深度挖掘卫星变轨问题 高效完成万有引力复习
深度挖掘卫星变轨问题 高效完成万有引力复习
吴彬彬
以卫星变轨模型作为基础题源，最大程度地挖掘题源潜在的知识点加以拓展、变形，用最少的审题时间完成最多的复习目标．
题源：发射地球卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3．轨道1、2相切于A点，轨道2、3相切于B点（如图所示），已知地球半径为R，表面重力加速度为g，轨道3的半径为r，试回答下列问题：
3 问题1．卫星在轨道1和轨道3上的速率v1和v3（下同）分
别为多少？并比较大小； Mmv2
【解析】根据万有引力提供向心力G2=m，可得rr
v=GM1，可以发现v∝，而Rv3． rr
将轨道半径分别代入v=GMGMGM可得：v1=，v3=．将gR2=GM代rrR
入得v1=gR，v3=gR2
． r
【易犯错误】在得到v1=gR后，有的学生往往认为v∝R，所以v1=gr，v1
【错因分析】根据GMm=mg（g为半径为r的轨道上的重力加速度），发现重力加r2
速度g是一个与半径r有关的物理量，并不是一个绝对的常量．所以应该用v=GM来判r断v1和v3的大小．
【问题引导】由分析可知，轨道半径越小，环绕速度越大，所以当卫星处于近地轨道时具有最大的环绕速度，即v1= gR=7.9km/s，此为最大的环绕速度，即第一宇宙速度．
问题2．卫星在轨道1和轨道3上的周期T1和T3分别为多少？并比较大小；
Mm2π2r3
)r可得：T=2π【解析】根据万有引力提供向心力G2=m(，可以发TrGM
现T∝r3，因为R
将轨道半径分别代入T=2π可得：T1=2π，T3=2π． GMGMGM
R3R【问题引导】（1）将gR=GM代入T1=2π得T1=2π≈84min，此为GMg2地球卫星的最小环绕周期；
（2）能够求出卫星在轨道1和轨道3上运动的周期，能否求出在轨道2上运动的周期？ 问题3．卫星在轨道2上从A点运动到B点所花的时间为多少？
【解析】根据开普勒第三定律——所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期
R+r3)R3的平方的比值都相等可知将卫星在轨道1和轨道22=，T1T22(
所以T2=(R+r3)⋅T1，所以卫星在轨道2上从A点运动到B点所花的时间为2R
t=T2T1R+r3=⋅()． 222R
问题4．可以用哪些方法测量地球的密度？哪种方法需要的参数最少？ 【解析】根据密度的表达式ρ=MM可知，需要知道地球的质量M和半径R，=VπR3
3
而半径R已知，所以只需求出质量M．
方法一、利用地球表面重力与万有引力近似相等求地球的质量． Mm3ggR2
对地球表面上的物体有mg=G2，所以M=，代入密度表达式得ρ=． 4πGRRG
方法二、利用地球对环绕卫星的万有引力提供向心力求地球的质量．
222v3v3r3v3rMm（1）研究轨道3上的卫星可得G2=m，所以M=，ρ=；或者rGr4πGR3
Mm2π24π2r33πr3
根据G2=m(，ρ=； )r得M=223T3rGT3GT3R
3v123π（2）研究轨道1上的卫星，r=R，同理可得ρ=或者． ρ=224πGRGT1
可以发现测量中心天体（地球）密度的方法有很多，但是其中需要参数最少的是测量近地卫星的周期的方法，即ρ=3π．此方法同样适用于测量其他天体密度． 2GT1
问题5．卫星在轨道1和轨道2上运行时经过A点时的加速度是否相等？
【解析】由于两种情况下万有引力相等，根据万有引力产生加速度可知aA=aB． 问题6．设卫星在轨道2上的A点和B点的速率分别为vA和v（下同），则v1 vA，B
vB v3（填“>”、“
【解析】研究卫星运动到A点时的情况，卫星在轨道1上运动时，满足万有引力恰好v12Mm提供向心力，即G2=m．当卫星运动到A点时点火，卫星脱离轨道1，进入轨道2，RR
卫星做的是离心运动，万有引力不足以提供向心力，但是在A点时万有引力没有变化，说明速度增大，即v1
2v12vA=【易犯错误】 由于同样是在A点，离地心的距离相等，根据加速度相等得到，RR
所以v1=vA，同理vB =v3． v2
【错因分析】误认为加速度的表达式a=中的r就是离地心的距离，其实应该是曲r
率半径（曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲的程度．圆形越大,弯曲程度就越小，曲率越小,曲率半径也就越大）．由曲率半径的定义可知卫星在轨道2上A点的加速度应该表达为a=2vA
ρA，因为R
【问题引导】众所周知，A点为近地点，B点为远地点，且vA>vB，这是一个常识性问题，如何用物理原理来解释这个结论呢？vA和vB之间有没有定量的关系？
问题7．若已知vA，运用开普勒定律求vB；
【解析】根据开普勒第二定律——在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的假设经过极短的时间∆t，卫星分别在A点和B点与地球连线扫过的面积相等，即11RRvA∆t=rvB∆t，所以vB=vA． 22r
【问题引导】问题1中比较了卫星在不同圆轨道上运行的速度，问题6中比较了卫星在不同轨道上同一点的速度，问题7中比较了卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度，能否比较vA和v3的大小？
问题8．比较vA和v3的大小；
【解析】因为vA是卫星在椭圆轨道上的速度、v3是在圆轨道的速度，且不在同一个点，不满足问题1、问题6和问题7中的情形，所以想比较这两个值的大小，应该引入一个与两者都有关系的中间量——vB或v1．
引入vB，由问题7可得vA>vB，由问题6可得vB
引入v1，由问题6可得v1v3，所以vA>v3．
问题9．设质量为m的物体在离地心无穷远的地方引力势能为0，在距地心r的地方势能Ep=-GMm，求vA． r
12Mm12MmmvA-G=mvB-G，将问题7中得到的速度关系2R2r【解析】卫星在轨道2上运动时，只有万有引力做功，机械能守恒，研究卫星从A点运动到B点的过程，满足
式vB=RvA代入得vA=r2GMr． R(R+r)
【问题引导】（1）r越小，vA越小，说明当r=R时vA=
最小的发射速度，即为第一宇宙速度；
（2）当r取+∞时，vA=GM=gR=7.9km/s是R2GM=2gR=11.2km/s，意思是当在地球表面以R
11.2km/s的速度发射卫星时，卫星将脱离地球的束缚，此为第二宇宙速度．
问题10．假设卫星在半径r=10.6km的轨道上，轨道在赤道平面内．赤道上有一物体P，此时与卫星恰好相距最远，则一昼夜卫星有几次出现在P点正上方？（已知同步卫星的半径r0=42.4km）．
【解析】由于物体P和卫星的运动性质不属于同一类，所以可以引入一个在物体P正上方的同步轨道上的卫星Q，因为物体P和卫星Q相对静止，题中问“一昼夜卫星有几次出现在P点正上方”相当于问“一昼夜两卫星有几次相距最近”．
r3r03假设同步卫星的周期为T0，根据开普勒第三定律可得2=2，将数据代入得TT0
T=r31⋅T=T0．此时两卫星相距最远，若要相距最近，需要内轨道卫星比外轨道卫星08r03
多运动（2n+1)π（n取0，1，2……）的角度，即(2π2π-)t=(2n+1)π，化简得TT0
t=
2n+12n+1T0，因为t≤T0，即≤1，n≤6.5，所以共有7次． 1414
（发表于《高中数理化》2014年第9期）