大物课后答案
0-1已知a12i4jm,b10im,试分别用作图法和解析法求解:(1)ab;(2)ab。
解:(1) ab(12i4j10i)m(2i4j)m
4
ab224220 arctan63.4
2
(2) ab(12i4j10i)m(22i4j)m
4
ab2224210 arctan10.3 (图略)
22
0-2两矢量a6i12j,b8i6jm,试求:(1)ab;(2)ab。
解:(1) ab(6i12j)(8i6j)4872120
4ab
2i2
(2) ab(6i12j)(8i6j)36k96k60k
0-3三矢量构成一个三角形,如图0-3所示。已知|a|3m,|b|4m,|c|5m,求:(1)|ab|;
aba(2);(3)b。
解:(1) abcc5m
(2) ab,ab0
(3) ab3j4i12k
drdrdr32t
0-4已知r(t2t)i3ej2sin5tk,求下列各式在t0时的值:(1);(2);(3)r;
dtdtdt
dr(4)r。
dtdrdr22t
解:(1) (3t2)i6ej10cos5tk,t0时,r3j,2i6j10k
dtdtdr
2262102 (2) dt
dr
(3) r(3j)(2i6j10k)18
dtdr
(4) r(3j)(2i6j10k)6k30i
dt
运动量
1-1质点在xOy平面内的运动方程为 x=3t,y=2t2+3。求:(1)t=2s时质点的位矢、速度和加速度;(2)从
t=1s到t=2s这段时间内,质点位移的大小和方向;(3)0~1s和1~2s两时间段,质点的平均速度;
(4)写出轨道方程。
drd2r2
解:(1) r3ti(2t3)j,v3i4tj,a24j
dtdt
t2s时,r6i11j,v3i8j,a4j
(2) rr2r1(6i11j)(3i5j)3i6j,r326245,
与x轴正向的夹角 arctan
6
63.4 3
r2r13i6jr1r0(3i5j)3j
(3) 13i2j,23i6j
t11t21
2x2xx
3 (4) t,y23
393
1-2一质点在xOy平面内运动,初始时刻位于x =1m,y=2m处,它的速度为vx=10t, vy= t。试求2秒时
质点的位置矢量和加速度矢量。 解:vx
yxtdy2dx
10t,dx10tdt,x5t21。vyt,dy
102dtdt
213dv2
r(5t1)i(t2)j, v10titj, a10i2tj
3dt
14
t2s时, r21ij, a10i4j
3
2
2
1
t2dt,yt32 03
t
1-3一质点具有恒定加速度a6i4j,在t=0时,其速度为零,位置矢量r010i,求(1)任意时刻
质点的速度和位置矢量;(2)质点的轨道方程。 解:质点作匀加速运动
11
(1) vv0at6ti4tj, rr0v0tat210i(6i4j)t2(103t2)i2t2j
2
y3y2
(2) y2t2,t2,x10,y(x10)
232
2
1-4路灯距地面高度为H,行人身高为h,若人以匀速V背向路灯行走,人头顶影子的移动速度v为多少?
解:设x轴方向水平向左,影子到灯杆距离为x,人到灯杆距离为x
图1-4
直线运动
1-5一质点沿x轴运动,其加速度a与位置坐标x的关系为a=3+6x2,若质点在原点处的速度为零,试求其
在任意位置处的速度。 解:a
HdxHdxHhxx
,xx,vV
HhdtHhdtHhHx
dvdvdxdv
v36x2,dtdxdtdx
v
vdv
1
(36x2)dx,v23x2x3,v6x4x3 02
x
1-6一小球由静止下落,由于阻力作用,其加速度a与速度v的关系为a=A-Bv,其中A和B为常数,求t
时刻小球的速度。
dv
解:aABv,
dt
v
dv
ABv
t
dt,v
A
(1eBt) B
1-7一质点沿x轴运动,已知速度v=8+2t,当t=8s时,质点在原点左边52m处。求:(1)质点的加速度和
运动方程;(2)初速度和初位置。 解:(1) a
xdvdx
2m/s2,v82tm/s,dx
52dtdt
t
8
(82t)dt,x8tt2180m
(2) v08m/s,x0180m
曲线运动
4
1-8质量m=0.1kg的小球沿半径R=1m的圆周运动,角位移=t-3,求t=1s时小球所受外力的大小和方向。 解:
dd
4t3,12t2,atR12Rt2,anR216Rt6
dtdt
t1s时,at12m/s2,an16m/s2,a216220m/s
a16
Fma,Fma0.1202N,F与切线方向夹角 arctannarctan53.13
at12
1-9一质点沿半径为R的圆周运动,质点所经过的弧长与时间的关系为sbt
且Rc>b2,求切向加速度与法向加速度大小相等之前所经历的时间。
12
其中b、c为正常数,ct,2
(bct)2v2(bct)2Rcbdsdv
c,t解:v,atan, bct,atc,anRRRcdtdt
1-10一张CD光盘音轨区域的内半径R1=2.2cm,外半径R2=5.6cm,径向音轨密度n=650条/mm。在CD唱
机内,光盘每转一圈,激光头沿径向向外移动一条音轨,激光束相对光盘是以v=1.3m/s的恒定线速度运动的。求(1)这张光盘的全部放音时间是多少?(2)激光束到达离盘心r=5.0cm处时,光盘转动的角速度和角加速度各为多少? 解:(1) 在距离中心为r、宽度为dr内音轨的长度为 2rndr,
2rndr
,整张CD的放音时间 v
R22rndrn26500
tdt(R2R12)(5.622.22)4166s69.4min
R1vv130
130dvdrvvv2v
2226rad/s,(2) ,r5.0cm时, dtrdtr2rn2r3n5.0r
1302
r5.0cm时,3.31103rad/s2 3
256500
激光划过这些音轨所需的时间 dt
相对运动
1-11一列火车以36km/h的速率向东行驶时,相对于地面匀速竖直下落的雨滴在车窗上形成的雨迹与竖直
方向成300角。求(1)雨滴相对于地面的水平分速度多大?相对于列车的水平分速度多大?(2)雨滴相对于地面的速率如何?相对于列车的速率如何?
解:v雨对地v雨对车v车对地
y
(1) 雨滴相对于地面的水平分速度 v1x0
雨滴相对于列车的水平分速度 v2x36km/h10m/s (2) v雨对地v车对地tan6036tan6062.4km/h17.3m/s
v雨对车v车对地/cos6036/cos6072km/h20m/s
1-12飞机A以va=1000km/h的速率相对于地面向南飞行,同时另一架飞机B以vb=800km/h的速率相对于
地面向东偏南300方向飞行。求A机相对于B机速度的大小和方向。
解:vA对地vA对BvB对地
东
vA对Bv
2
A对地
v
2
B对地
2vA对地vB对地cos60
2800221000800cos60 917km/h
vA对地vB对地sin3010008000.5
vA对B917
0.6543
40.9 即A机相对于B机的速度方向为向西偏南40.9。 sin
1-13一人在静水中以1.1m/s的速度划船,现欲横渡一宽为1.00103m、水流速度为0.55m/s的大河。(1)
若要横渡到正对岸的一点,划行方向应如何?所需时间为多少?(2)如要用最短的时间过河,划行方向应如何?到达对岸什么位置?
解:v船对地v船对水v水对地
v0.55
60 (1) arccos水对地arccos
v船对水1.10
[1**********]0t1050s v船对地v船对水sin601.1sin60
(2) arctan
v船对水1.10
arctan63.4 v水对地0.55
10001000
0.55500m, 船到达对岸下游500m处。 v船对水1.10
xv水对地
牛顿运动定律
2-1 质量分别为mA=100kg,mB=60kg的A、B两物体,用绳连接组成一系统,装置如图2-1。三角劈固定
在水平地面上,两斜面的倾角分别为 =300, =600。如物体与斜面间无摩擦,滑轮和绳的质量忽略不计,问(1)系统将向哪边运动?(2)系统的加速度多大?(3)绳中的张力多大? 解:(1) 、(2) 假设A下滑
mAgcos60TAmAa
TBmBgcos30mBa 得 TATB
mAgcos60mBgcos30
0.12m/s2,系统将向右边运动。
a
mAmB
(3) TmAgcos60mAa100(9.8
cos600.12)502N
2-2在光滑水平面上固定了一个半径为R的圆环,一个质量为m的小球A以初速度v0靠圆环内壁作圆周运
动,如图2-2所示,小球与环壁的动摩擦系数为 ,求小球任一时刻的速率。 解:设圆环内壁给小球的向心力为Fn,则
v2dv
法向:Fnmanm, 切向:Fnm
Rdtv2dv
,
Rdt
v0
图2-2
v0R
10t
R
2-3如图2-3所示,已知m1>m2,不计滑轮和绳子质量,不计摩擦。求(1)图2-3(a)和(b)中绳子的
张力和物体的加速度;(2)图2-3(c)为一电梯加速上升的情形,求绳子的张力和物体相对于电梯的加速度。
dvv0v2
v
t
dt,v
m1gT1m1a
m1m2ag 解:(1) (a) 得 Tmgma222
mm12TTT
21
2m1m2
Tm2(ga)g
m1m2
mFm2 1(b) (a)
图2-3
(c)
a
mm2Tm2gm2a
g (b) 得 a1
mTFmg21
m1gT1m1(aa)
(2) 设物体相对于电梯的加速度大小为a,则 T2m2gm2(aa)
TTT
21
得 a
m1m22m1m2
(ga) Tm2(gaa)(ga)
m1m2m1m2
2-4一物体自地球表面以速率v0 竖直上抛。假定空气对物体阻力的数值为Fr=kmv2,其中m为物体的质量,
k为常数。求(1)该物体能上升的高度;(2)物体返回地面时速度的大小。
解:(1) 以地面为原点,竖直向上为y轴正向,由牛顿定律
dvdv
mgkmvmmv,
dtdy
2
y0
dy
vv0
2
vdv1gkv0
ln,y 2kgkv2gkv2
2
gkv01ln物体到最高点时,v0,得 ymax 2kg
dv
(2) 下落时,mgkmvmv,
dy
2
vdv1gkv2
dyln,yymax, 2ymax0gkv2kg
y
v
v
g(1e
2k(yymax)
)
k
kv
, 物体到最地面时,y0,得 vy0v01g
2
12
2-5 一总长为l的链条,放在光滑的桌面上,其中一端下垂,下垂长度为a,如图所示。假定开始时链条
静止,求链条刚滑离桌边时的速度。 解:设链条质量为m,质量线密度为
m
,下垂长度为y时速度为v,由牛顿定律 l
dvdv
ygmmv,g
dtdy
y
a
ydym
v
vdv,
v
g(y2a2)
m
g(y2a2)
l
g(l2a2)
l
图2-5
当yl时链条滑离桌边,vyl
另解:用机械能守恒定理,取桌面为重力势能的零点,则
111
a2g(l2g)lv2,vyl
222g(l2a2)
l
惯性力
2-6在题2-3(2)中,试以加速运动的电梯为参考系,利用惯性力的方法求绳子的张力和物体相对于电梯
的加速度。 m1g(m1a)T1m1a
m1m22m1m2
解:T2m2g(m2a)m2a,得 amm(ga) Tm2(gaa)mm(ga)
1212TTT
21
2-7如图2-7所示,三角形劈以加速度a沿水平面向右运动时,光滑斜面上的质量为m的物体恰能静止在
上面,求物体对斜面的压力。 解:以三角形劈为参考系(非惯性系),m相对它的加速度a0
Nsinma0
得 Nma2g2
Ncosmg0
冲量和动量定理
3-1质量m=10kg的物体在力Fx=30+4t N的作用下沿x轴运动,试求(1)在开始2s内此力的冲量I;(2)
如冲量I=300N·s,此力的作用时间是多少?(3)如物体的初速v1=10m/s,在t=6.86s时,此物体的速度v2为多少? 解:(1) Ix
(2) It
2
0t
Fxdt
(304t)dt68Ns
0t
2
Fxdt
(304t)dt30t2t2300,t6.86s
(3) Ip2p1mv2mv1,t6.86s,I300Ns,v2
11
(Imv1)(3001010)20m/s m10
3-2质量m=1kg的物体沿x轴运动,所受的力如图3-2所示。t=0时,质点静止在坐标原点,试用牛顿定律
和动量定理分别求解t=7s时此质点的速度。
2t0t5解:(1) F 5t355t7
v15dv25
2t,mdv2tdt,v125(m/s)
00mdt
v27dv
5t7,m5t35,mdv(5t35)dt,
v15dt
0t5,m
v235(m/s)
(2) I
7
1
Fdt(710)35(Ns),Imv2mv1mv2,v235(m/s)
2
动量守恒定律
3-3两球质量分别为m1=3.0g, m2=5.0g,在光滑的水平桌面上运动,用直角坐标xOy描述运动,两者速度
分别为v18icm/s,v2(8i16j)cm/s,若碰撞后两球合为一体,则碰撞后两球速度v的大小为多少?与x轴的夹角为多少?
解:系统动量守恒 (m1m2)vm1v1m2v264i80j, v8i10j
10
vv210212.8cm/s,与x轴夹角 arctan51.3
8
3-4如图3-4所示,质量为M的1/4圆弧滑槽停在光滑的水平面上,一个质量为m的小物体自圆弧顶点由
静止下滑。求当小物体滑到底时,圆弧滑槽在水平面上移动的距离。
解:系统在水平方向动量守恒 mvM(V)0,mvMV
两边对整个下落过程积分 mvdtMVdt
t
t
令s和S分别为m和M在水平方向的移动距离,则
s
t
vdt,SVdt,msMS。又 sRS,所以 S
t
m
R
mM
另解:m相对于M在水平方向的速度 vvV
mM
v。对整个下落过程积分 M
mMvdt0M
t
t
vdt,R
mmM
s,M在水平方向的移动距离 SRsR MmM
质心 质心运动定律
3-5求半径为R的半圆形匀质薄板的质心(如图3-3所示)。
2m
解:设薄板质量为m,面密度为2。由质量分布对称性知,质心在x轴上。
R
在距o点为x的地方取一宽度为dx细长条,对应的质量
dm2R2x2dx,由质心定义
xc
R
xdmm
2
m
R
xR2x2dx
4R 3
3-6一根长为L,质量均匀的软绳,挂在一半径很小的光滑钉子上,如图3-6所示。开始时,BC=b,试用
质心的方法证明当BC=2L/3时,绳的加速度为a=g/3,速率为v解:由软绳在运动方向的受力和牛顿定律
2g22
(LbLb2)。 L9
g[y(Ly)]La,a
12yL
g,a2g
yL3L3
2yLdvdvdydv
agv,
Ldtdydtdy
g
vdv0L
v
2
L3
b
(2yL)dy
v
2g222LbLb L9
Lbb
b22L2Lb2b m2L
另解(用质心)
(Lb)
当BCb时,链系的质心为 yc
当BCL时,链系的质心为 yc
又重力的功等于物体动能的增量
2
35L 18
2g2212yc),vyc)mv2,v22g(ycmg(ycLbLb L92
角动量(动量矩)及其守恒定律
3-7 已知质量为m的人造卫星在半径为r的圆轨道上运行,其角动量大小为L,求它的动能、势能和总能
m1m2
,G为万有引力常数) r1L2L2
解:Lrmv,v,Ekmv
22mr2mr
mMemMemMev2L2e2
设地球质量Me,EpG,由牛顿定律 G2m,Gmv,Ep2
rrmrrr
L2L2L2
EEkEp
2mr2mr22mr2
量。(引力势能EpG
3-8质量为m的质点在xOy平面内运动,其位置矢量为racostibsintj,其中a、b、为常量,
求(1)质点动量的大小;(2)质点相对于原点的角动量。
dr解:(1) vasintibcostj
dt
pmvm(asintibcostj),ppma2sin2tb2cost
(2) Lrp(acostibsintj)m(asintibcostj)abmk
3-9质量均为m的两个小球a和b固定在长为l的刚性轻质细杆的两端,杆可在水平面上绕O点轴自由转
动,杆原来静止。现有一个质量也为m的小球c,垂直于杆以水平速度vo与b球碰撞(如图3-9所示),并粘在一起。求(1)碰撞前c球相对于O的角动量的大小和方向;(2)碰撞后杆转动角速度。
3
解:(1) Lrmv0 方向垂直纸面向下。Lrmv0lmv0 4
(2) 系统对o点的角动量守恒。设碰撞后杆的角速度为,则
12v033311
lm0 vl(2m)(l)lm(l),m
v0
m
4444419l
功和动能定理
3-10一人从10m深的井中提水,已知水桶与水共重10kg,求(1)匀速上提时,人所作的功;(2)以a=0.1m/s2
匀加速上提时,人所作的功;(3)若水桶匀速上提过程中,水以0.2kg/m的速率漏水,则人所作的功为多少? 解:(1) Fmg0,Fmg,A
10
Fdy
10
mgdy980J
(2) Fmgma,Fm(ga),A
10
Fdy
10
m(ga)dy990J
(3) F(m0.2y)g0,F(m0.2y)g,A
10
Fdy
10
g(m0.2y)dy882J
3-11质量m=6kg的物体,在力Fx=3+4x N的作用下,自静止开始沿x轴运动了3m,若不计摩擦,求(1)
力Fx所作的功;(2)此时物体的速度;(3)此时物体的加速度。 解:(1) A
3
Fxdx
(34x)dx27J
3
(2) 由动能定理 A
2A131212
3m/s mv2mv1mv2,v2m222
(3) 由牛顿定律 ax
Fx343
2.5m/s2 m6
3-12质量为m的物体自静止出发沿x轴运动,设所受外力为Fx=bt,b为常量,求在T s内此力所作的功。
tvbt2bT2dv
解:由牛顿定律 Fbtm,btdtmdv,v,tT时,v
002m2mdt
111b2T4222
由动能定理 Amvmv0mv
2228m
Tbt2bt2b2T4
dt,AFxdxbtdt另解:dxvdt
02m2m8m
保守力的功和势能
3-13质量为m的小球系在长为l的轻绳一端,绳的另一端固定,把小球拉至水平位置,从静止释放,如图
3-13所示,当小球下摆角时,(1)绳中张力T对小球做功吗?合外力FTmg对小球所做的功
为多少?(2)在此过程中,小球势能的增量为多少?并与(1)的结果比较;(3)利用动能定理求小球下摆角时的速率。
解:(1) Tdr,AT
Tdr0,张力T对小球不做功。
AF
(Tmg)dr
mgdrmg
j(dxidyj)
mg
y2
y1
dymglsin
(2) Epmg(y2y1)mglsin,可见重力的功等于小球势能增量的负值。 (3) 由动能定理 mglsin
12
mv,v2glsin 2
3-14质量为 m 的质点沿 x 轴正方向运动,它受到两个力的作用,一个力是指向原点、大小为 B 的常力,
另一个力沿 x 轴正方向、大小为 A/x2,A、B为常数。(1)试确定质点的平衡位置;(2)求当质点从平衡位置运动到任意位置 x 处时两力各做的功,并判断两力是否为保守力;(3)以平衡位置为势能零点,求任意位置处质点的势能。 解:(1) F
A
B,F0时,x0x2A B
(2) A1
xx0
F1dx
xx0
A11dxA(),A22xx0x
xx0
F2dx
xx0
BdxB(x0x)
A1、A2只与始末位置有关,即两力均为保守力。 (3) Ep
x0x
Fdx
x0x
(
A11A
B)dxA()B(xx)Bx2AB 0x2xx0x
功能原理和机械能守恒
3-15 如图3-15所示,一质量为 m’ 的物块放置在斜面的最底端A处,斜面的倾角为 ,高度为 h,物
块与斜面的动摩擦因数为 ,今有一质量为 m 的子弹以速度v0沿水平方向射入物块并留在其中,且
使物块沿斜面向上滑动,求物块滑出顶端时的速度大小。 解:以物块和子弹为研究对象,碰撞前后系统沿平行斜面方向动量守恒
子弹射入物块后的速度大小为v1,则
mv0cos
mv0cos(mm)v1,v1
mm
图3.15
取斜面底部为势能零点,物块滑出顶端时的速度大小为v2,由功能定理
(mm)gcos
h112
(mm)v12(mm)v2(mm)gh sin22
2
mvcos
v202gh(cot1)
mm
3-16 劲度系数为 k 的轻质弹簧,一端固定在墙上,另一端系一质量为 mA 的物体A,放在光滑水平面上,
当把弹簧压缩 x。后,再靠着 A 放一质量为 mB 的物体B ,如图3-16所示。开始时,由于外力的作用系统处于静止状态,若撤去外力,试求 A 与 B 离开时B运动的速度和A能到达的最大距离。 解:(1) 弹簧到达原长时A开始减速,A、B分离。
设此时速度大小为v,由机械能守恒
K121
kx0(mAmB)v2,vx0
mm22AB
(2) A、B分离后,A继续向右移动到最大距离xm处,则
图3-16
mAmA112
,xmv x0mAv2kxm
kmAmB22
3-17 如图3-17所示,天文观测台有一半径为R的半球形屋面,有一冰块从光滑屋面的最高点由静止沿屋
面滑下,若摩擦力略去不计。求此冰块离开屋面的位置以及在该位置的速度。 解:由机械能守恒 mgR(1sin)
冰块离开屋面时,由牛顿定律
12
mv,v22gR(1sin) 2
v222
mgsinm,sin,arcsin41.8
R33
v2gR(1sin)
2
gR 3
碰撞
3-18一质量为m0以速率v0运动的粒子,碰到一质量为2 m0的静止粒子。结果,质量为m0的粒子偏转了
450,并具有末速v0/2。求质量为2 m0的粒子偏转后的速率和方向。 解:
v0
mvmcos452m0vcos0002碰撞前后动量守恒 vm0sin452mvsin002
vvsin45v05220.368v0,arcsin028.7
44v
m
v0
y
3-19图3-19所示,一质量为m的小球A与一质量为M的斜面体B发生完全弹性碰撞。(1)若斜面体放置
在光滑的水平面上,小球碰撞后竖直弹起,则碰撞后斜面体和小球的运动速度大小各为多少?(2)若斜面体固定在水平面上,碰撞后小球运动的速度大小为多少?运动方向与水平方向的夹角为多少? 解:(1) 以小球和斜面为研究对象,水平方向动量守恒。 设碰撞后小球和斜面速度大小为v、V,则
图3-19
m
mvMV,Vv。
M
又根据能量守恒定理
Mm1211
mvmv2MV2,vv
M222
(2) 由动能守恒知 vv。小球与斜面碰撞时,斜面对小球的作用力在垂直于斜面方向,碰撞前后在
平行于斜面方向动量守恒 mvcosmvcos,
所以碰撞后小球运动方向与水平方向的夹角为2。
转动惯量
4-1 有一直棒长为L,其中一半的质量为m1(均匀分布),另一半的质量为m2(均匀分布),如图4-1所示,
求此棒对过端点O,并垂直于纸面的轴的转动惯量。 解:Jxdm
m
2
L/20
2m12
xdxl
2m22L2
xdx(m17m2)
L/2l12
L
Om1
图4-1
24-2求半径为R,质量为m的均匀球体相对于直径轴的转动惯量。如以与球体
相切的线为轴,其转动惯量又为多少? 解:将球看成由许多薄圆盘组成,圆盘半径 rRcos,厚度 dhRdcos
对应的质量 dmr2dhR3cos3d
121
rdmR5cos5d 22
/21/288m22
J2rdmR5cos5dR5R5mR2
0021515435
R3
27
由平行轴定理,JJmR2mR2mR2mR2
55
薄圆盘对过球心轴的转动惯量为 dJ
4-3两个质量为m、半径为R的匀质圆薄板和一根长为l=8R的细杆相连,如图4-3所示,求以下两种情况
时,此系统对于过细杆中心并与杆垂直的轴AA’的转动惯量。(1)忽略细杆质量;(2)细杆质量为M。
l1
解:(1) 由平行轴定理 J2mR2m(R)251mR2
22
164
(2) JJMl251mR2mR261.67mR2
126
力矩和转动定律
4-4如图4-4所示,一长为l,质量为m匀质细杆竖直放置,因受到扰动而倒下(设下端不滑动)。试求当
细杆转到与竖直线成 角时的角加速度和角速度。
l
mgsinM3g解:sin 12J2lml3
dd
,
dtd
dd,
3g
(1cos) l
图4-4
另解:机械能守恒,mg(1cos)
l23g12
(1cos) J,l2
4-5如图4-5所示,有一质量为m,长为l的均匀细杆,可绕水平轴O无摩擦地转动,杆的一端固定一质量
为3 m的小球A,OA=l/4。开始时杆在水平位置,试求细杆由静止释放后绕O轴转动的角加速度。(不计小球大小)
lll212l212
解:M(3mm)gcosmgcos,J3m()mlm()ml
4241243图4-5
l
mgcosM3g
cos
2J2lml3
4-6一均匀圆盘,质量为m,半径为R,可绕通过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转动,如图4-6所示。
圆盘与桌面间的动摩擦因数为 ,若用外力推动使其角速度达到 0 时,撤去外力,求(1)转动过程中,圆盘受到的摩擦力矩;(2)撤去外力后,圆盘还能转动多少时间? 解:(1) 在距中心r处取一宽度为dr的圆环,该圆环所受的摩擦力大小为 dfg2rdr
该摩擦力对中心轴的力矩为 dMrdfg2r2dr 所以 M
R
g2r2drg
2
3m32
RmgR2
R3
2
mgR
03R0M4g,t(2)
1J3R4gmR22
角动量和角动量守恒定律
4-7水平桌面上放有一根长l=1.0m,质量m=3.0kg的匀质细杆,可绕通过端点O的垂直轴OO’转动,开始
时杆静止。现有100N的力,以与杆成 =30o的角打击杆的一端,打击时间 t=0.02s,如图4-7所示。求(1)杆的角动量的变化;(2)杆转动时的角速度。 解:(1) 冲量矩为
0.02
Moodt
0..02
lFsin30dt11000.50.021kgm2/s
由刚体定轴转动定律 LJJ0J(2)
M
t
oo
dt1kgm/s
2
L13rad/s 12J
ml
图4-7
3
4-8上题中细杆被一颗质量m’=20g的子弹以30的角射中中点,如图4-8所示。已知杆与桌面的动摩
擦因数 =0.20,子弹射入速度v=400m/s,并以v/2的速度射出。求:(1) 细杆开始转动的角速度;(2)细杆转动时受到的摩擦力矩和角加速度各为多少?(3)细杆转过多大角度后停下来。
解:(1) 子弹射入前后系统对O点角动量守恒
11v
lmvsin30lmsin30J 222
11
lmvlmvsin30
3mv30.024003rad/s
12J8ml811ml3
图4-8
mm
dr,dfgdm,dMrdfrgdmgrdr ll
1
mgll3gM30.29.8m122.94rad/s2 Mgrdrmg,l
012J2l21l2ml
3
(2) dm
dd
(3) ,
dtd
232
0dd,222.941.53rad
4-9在半径为R1、质量为m的静止水平圆盘上,站一质量为m的人。圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖
直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心、半径为R2(R2<R1)的圆周,以相对于圆盘的速度为v匀速走动时,则圆盘将以多大的角速度旋转? 解:设圆盘以角速度旋转,则人相对于地面的角速度为
系统对圆盘中心轴的角动量守恒 JJ0,
v R2
R2v2Rv1v
mR12mR22()0,222
122R2R12R2R1R222
功和能
4-10如图4-10所示。滑轮的转动惯量J=0. 5kg · m2,半径r=30 cm,弹簧的劲度系数k=2.0 N/m,重
物的质量m=2.0 kg,开始时弹簧没有伸长。当此系统从静止开始启动,物体沿斜面滑下1.0m时,求:(1)物体的速率多大?(2)物体滑下1.0m过程中,作用在滑轮上的力矩所作的功。(不计斜面和转轴的摩擦)
解:(1) 系统机械能守恒
1211vkxJ2mv2mgxsin30, 222r
图4-10
2mgxsin30kx22219.80.52.012
1.53m/s v
J20.50.32
m2
r11111.532222
6.5J (2) AJJ0J0.5
22220.32
4-11长l=0. 40 m的均匀木棒,质量M=1. 0kg,可绕水平轴O在竖直平面内转动,开始时棒自然地竖直
悬垂。现有质量m=8g的子弹,以v=200m/s的速率从A点射入棒中,假定A点与O点的距离为如图4-11所示。求:(1)棒开始运动时的角速度;(2)棒的最大偏转角。 解:(1) 子弹射入前后系统对O点的角动量守恒
3
l,4
123193
Mlm(l)210.420.0080.420.054kgm2 343164
33mvl0.0082000.4
48.89rad/s 4J0.054
1l3
(2) 设棒最大偏转角为,由机械能守恒,J2Mg(1cos)mgl(1cos),
224
1J2
0.0548.8922(1cos)1.0758
l33
Mgmgl19.80.40.0089.80.4
242
mvlJ,J
cos0.0758 94.4 最大偏转角超过90
理想气体状态方程
5-1一容器内储有氧气,其压强为1.01105Pa,温度为270C,求:(1)气体分子的数密度;(2)氧气的质
量密度;(3)氧分子的质量;(4)分子间的平均距离(设分子均匀等距分布)。
p1.01105
2.441025/m3 解:(1) pnkT,n23
kT1.3810(27327)
mpMmol1.0110532103pVm
1.30kg/m3 R,(2)
VRT8.31(27327)TMmol
(3) mO2n, mO2(4) 3
n
1.30
5.331026kg 25
2.4410
1313.45109m 25n2.4410
5-2在容积为V的容器中的气体,其压强为p1,称得重量为G1。然后放掉一部分气体,气体的压强降至p2,
再称得重量为G2。问在压强p3下,气体的质量密度多大? 解: 设容器的质量为m,即放气前容器中气体质量为m1
由理想气体状态方程有
GG1
m,放气后容器中气体质量为m22m。 gg
G1G2
mm
m1m2ggp1VRTRT, p2VRTRT
MmolMmolMmolMmol
上面两式相减得
RTRTG2G1
(G2G1)(p2p1)V, Mmo() l
MmolggVp2p1
当压强为p3时,
m3Mmolp3pGG1
32 VRTgVp2p1
压强、温度的微观意义
--5-3将2.0102kg的氢气装在4.0103m2的容器中,压强为3.9105Pa,则氢分子的平均平动动能为多少? 解: pV
mMpV
RT,Tmol MmolmR
33MmolpV321033.91054.010323
tkTk1.38103.881022J 2
22mR22108.31
5-4体积V103m3,压强p105Pa的气体分子平均平动动能的总和为多少? 解:tN
N3pV
kT,其中N为总分子数。 pnkTkT,NkT2V
pV333
tkTpV105103150J
kT222
5-5温度为0℃和100℃时理想气体分子的平均平动动能各为多少?欲使分子的平均平动动能等于1eV,气
-体的温度需多高?(1eV=1.61019J) 解:0C时,t0
33
kT1.3810232735.651021J 2233
100C时,t100kT1.3810233737.721021J
22
1eV1.61019J, 分子具有1eV平均动能时,气体温度为
2t21.61019
T7.73103K 23
3K31.3810
能量均分、理想气体内能
-5-6容积V=5.0103m3的容器中装有氧气,测得其压强p=2.0105Pa,求氧气的内能。
解:E
mimi5
RT,又 pVRT,所以 EpV2.01055.01032.5103J
Mmol2Mmol22
5-7若氢气和氦气的压强、体积和温度均相等时,则它们的质量比
mH2mHe
和内能比
EH2EHe
各为多少?
解:pV
MH2MmolH2
RT pV
MMMHe21
RT,H2molH2
MmolHeMHeMmolHe42
又 E
EiMiii5
RTRTpV,H2H2
Mmol222EHeiHe3
--
5-8容器内盛有理想气体,其密度为1.25102kg/m3,温度为273K,压强为1.0102atm。求:(1)气体的
摩尔质量,并确定是什么气体;(2)气体分子的平均平动动能和平均转动动能;(3)容器单位体积内分子的总平动动能;(4)若该气体有0.3mol,其内能是多少? 解:(1) Mmol
mRTm1.251028.31273323
2810kg/mol , 1.2510kg/m, Mmol25
1.0101.01310pVV
气体是N2或CO
33
kT1.3810232735.651021J,转动自由度 i532 22i
转kT1.3810232733.771021J
2
p1.01021.01105
2.691023/m3 (3) pnkT, n23kT1.3810273
(2) t
Eknt2.6910235.6510211.52103J
(4) E
mi5
RT0.38.312731.70103J
Mmol22
速率分布定律、三种速率
5-9计算气体分子热运动速率介于(vp-vp/100)和(vp+vp/100)之间的分子数占总分子数的百分比。(vp为
最概然速率)
mvNm3
f(v)v4()2e2kTv2v 解:速率区间较小时 N2kT
2
令 x
v
, vpvp
vp
N42x22kT
xex ,
mNvp
1.01vp时,x1.01;x0.02
100100
2N4
(0.99)2e(0.99)0.021.66% 所以 N5-10有N个粒子,其速率分布函数为
f(v)C (0≤v≤v0) f(v)0 (v>v0) 其中C为常数。(1)作速率分布曲线;(2)由v0求常数C;(3)求粒子的平均速率。
解:(1) 速率分布曲线如右图。
v0
当 vvp.099vp时,x0.99;vvp
(2) 由归一化条件
0v0
f(v)dv1,cdvcv01,得 c
1
v0
C(3) vf(v)dvvcdv
c2v0v0 22
5-11(1)某气体在平衡温度T2时的最概然速率与它在平衡温度Tl时的方均根速率相等,求T2/T1;(2)
如已知这种气体的压强p和密度ρ,试导出其方均根速率表达式。 解:(1) vp
2RT3RT
,v2, 由题意 MmolMmolT32RT23RT1
,得 2
T12MmolMmol
(2) 由理想气体状态方程 pV
pmRTmMp
RT,mol,即 MmolMmolVRT
v2
3p3RT
Mmol
5-12图5-12是氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线。试由图中的数据求:(1)氢气分子和
氧气分子的最概然速率;(2)两种气体的温度。 解:(1) 由 vp
2RT
可知,在相同温度下,Mmol大的气体vp小, Mmol
2
所以曲线对应氢气的分布,即vpH2000m/s
vpO
2
Mmol
H2
2
MmolO
2
vpH22000500m/s
32
2000
图5-12
v/(m·s-1)
Mmolvp2103(2000)22RT
4.81102K (2) 由 vp 得 T
2R28.31Mmol
碰撞频率与自由程
5-13 (1)如果理想气体的温度保持不变,当压强降为原值的一半时,分子的平均碰撞频率和平均自由程
为原来的多少?(2)如果压强保持不变,温度降为原值的一半,则分子的平均碰撞频率和平均自由程又为原来的多少? 解:Z2d2n,
2
1d2n
,n
p8RT,
MkTmol
Z2d
2
kT8RTp16Rd2p
,
MmolkTk2d2p
设原平均碰撞频率为0,平均自由程为0
,120 2
1
(2) 当P保持不变,T降为原值一半时,120,20
2
5-14设氮分子的有效直径为1010-10 m。(1)求氮气在标准状态下的平均碰撞次数和平均自由程;(2)如
果温度不变,气压降到1.3310-4 Pa,则平均碰撞次数和平均自由程又为多少?
(1) 当T保持不变,p降为原值一半时,1解: (1) P01.013105Pa,T0273K,
8RT088.312731
454ms
Mmol28103
p1.013105
2.691025m3 n23
KT01.3810273
Z2d22(1.01010)24542.6910255.42108s1
14547
8.3810m 8
2d2n5.4218
4
p'1.33104
3.531016m3 (2) p'1.3310Pa时, n23
KT01.3810273
2d2n2(1.01010)24543.5310160.712s1
1454
638m
2d2n0.712
热一定律
6-1如图6-1所示,理想气体由a沿acb过程到达b状态,吸收了560 J的热量,对外做功356J。(1)如果
它沿adb过程到达b状态时,对外做功220 J,它将吸收多少热量?(2)当它由b沿曲线ba返回a状态时,外界对它做功282 J,它将吸收或放出多少热量? 解:根据热力学第一定律 QacbEbEAAacb
EbEaEQavbAacb560356204J
(1) QadbEbEaAadb204220424J (2) QbaEaEbAba204282486J
系统对外界放热486J
等值过程
6-2 1mol单原子理想气体若经两个过程:(1)容积保持不变;(2)压强保持不变,其温度从300 K变为350K,
问在这两过程中各吸收了多少热量?增加了多少内能?对外作了多少功? 解:(1) 等体过程 A0
QvEAE
mi3
R(T2T1)18.31(350300)623J
Mmol22
即吸收热量和内能增量均为623J,而做功为0。 (2) Qp
mi25
R(T2T1)18.31(350300)1039J
Mmol22mi
R(T2T1)623J
Mmol2
m
R(T2T1)18.31(350300)416J Mmol
-
E
Ap(V2V1)
6-3一理想气体由压强p1=1.52105 Pa,体积V1=5.0103 m3,等温膨胀到压强p2=1.01105 Pa,,然后再经
等压压缩到原来的体积。试求气体所做的功。 解:气体在等温膨胀过程中所做功为
AT
V2
V1
pdV
V2
mMmolV
V1
RT1dV
Vpm
RT1ln2p1V1ln2
MmolV1p1
5
1.521055.0103ln
1.5210
310J
1.01105
气体在等压压缩过程中所做的功为 App2(V1V2)p2V1p2V2 而等温过程由V1膨胀到V2时,满足 p2V2p1V1
App2V1p1V1(1.011051.52105)5.0103255J
气体所做功 AATAp31025555J
6-4将500 J的热量传给标准状态下2mol的氢。(1)若体积不变,则氢的温度变为多少?(2)若温度不变,
则氢的压强和体积各变为多少?(3)若压强不变,则氢的温度及体积各变为多少? 解:标准状态下,T1273K Vomol22.4103m3
(1) 体积不变 A0,QVE
miQV500
R(T2T1),T2T1273285K
mi5Mmol2
R28.31Mmol22mV
RT1ln2 MmolV1
(2) 温度不变 E0,QTA
V2V1exp
QT500
222.4103exp0.05m3
m28.31273
RT1
Mmol
V1222.4103
p2p11.0131059.08104Pa
V20.05
(3) 压强不变 Qp
mi2
R(T2T1),T2T1
Mmol2
Qp500
273282K
mi27
R28.31
Mmol22
V2
T2281.6
V1222.41030.046m3 T1273
摩尔热容、绝热过程
6-5如图6-5所示,一理想气体由初态a经准静态过程ab直线变至终态b。已知该理想气体的定容摩尔热
容量CV=3R,求该理想气体在ab过程中的摩尔热容量(用R表示)。 解:设理想气体在ab过程中的摩尔热容量为Cab,在一微小过程中
dQCabdT
由热力学第一定律有
(1)
dQdEdACVdTpdV (2)
图6-5 dV由(1)、(2)得 CabCVp
dT
由理想气体状态方程,1mol气体有 pVRT。而ab直线方程为pkV,其中k为斜率
kV2RT,
RR7dVRR
3RR ,CabCVp2p22dT2kV2p
6-6温度为27℃,压强为1.01105 Pa的一定量氮气,经绝热压缩,使其体积变为原来的1/5,求压缩后氮
气的压强和温度。
7
V1i27
解:由绝热过程方程 p1V1p2V2,,p2()p1551.011059.61105Pa
V2i5
又绝热过程方程 T1V1
1
T2V2
1
2
V11
5
, T2()T15(27327)571K
V2
6-7如图6-7所示,将96g氧气从40L绝热压缩到原体积的一半(12),此时气体的温度为127℃,然后
等温膨胀到原体积(23)。(1)求以上两过程中,系统吸收的热量、对外所做的功和内能的变化;(2)若通过等容过程直接将氧气由上述的初态变化到终态(13),则系统吸收的热量、对外所做的功和内能的变化又为多少? 解:(1)1-2为绝热压缩过程 mi
R(T2T1) Q120,A12E12
Mmol2
由绝热过程方程 T2V2 T1(
2
5
1
T1V1
1
i27,,
i5
图6-7
V21
)T2()(273127)303K V12
2
5
A12
mi965
R(T2T1)8.31(400303)6045J
Mmol2322
mV96
RT2ln28.31400ln26912J MmolV132
2-3为等温膨胀过程 E230, A23Q23
所以1-2-3过程中:QQ12Q23Q236912J,AA12A2360456912867J
50604J5 EE12E23604
(2)A130,E6045J,Q13A13E060456045J
6-8某理想气体在p-V图上其等温线的斜率与绝热线的斜率之比约为0.714,当此理想气体由压强p=2l05
帕、体积V=0.5升之状态绝热膨胀到体积增大一倍时,求此过程中气体所作的功。 解:等温:pV
mdpp
RT,pdVVdp0,所以等温线斜率 ()T MmoldVV
绝热:pVC,pV1dVVdp0,所以绝热线斜率 (
dpp
)Q dVV
(dp(dp
V
)T)Q
1
0.714,即
i
0.714 解得 i5,即该理想气体分子为双原子分子。 i2
由绝热过程方程 p1V1p2V2 体积增大一倍时,压强为
V1
)p1(0.5)1.421057.58104Pa V2
mii
R(T2T1)(p1V1p2V2) 所做的功 AE
Mmol22p2(
5
(21050.51037.581041103)60.5J 2
循环过程
21
V1
1V2
6-9设有—以理想气体为工作物质的热机循环,如图6-9所示,试证明其效率为1。
p1
1p2
解:由图知,ab为等容过程,ca为等压过程,其中ab为吸热过程,ca为放热过程
mmQabCV(TbTa),QcaCp(TcTa)
MmolMmol
Tc1QcaCpTcTaQ2a
p11111
Tb1Q1QabCVTbTaa
p又等容过程中
TcV1p1Tb
,等压过程中 TaV2p2Ta
2
图6-9
1V
V1
1V2
得 1
p1
1p2
6-10 1mol理想气体在400 K和300 K之间完成一卡诺循环,在400 K的等温线上,起始体积为0.001m3,
最后体积为0.005m3。试计算气体在此循环中所作的功,以及从高温热源吸收的热量和传给低温热源的热量。
解:如图12为400K等温过程,吸热;34为300K等温过程,放热。
mV0.005
Q1Q12RT1ln218.31400ln5.35103J
MmolV10.001
T2300QTAT2Q2
卡12125.351034.01103J ,,有 Q2Q1
Q1T1Q1T1Q1T1400 AQ1Q25.351034.011031.34103J
6-11一定量的理想气体,经历如图6-11所示循环过程,其中AB和CD为等压过程,BC和DA为绝热过程。
已知B点的温度为TB=T1,C点的温度为TC=T2。(1)证明其效率为1循环吗?
解:(1)循环过程中,AB为吸热过程,CD为放热过程
T2
;(2)该循环是卡诺T1
图6-11
1
QCDQAB
m
Cp(TDTC)TD)(1MmolTTDTC
11C1C
mTBTATB(1TA)
Cp(TBTA)B
Mmol
VATAVT,DD VBTBVCTC
1
1
V
A-B、C-D等压过程有
B-C、D-A绝热过程有 VBTBVCTC,VATAVDTD
22
11
VA1TAVD1TDTATDTATD
)() 即 ()() 有 VBTBVCTCTBTCTBTC
TT
1C12
TBT1
(2) 不是卡诺循环。卡诺循环由两等温过程和两绝热过程组成。其中的T1、T2是两恒定热源的温度。
而这里的T1、T2不是过程中的恒定温度,只是两点的温度。 (
6-12一台家用冰箱(设为理想卡诺致冷机)放在室温为27℃的房间里。当制作一块-13℃的冰块时吸热
1.95105J。求(1)该冰箱的致冷系数;(2)制作该冰块时所需的功;(3)若冰箱以1.95102J/s速率吸
取热量,所要求的电功率为多少瓦? 解:(1) wc
T2260
6.5
T1T2300260
Q2Q21.95105
(2) wc,A3104J
Awc6.5
A310430W (3) p52t1.9510/1.9510
6-13已知1mol理想气体的定容热容为CV,开始温度为T1,体积为V1,经过下列三个可逆过程:先等温
膨胀到体积为V2(2V1),再等容升压使压强恢复到初始压强,最后等压压缩到原来的体积,如图6-13所示。设该气体的比热比为,求(1)每一个过程的熵变是多少?(2)整个循环过程系统的熵变是多少? 解:(1)S12
2
1
VdQ121
dQRTln2Rln2 TT1TV1
3CdTTpdQ
VCVln3CVln3CVln2 2TTT2p2
S23
3
2
图6-13
1CpdTTVdQ
S31Cpln1Cpln1Cpln2CVln2
3T3TT3V3
1
(2)SS12S23S31Rln2CVln2Cpln20
6-14根据熵增加原理说明,为什么0℃的冰自发融化为0℃的水的过程是不可逆过程?(提示:环境和冰
组成一个孤立系统,冰融化时,环境温度至少略高于0℃)。 解:将冰和环境视为一孤立系统,冰在0℃上发生相变时从环境中吸热Q,环境温度为T(高于0℃),相变前后系统的熵变为两部分熵变之和,即
23
SS1S2
dQdQQQ
0 T0T273T
根据熵增加原理:在封闭系统中发生的任何不可逆过程,都导致了整个系统的熵的增加,系统的总熵
只有在可逆过程中才是不变的。所以0℃的冰自发融化为0℃的水的过程是不可逆过程。
24