费马大定理的初等证明
费马大定理的初等证明
倪晓勇
(中国石化仪征化纤短纤生产中心生产管理室,江苏 仪征211900)
E-mail:[email protected]
费马大定理:不定方程z n =x n +y n 当n ≥3时无正整数解。
证明:一、当n=2时,有z 2=x 2+y 2,所以x 2=z 2-y 2=(z -y )(z +y ) (1)。令(z -y ) =2m 2,则z =y +2m 2,代入(1)得x 2=z 2-y 2=2m 2(2y +2m 2) =22m 2(y +m 2) =22m 2l 2,所以x =2ml ,
,显然x 、y 、z 有正整数解。 y =l 2-m 2,z =l 2+m 2(x 、y 、z 、l 、m 都是自然数)
二、当n=3时,有z 3=x 3+y 3,所以 x 3=z 3-y 3=(z -y )(z 2+zy +y 2) (2)。令(z -y ) =32m 3,
3则z =y +32m 3,代入(2)得x 3=z 3-y 3=32m [ (y +32m 3) 2+(y +32m 3) y +y 2]
=32m 3(3y 2+3⨯32m 3y +34m 6) =33m 3(y 2+32m 3y +33m 6) 。
若方程z 3=x 3+y 3有正整数解,则(y 2+32m 3y +33m 6) 为某自然数的三次幂,即 (y 2+32m 3y +33m 6) =l 3,所以 y (y +32m 3) =l 3-33m 6=(l -3m 2)(l 2+3m 2l +32m 4) ,所以 y =(l -3m 2) 和y +32m 3=(l 2+3m 2l +32m 4) ,所以l -3m 2+32m 3=l 2+3m2l +32m 4,所以l = l 2+3m2l ,且32m 3=3m2+32m 4,所以1=l +3m2,3m=1+3m 2,所以 l +3m=2。因为l 和m 都是自然数,所以l +3m≥4,所以l +3m=2不可能,所以当n=3时,z 3=x 3+y 3无正整数解。
三、当n=4时,有z 4=x4+y4,所以x 4= z 4-y 4=(z -y )(z 3+z2y+zy2+y3)(3) 。令(z -y )=43m 4,则z=y+43m 4,代入 (3) 得x 4= z4- y4=43m 4[(y+43m 4)+(y+43m 4)+(y+43m 4)y+ y3]=43m 4 (4y+4m y+632378×4m y +4m )= 44m 4(y+4m y+6×4m y +4m ) 。 [**************]
若方程z 4=x4+y4有正整数-解,则(y+4m y+6×4m y +4m ) 为某自然数的四次幂,即(y+4m y+6×[***********][***********]34m y +4m ) =l 4,所以y +4m y+6×4m y =l 4-4m =(l 4m )(l 3+l 24m +l 4m +4m ),所以y =l -4m [***********]3且y +4m +6×4m y =l 3+l 24m +l 4m +4m ),所以(l -4m ) 2+4m +6×4m (l -4m )
[1**********]669=l 3+l 242m 3+l 44m 6+46m 9),所以l 2-32m 3 l + 4m + +4m +6×4m (l -4m )=l 3+l 24m +l 4m +4m ),所以
46684769 222322l 2+6×42m 4l =l 3+l 242m 3+l (44m 6+32m3)4m +4m =6×4m +4m ,,所以1+4m =6m+4m ,所以l 2+l (4m -6m 2322222322)+4m (4m -12m+5)=0。因为l 和m 都是自然数,所以l 2+l (4m -6m )+4m (4m -12m+5)>0,所
222322以l 2+l (4m -6m )+4m (4m -12m+5)=0不可能,所以当n=4时,z 4=x4+y4无正整数解。
当n>4时,同理可证方程z n =x n +y n 无正整数解。所以定理得证。
参考文献:
[1]李联忠科学网《费马大定理的简单证明》