) F (x +y ) =F (x ) F (y ) -E (x ) E (y )
(2) (3)
证明:只证(2) 式成立, 至于(3) 可用同样的方法证明。首先, E (x +y ) , E (x ) F (y ) +F (x ) E (y ) 仍是方程的解。
(x +y ) 〕(y ) =F (y ) 其次, 当取x =0时, E (x +y ) =E (y ) x =0=E ′E ′d x
E (x ) F (y ) +F (x ) E (y ) =E (0) F (y ) +F (0) E (y ) =E (y ) x =0E (x ) F (y ) +F (x ) E (y ) 〕
d x
(x ) F (y ) +F ′(x ) E () =〔0E ′
(0) F (y ) ) E () =E ′
于是, E (x ) (x F (x ) (, 由解的唯一性定理知,
(x y ) =E (x ) F (y ) +F (x ) E (y ) 性质8:E F (x ) 是偶函数
证明:7, 在(2) (3) 中用y =-x 代入有
E (x ) F (-x ) +F (x ) E F (x ) F (-x ) -E (x ) E
(-x ) =0(-x ) =1
(4) (5) (6) (7)
又分别用F (x ) ×(4) 式和用E (x ) ×(5) 式有
2
E (x ) F (x ) F (-x ) +F (x ) E (-x ) =0
2
E (x ) F (x ) F (-x ) -E (x ) E (-x ) =E (x )
(6) ~(7) 知:(E 2(x ) +F 2(x ) ) E (-x ) =-E (x )
即E (-x ) =-E (x ) 将它代入(4) 中有F (-x ) =F (x ) 从而E (x ) 是奇函数, F (x ) 是偶函数。性质9:E (2x ) =2E (x ) F (x )
2222
F (2x ) =F (x ) -E (x ) =2F (x ) -1=1-2E (x )
证明:由性质7且令x =y 得性质9
性质10:li m =1与li m =2
x →0x →0x 2x
证明:先证li m =1
x →0
x
由于E (x ) 是连续函数, 于是li m E (x ) =E (0) =0于是由罗比塔法则有:
x →0
li m x →0
(x ) =E ′(a ) =1=li m E ′x →0x
再证li m
2
x
(x ) =-E (x ) 均是连续函数由于F (x ) , F ′
x →0
=
2
∴li m (1-F (x ) ) =1-F (0) =0x →0
=li m =li m =
x →0x →0x →02x 222x
性质11:设a 为F (x ) 在正半轴上的第一个零点, 那么, 对任意的自然数n 有:
从而有li m
2
=li m x →0
・81・
(x ) =E (x +na ) (n )
F (x ) =F (x +na )
(x ) =F (x ) , 又由于可以证得E (x +a ) -F (x ) 仍证明:我们只证第一式, 另一个同理可证由于E ′
为方程的解, 且此解本身连同导数在x =0时均为零, 由唯一性定理知E (x +a ) ≡F (x )
E
(n )
(x ) =E (x +a ) 求导得E ″(x ) =E ′(x +a ) =E (x +2a ) 故:E ′
(x ) =E (x +2a ) 即:E ″
()
一般地, 可推得n 阶导数为E n (x ) =E (x +na ) 证毕
关于正弦函数E (x ) 与余弦函数F (x ) 的其它性质, 这里不再列证。下面定理说明了, 正弦函数E (x ) 与余弦函数F (x ) 分别是我们已知的三角函数sin x 和co s x 。
定理:E (x ) =sin x F (x ) =co s x
(x ) +H (x ) =0的二个解, 又微分方程证明:由定义1、定义2知E (x ) , F (x ) 分别是微分方程H ″
2
的特征方程为:Κ+1=0 ∴Κ1=i , Κ2=-i
(0) =1有c 1=1于是于是方程的通解为:H (x ) =c 1co s x +c 2sin x , 由初始条件E (0) =0, E ′
(0) =0有:c 1=c 2=于是) (x ) =sin x , E (x ) =sin x , 同样由初条件知F (0) =1, F ′
F (x ) =co s x .
从这个定理知:由定义1和定义2) F x 和co s x , 那么性质6
和性质11中的“a ”F ) s x 在正半轴上的第一个零点是x =是a =
E
(n )
, 于2
E (x ) , F (x ) 分别是以2Π为周期的周期函数。同时性质11可表为:2
) , F (n ) (x ) =F (x +) ΠΠ22
总之, 用微分方程所定义的指数函数、正弦函数和余弦函数, 与在数学分析中指数函数e x 正弦函数sin x 和余弦函数co s x 是一样的, 且具有相同的对应性质。这充分说明了用常微分方程也能定义初
(x ) =E +
等函数, 这对提高学生学习常微分方程的兴趣以及学生深刻认识这些函数是很有意义的。
・82・