初三美题3及答案

8月17日

47． 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC= 求CD长．

解：

解：过点B作BM⊥FD于点M．……………………1分

在△ACB中，∠ACB=90° ，∠A=60°，AC= ∴∠ABC=30°， BC=3AC=6. ∵AB∥CF，

∴∠BCM=30°．∴BM=3. ………2分

CMBCcos306.……………………3分 在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°. ∴MD=MB=3．…………4分 ∴CDCMMD3. ………………………………5分

48. 已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，ABBC=5CD=6，求AD的长.

解： 过A作AF⊥CB交CB的延长线于F，

过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，

∴AF∥DE,

过F作FG∥AD交DE于G,

∴ADGF是平行四边形. ……………………………………………1分

ABC135.FBA45

ABF是等腰直角三角形.AFFBABsin45

AB2分

（答案中有三角函数，但同学们只需用已学知识即可解决）

在RtEFG中，

EFFBBCCE8EGEDDGEDAF

4分

5分

8月18日

49．阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC、BD、AD＋BC的长度为三边长的三角形的面积．

A

图1

D

A

图2

D

小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC、BD、AD＋BC的长度为三边长的三角形(如图2)．

参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF．

(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF 的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)；

(2)若△ABC的面积为1，则以AD、BE、CF的长度为 三边长的三角形的面积等于_______．

解：△BDE的面积等于1 . （1）如图.

以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是 △CFP.

（2）以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于

3. 4

A E

图3

8月19日

50．阅读下面材料：

小阳遇到这样一个问题：如图（1），O为等边△ABC内部一点，且

OA:OB:OC1:2:3，求AOB的度数

.

A

D

A

C

B

图⑴ 图⑵ 图⑶

小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三

角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的.他的作法是：如图（2），把△ACO绕点A逆时针旋转60°，使点C与点B重合，得到△ABO，连结OO. 则△AOO是等边三角形，故OOOA，至此，通过旋转将线段OA、OB、OC转移到同一个三角形OOB中. （1）请你回答：AOB

.

（2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题：

已知：如图（3），四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=60°，∠DCB=30°，AC=5，CD=4.求四边形ABCD的面积.

解：（1）150° ………………………1分 (2) 如图，将△ADC绕点A顺时针旋转60°，使点D与点B重合，………2分 得到△ABO，连结CO. 则△ACO是等边三角形，

可知COCA5,BODC4，ABOADC ……………………3分 在四边形ABCD中，ADCABC360DABDCB270,

'

'

O'BC360(ABCABO')

36027090． ……………………4分

D

BC52423 S四边形ABCDSACO'SBCO'

．………………5分 213

5346424

A

B

C

8月20日

O'

51． 如图，D是△ABC中AB边的中点，△BCE和△ACF都是等边三角形，M、N分别是

CE、CF的中点.

（1）求证：△DMN是等边三角形；

（2）连接EF，Q是EF中点，CP⊥EF于点P.

求证：DP＝DQ.

同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面 两位同学的解题思路作为参考：

小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造 三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要

证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.

证明：（1）取AC的中点G，连接NG、DG.

∴DG＝

1

BC，DG∥BC；△NGC是等边三角形. 2

∴NG = NC，DG = CM. …………………2分 ∵∠1 + ∠2 = 180º， ∴∠NGD + ∠2 = 240º. ∵∠2 + ∠3 = 240º，

∴∠NGD =∠3.

∴△NGD≌△NCM . ……………………3分 ∴ND = NM ，∠GND =∠CNM. ∴∠DNM =∠GNC = 60º.

∴△DMN是等边三角形. …………………………………………………4分 （2）连接QN、PM.

∴QN =

1

CE= PM. …………………………………………………………5分 2

Rt△CPE中，PM =EM，∴∠4= ∠5. ∵MN∥EF，∴∠5= ∠6，∠7= ∠8. ∵NQ∥CE，∴∠7= ∠4. ∴∠6= ∠8.

∴∠QND= ∠PMD. ………………………6分 ∴△QND≌△PMD.

∴DQ= DP. …………………………………………………………………7分

8月21日

52．问题：如图1， 在Rt△ABC中，C90，ABC30，点D是射线CB上任意一

点，△ADE是等边三角形，且点D在ACB的内部，连接BE．探究线段BE与DE之间的数量关系．

请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.

（1） 当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形．由BAC的度数为 ，点

E落在，容易得出BE与DE之间的数量关系为 （2） 当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系

是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

E

A

C

DB

图1

A

A

C(D)

图2

B

C

B图3

D

解：（1）完成画图如图2，由BAC的度数 为 60°，点E落在 AB的中点处 ，

容易得出BE与DE之间的数量关系 为 BE=DE ；…………… 3分

（2）完成画图如图3．

猜想：BEDE．

证明：取AB的中点F，连结EF．

∵ACB90，ABC30，

∴160，CFAF

E

∴△ACF是等边三角形．

1

AB． 2A

∴ACAF． ① …… 4分

F∵△ADE是等边三角形，

∴260， CBD

图3 ADAE． ②

∴12．

∴1BAD2BAD．

即CADFAE．③ ………………………………………… 5分 由①②③得 △ACD≌△AFE（SAS）． …………………………… 6分 ∴ACDAFE90． ∵F是AB的中点，

∴EF是AB的垂直平分线．

∴BE=AE. ……………………………………………………… 7分 ∵△ADE是等边三角形， ∴DE=AE.

∴BEDE． …………………………………………………… 8分

8月22日

53．在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其

中DE交直线AP于点F． （1）依题意补全图1；

（2）若PAB20，求ADF的度数；

（3）如图2，若45PAB90，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并

证明．

ADAD

P

P

B

C

B

C

图 1

图 2

54．阅读下列材料：

问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=，PB=2，PC=1，求∠BPC的度数．

小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结

PP′．

请你参考小明同学的思路，解决下列问题： (1) 图2中∠BPC的度数为 ；

(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2，PB=4，PC=2，则∠BPC的度数为 ，正六边形ABCDEF的边长为 ．

图1 图2 图3

解：（1）135°；………………………………………………………………………… 2分 （2）120°；………………………………………………………………………… 3分

． ………………………………………………………………………

5分

55．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形, AOB=COD =90．若△BOC的面积为1， 试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积．

图1 图2

小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E, 使得OE=CO, 连接BE, 可证△OBE≌△OAD, 从而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）．

请你回答：图2中△BCE的面积等于 ． 请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题： 如图3，已知△ABC, 分别以AB、AC、BC为边向外作正方形 DABDE、AGFC、BCHI, 连接EG、FH、ID．

（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长

度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）若△ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为

三边长的三角形的面积等于 ．

图3

解：△BCE的面积等于 .

以EG、FH、ID的长度为三边长的

一个三角形是△EGM .

（2） 以EG、FH、ID的长度为三边长的三角

形的面积等于 3 ．

D

A

F

56．已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP

为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.

（1）如图1，若AB=23，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写

出结果）；

（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能

添加辅助线产生新的线段），并加以证明；

（3）若AB=23，设BP=x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的函数关

系式．

解：（1）EF=2． ……………1分

（2）EF=BF． ……………2分证明： ∵ ∠BAP=∠BAE-∠EAP=60°-∠EAP ，

∠EAQ=∠QAP-∠EAP=60°-∠EAP， ∴ ∠BAP=∠EAQ ． 在△ABP和△AEQ中，

AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ， ∴ △ABP≌△AEQ． ∴ ∠AEQ=∠ABP=90°．

∴ ∠BEF180AEQAEB180906030． 又∵ ∠EBF=90°-60°=30°，

∴EF=BF． ……………4分

(3) 在图1中，过点F作FD⊥BE于点D． ∵ △ABE是等边三角形, ∴ BE=AB=23．

由（2）得 EBF30°，

在Rt△BDF

中，BD ．

∴ BF=

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BG

2 ．

cos30

∴ EF=2 ． ∵ △ABP≌△AEQ , ∴ QE=BP=x ．

∴ QF=QE＋EFx2．

∴ 以QF为边的等边三角形的面积

2x2)2x．…7分 8月26日

57．已知：正方形ABCD中，MAN45，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．

（1）如图1，当MAN绕点A旋转到BMDN时，有BMDNMN．当MAN

绕点A旋转到BMDN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等

量关系？请写出你的猜想，并证明．

解：（1）答：（1）中的结论仍然成立，即 BMDNMN．

证明：如图2，在MB的延长线上截取BE=DN，连结AE ．

易证 △ABE≌△ADN （SAS）． ∴ AE=AN；∠EAB=∠NAD．

BAD90,NAM45,BAMNAD45.EABBAM45.

∴EAMNAM．又AM为公共边，

∴△AEM≌△ANM． MEMN．

MNMEBEBMDNBM

即 DNBMMN． ------------------------------------------------------4分（2）猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DNBMMN ．

[来源:Z,xx,k.Com]

证明：如图3，在DN延长线上截取DE=MB，连结A E ．

易证 △ABM≌△ADE（SAS）． ∴ AM=AE；∠MAB=∠EAD． 易证 △AMN≌△AEN（SAS）．

MNEN ．∵DNDEEN，

∴DNBMMN． ---------------------------------------------------7分

8月27日

58. 探究：

（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ； （2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=

1

∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？2

若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..

（1）通过观察可知，EF= BE＋DF.………………………1分

（2）结论EF= BE＋DF仍然成立（如图2）.…………2分

证明:将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到ABF'， ∴△ADF≌ABF'， ∴∠1=∠2， AF'=AF，BF'=DF. ∠ABF'=∠D 又∵∠EAF=

1

∠BAD，即∠4=∠2+∠3. 2

∴∠4=∠1+∠3. 又∵∠ABC＋∠D＝180°， ∴∠ABF'＋∠AB E=180°，即：F'、B 、E共线. 在△AEF与△AEF1中，

AF=AF'， ∠4=∠1+∠3， AE=AE

∴△AEF≌△AEF'中，………………………………………3分 ∴EF=EF'，又EF'=BE＋BF',

即：EF= BE＋DF. …………………………………………4分

（3）发生变化. EF、BE、DF之间的关系是EF= BE－DF. ……………………5分 证明：将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点F落在BC上点F'处， 得到△ABF'，如图3所示. ∴△ADF≌△ABF'， ∴∠B AF'=∠DAF ， AF'=AF，BF'=DF. 又∵∠EAF=

1

∠BAD，且∠B AF'=∠DAF 2

∴∠F'AE=∠FA E.

在△F'AE与△FA E中 AF=AF'， ∠F'AE=∠FA E, AE=AE, ∴△F'AE≌△FA E.…………………………………6分 ∴EF=EF'，

又∵BE= BF'＋EF'， ∴EF'=BE－BF'.

即EF= BE－DF.…………………………………………7分

8月28日

59. 在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．

(1)在图1中，证明：CE＝CF；

(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数；

(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB、DG(如图3)，求∠BDG的度数． A

D

A

D

A

D

图1

图2

C F

图

3

（1）证明：如图1.

∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF.

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD.

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F. ∴∠CEF=∠F. ∴CE=CF.

（2）∠BDG

（3）分别连结GB、GE、GC（如图2） ∵AB∥DC，∠ABC=120°， ∴∠ECF=∠ABC=120°.

∵FG∥CE且FG=CE，

∴四边形CEGF是平行四边形. 由（1）得CE=CF， ∴□CEGF是菱形.

图1

图2

1

∴EG=EC，∠GCF=∠GCE=∠ECF= 60°.

2

∴△ECG是等边三角形. ∴EG=CG， ① ∠GEC=∠EGC=60°. ∴∠GEC=∠GCF.

∴∠BEG=∠DCG. ②

由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB. ∴AB=BE.

在□ABCD中，AB=DC. ∴BE=DC. ③ 由①②③得△BEG≌△DCG. ∴BG=DG，∠1=∠2.

∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°. 180BGD

∴∠BDG==60°.

2

8月29日

60. 阅读下面材料：

问题：如图①，在△ABC中， D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．

小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题 得到解决．

（1）请你回答：图中BD的长为 ；

（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，

若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．

图① 图②

. 解：（1）BD22. ……………………………………………………………………2分

（2）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，

∴△ADC≌△AEC.

∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA， DC＝EC. ∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°， ∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°.

∴△CDE为等边三角形. ……………………3分 ∴DC＝DE.

在AE上截取AF＝AB，连接DF，∴△ABD≌△AFD. ∴BD＝DF.

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在△ABD中，∠ADB=∠DAC＋∠DCA=45°， ∴∠ADE=∠AED =75°，∠ABD =105°. ∴∠AFD =105°. ∴∠DFE=75°. ∴∠DFE=∠DEF. ∴DF＝DE.

∴BD＝DC＝2. …………………………………………………………………4分 作BG⊥AD于点G， ∴在Rt△BDG中， BG

. ∴在Rt△ABG中，AB22. ……………………………………………5分

6分

……………………………………………