基本初等函数知识点

指数函数及其性质

一、指数与指数幂的运算 （一）根式的概念

1、如果x =a , a ∈R , x ∈R , n >1，且n ∈N +，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a

的n

次方根用符号n 是偶数时，正数a 的正的n

表示，负的n

次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．

2

n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，a ≥0．

3、根式的性质

：n =a ；当n 为奇数时

，

n

=a ；当n 为偶数时，

⎧a (a ≥0)

． =|a |=⎨

-a (a

m

n

（二）分数指数幂的概念

1、

正数的正分数指数幂的意义是：a a >0, m , n ∈N +, 且n >1) ．0的正分数指数幂等于0． 2

、正数的负分数指数幂的意义是：a

分数指数幂没有意义．

注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 (a ≠0) a -p = 1/a p (a ≠0；p ∈N *) 4、指数幂的运算性质

- m n

1m =() n =a >0, m , n ∈N +, 且n >1) ．0的负a a r ⋅a s =a r +s (a >0, r , s ∈R ) (a r ) s =a rs (a >0, r , s ∈R ) (ab ) r =a r b r (a >0, b >0, r ∈R )

5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。 二、指数函数的概念

一般地，函数y =a (a >0, 且a ≠1) 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 1 指数函数的定义是一个形式定义； 注意：○

2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1． ○

三、指数函数的图象和性质

x

x

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，f (x ) =a (a >0且a ≠1) 值域是[f (a ), f (b )]或[f (b ), f (a )] （2）若x ≠0，则f (x ) ≠1；f (x ) 取遍所有正数当且仅当x ∈R （3）对于指数函数f (x ) =a (a >0且a ≠1) ，总有f (1) =a （4）当a >1时，若x 1

对于任何一个有意义的指数函数：

在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

即“上加下减，左加右减”

五、幂的大小比较

常用方法（1）比差（商）法：

（2）函数单调性法；

（3）中间值法：要比较A 与B 的大小，先找一个中间值C ，再比较A 与C 、B

与C 的大小，由不等式的传递性得到A 与B 之间的大小。

注意：

（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。

例如：y 1=34,y 2=35

（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。

例如：y 1=（1/2）4,y 2=34,

（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较 ①对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、

1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。

② 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与

x

“1”的大小），就可以快速的得到答案。由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a 和1与指数x 与0之间的不等号同向时，a x 大于1，异向时a x 小于1.

对数函数及其性质

一、对数与对数的运算 （一）对数

1．对数的概念：一般地，如果a x =N (a >0, a ≠1) ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：

x =log a N （a — 底数，N — 真数，log a N — 对数式）

说明：① 注意底数的限制a >0，且a ≠1；

②a =N ⇔log a N =x ； ③注意对数的书写格式．log a

x

N

两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数lg N ；

② 自然对数：以无理数e =2. 71828 为底的对数的对数ln N ．

指数式与对数式的互化

幂值 真数

（二）对数的运算性质

如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：

M

=log a M －log a N ； N

1M

3 log a M n =n log a M (n ∈R ) ． ④ log M n =log a ○ a

n

log b a b

⑤ log a =b ⑥ a a =b

2 log a ① log a (M ·N ) =log a M ＋log a N ；○

⑦ log a 1=0 ⑧ log a a=1 ⑨ a log a N=N ⑩ log a a b =b 注意：换底公式

log a b =

log c b

（a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0）．

log c a

1n

． log a b ； ②log a b =

log b a m

推论(利用换底公式) ①log a m b n =二、对数函数

1、对数函数的概念：函数y =log a x (a >0，且a ≠1) 叫做对数函数，其中x 是自变量，函

数的定义域是（0，+∞）．

注意：① 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y =2log 2x ，

y =log 5

x 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 5

② 对数函数对底数的限制：(a >0，且a ≠1) ．

三、对数函数的图像和性质：

四、对数的平移、大小比较与指数函数类似

反函数

一、反函数定义

设函数y =f (x ) 的定义域为A ，值域为C ，从式子y =f (x ) 中解出x ，得式子x =ϕ(y ) ．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子x =ϕ(y ) ，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x =ϕ(y ) 表示x 是y 的函数，函数x =ϕ(y ) 叫做函数y =f (x ) 的反函数，记作

x =f -1(y ) ，习惯上改写成y =f -1(x ) ．

二、反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域； ②从原函数式y =f (x ) 中反解出x =f ③将x =f

-1

-1

(y ) ；

(y ) 改写成y =f -1(x ) ，并注明反函数的定义域．

三、反函数的性质

①原函数y =f (x ) 与反函数y =f

-1

(x ) 的图象关于直线y =x 对称．

-1

②函数y =f (x ) 的定义域、值域分别是其反函数y =f

'

(x ) 的值域、定义域．

-1

③若P (a , b ) 在原函数y =f (x ) 的图象上，则P (b , a ) 在反函数y =f ④一般地，函数y =f (x ) 要有反函数则它必须为单调函数．

(x ) 的图象上．

幂函数及其性质

一、幂函数的定义

一般地，函数y =x 叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． 二、幂函数的图象

α

三、幂函数的性质

1、图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．

①幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称) ； ②幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称) ； ③幂函数是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

2、过定点：所有的幂函数在(0,+∞) 都有定义，并且图象都通过点(1,1)． 3、单调性：①如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,+∞) 上为增函数．

②如果α

4、奇偶性：⑴当α为奇数时，幂函数为奇函数，

⑵当α为偶数时，幂函数为偶函数．

⑶当α=q （其中p , q 互质，p 和q ∈Z ），

p

①若p 为奇数q 为奇数时，则y =x 是奇函数， ②若p 为奇数q 为偶数时，则y =x 是偶函数， ③若p 为偶数q 为奇数时，则y =x 是非奇非偶函数．

5、图象特征：幂函数y =x , x ∈(0,+∞) ，

⑴当α>1时，①若0

②若x >1，其图象在直线y =x 上方，

⑵当α

②若x >1，其图象在直线y =x 下方．

α

q

p q p

q p

练习题